книги / Надежность дизель-электрических агрегатов и их систем автоматизации
..pdfВероятность безотказной работы элемента с учетом внезапных и износных отказов за период от 0 до t будет равна произведению вероятностей безотказной работы при внезапных и износных отказах, т. е.
P i» = e ~ V p i» - |
(37) |
Вероятность безотказной работы электроагрегата в целом с учетом внезапных и износных отказов
в |
[Г |
(<-7/)3 |
|
Р{1) = < f V П — |
[е |
г’< it, |
(38) |
/_| |
■/ |
|
|
где w — количество элементов, подверженных износным отказам.
Для практических расчетов целесообразно пользо ваться следующей формулой:
|
Р (t) = e” V |о,5 + |
Ф ( ^ 7 ^ ) ] . |
(39) |
|
где |
Ти и Ои — среднее время |
безотказной |
работы |
|
|
электроагрегата |
и его квадратическое |
||
|
отклонение, |
характеризующие |
износ |
истарение электроагрегата;
—функция Лапласа [9];
-интенсивность отказов электроагрега та, обусловленная только внезапными
отказами.
Как следует из формулы (39), при одновременном действии внезапных и износных отказов, что имеет ме сто в действительных условиях эксплуатации, надеж ность электроагрегатов будет понижаться. Однако в на чальный период эксплуатации электроагрегатов в тече ние 2000—3000 ч, когда износы отдельных элементов являются еще незначительными и не приводят к отка зам, с достаточной для практики точностью можно определять надежность электроагрегатов по одному экспоненциальному закону. В этом случае второй мно житель формулы (39), указанный в квадратных скобках, будет близок к единице. И действительно, если 7V »/,
то выражение [ 0>5+ ф(^ Г ^ )] стРемитсяк единице.
181
По мере увеличения количества износных отказов
величина |
Т„ |
уменьшается, |
и |
выражение |
|ю,5+ |
4- Ф ^-м—* j~j |
будет также |
уменьшаться и влиять на |
|||
общее значение вероятности безотказной работы. |
|||||
Среднее |
время безотказной работы электроагрегата |
||||
Г с учетом как внезапных, |
так и |
износных |
отказов |
||
будет определяться выражением |
|
|
|||
|
|
Т |
, |
Лс р °й |
(40) |
|
|
|
|
||
При малых -значениях Лср величину Т можно прибли |
|||||
женно определять по формуле |
|
|
|
||
|
|
|
- |
|
(41) |
Определение закона распределения времени ремонта электроагрегатов. Предварительные замечания. Методи ка определения закона распределения времени ремонта электроагрегатов практически не будет отличаться от методики определения закона распределения времени безотказной работы. Поэтому для краткости изложения приведем только основные моменты, определяющие за кон распределения времени ремонта электроагрегатов АД-20. По результатам эксплуатации составлен следую щий статистический ряд трудозатрат при ремонте элект роагрегатов АД-20:
*1-1—*1 |
0-2,0 |
2,01— |
5,01— |
10,01— 20,01— |
40,01— |
|
АП |
20 |
5,0 |
10,0 |
20,0 |
40,0 |
100,0 |
11 |
10 |
9 |
10 |
10 |
||
' v* |
0,29 |
0,16 |
0,14 |
0,13 |
0,14 |
0,14 |
.Здесь |
приняты |
следующие обозначения: Дг* — коли |
||||
чество ремонтов, |
приходящихся |
на г-й разряд; |
о** — |
|||
статистическая частота t-го разряда, |
определяемая по |
|||||
формуле |
(21) с заменой |
Д н а |
Д/г, т ;-1—т» — трудоза |
траты при ремонте в чел.-час.
Представим статистический ряд в виде гистограммы, для чего по формуле (22), заменив в ней Ап{ на Ап и ДU на Дт{, определим плотность распределения вре мени ремонта <р,-* для каждого разряда. Расчетыt в ко-
182
торых принято, что Ат,=Т{—ti_i — основание (ширина) i-vo разряда, дали следующие результаты:
*/-1—"1 |
0—2,0 |
2,01—5,0 |
5,Ol- |
10,01— |
20,01— 40,01— |
|
Д‘| |
2 |
3 |
lO,0 |
20,0 |
40,0 |
100,0 |
5 |
10 |
20 |
60 |
|||
<pj |
0,15 |
0,053 |
0,028 |
0,012 |
0,007 |
0,0023 |
По результатам расчетов на-рис. 55 построена гисто грамма времени ремонта электроагрегатов АД-20. Вид гистограммы дает основание предположить, что закон распределения времени ремонта т может быть экспонен
циальным, гамма-распределением или законом Вейбулла.
Проверка гипотезы об экспоненциальном законе рас пределения времени ремонта электроагрегатов АД-20 по критериям согласия дала основание отвергнуть ее с большой вероятностью. Проверим пригодность гаммараспределения в качестве закона для нахождения тру дозатрат при ремонте электроагрегатов АД-20. Как из вестно, плотность трудозатрат т при гамма-распределе нии будет выражаться следующей зависимостью:
т(т) = Т^Г |
т |
где л и е — параметры распределения; Г(е) — гамма-функция.
Значения т] и е теоретического распределения опре делим по эксплуатационным данным, пользуясь мето дом моментов. Функция зависит от двух параметров, поэтому теоретическую кривую плотности распределе ния времени ремонта т выберем из следующих соотно шений: математическое ожидание М(т) и дисперсия D(T) теоретического распределения равны соответствен но статистическим значениям М*(т) и £*(т).
Имея эксплуатационные данные по устранению отка зов в 52 электроагрегатах АД-20, по формуле (13) оп ределим среднее время ремонта TPfJt, которое и примем за математическое ожидание
52 |
п к |
|
|
2 |
2 |
'к. i |
.-. |
М* (т) =: TU* - |
|
--------- == ^ |
= 16’7 челчас- |
|
2 |
ч |
|
|
fc=1 |
|
183
Дисперсию D*(т) определим в соответствий с [8] по данным статистического ряда (табл. 21), пользуясь фор мулой
D*(T) = 2 |
(43) |
(= 1
где т — среднее значение трудозатрат при ремонте в разряде статистического ряда.
Для электроагрегата АД-20
D* (т) = 2 (х - 16,7)2 vi = 433,1 (чел.-час.)2. i=i
Параметры гамма-распределения найдем из следую щих известных соотношений:
Т1 = |
М (х) |
(44) |
— — |
||
‘ |
£>(х) |
|
- |
[М(т)]» |
(45) |
|
|
DW
Для электроагрегатов АД-20:
16,7
Л = —3’1 = 0,039 (чел.-час.)-1 ;
16,7а
=0,64.
~ 433,1
Таким образом, теоретическая функция плотности распределения времени ремонта для электроагрегатов
АД-20 принимает следующий вид:
_е„е—1
<р(т) = - e -v ==, 0,09т-0 -36а-0«039\ (46)
Величину Г(е) определяем по следующему соотно шению [9]:
Г ( е + |
1) |
(47) |
Г (е) = - |
|
По формуле (46) в точках на границах разрядов статистического ряда для электроагрегатов АД-20 оп ределены следующие значения функции ф(т):
X, |
0 |
2 |
5 |
10 |
20 |
40 |
100 |
ф (х,) |
00 |
0,065 |
0,0 4 3 |
0,027 |
0 ,0 1 4 |
0 ,0 0 5 5 |
0 ,0 0 0 3 |
184
По полученным данным на рис. 55 построена тео ретическая функция плотности распределения времени ремонта ср(т) для электроагрегатов АД-20. Зная* функ цию ф(т), можно определить и теоретическое значение частоты каждого разряда:
vt = j' ф (т) dr. |
(48) |
'/-1 |
|
Данный интеграл можно вычислить по приближен ной формуле [15]. Расчеты по формуле (48) для элект роагрегатов АД-20 дали следующие результаты:
г—1—"г
v 'i
Щ
<Р
0—2,0 |
2,01 — |
5,O l- |
10,01— |
20,01— |
40,01— |
|
5,0 |
lO,0 |
20,0 |
40,0 |
60.0 |
0,29 |
0,16 |
0,14 |
0,13 |
0,14 |
0,14 |
0,24 |
0,16 |
0,17 |
0,17 |
0,14 |
0,12 |
Далее оцениваем степень согласованности статистического и теоретического распределе ний по критериям согласия.
Критерий х2 Пирсона. По результатам ра счетов определим меру расхождения %2. Для этого воспользуемся следующей зависимостью
[8]:
0, 1-
0,075
Рис. 55. Гистограмма плотности распределения времени ремон та электроагрегатов АД-20 ■
Число степеней свободы
г — h — s — 6 — 3 =[3,
где 5 = 3 |
— число независимых условий, наложенных на |
t |
функцию распределения. |
185
Находим [8] вероятность
Рг* = 0,57.
Таким образом, наша гипотеза о том, что время ре монта электроагрегатов АД-20 подчиняется гаммараспределению, подтвердилась. Хорошие результаты со гласования теоретической и статистической кривой рас пределения времени ремонта электроагрегатов АД-20 при использовании гамма-распределения получаются также при проверке по критерию Колмогорова. Исследо вания, выполненные для других типов дизель-электр нческих агрегатов серии АД, подтверждают, что трудоза траты при ремонте с достаточной для практики точно стью отражает гамма-распределение.
Знание законов распределения случайных величин, какими являются время безотказной работы и время ре монта электроагрегатов, имеет большое значение, так как позволяет определять вероятностные характеристики надежности электроагрегатов по ограниченному объему эксплуатационных данных и рассчитывать доверитель ные пределы критериев надежности с любой доверитель ной вероятностью. В дальнейшем для количественной оценки надежности электроагрегаго.ч необходимо опре делять по эксплуатационным данным лишь параметры законов распределения случайных величин, так как сами законы нами определены. Делать это будет зна чительно проще. В этом практический смысл проведен ных довольно сложных и громоздких расчетов.
Определение доверительных пределов характеристик надежности электроагрегатов. Знание законов распре деления отказов случайных величин, характеризующих надежность электроагрегатов, позволяет определять до верительные пределы (интервалы) характеристик на дежности в зависимости от объема экспериментальных данных, которыми мы располагаем, и от той доверитель ной вероятности, с которой определены эти пределы.
Доверительные пределы случайных величин при эк споненциальном законе и гамма-распределении опреде ляются по следующим формулам в зависимости от объ ема экспериментальных данных [9]. Если количество экспериментальных данных небольшое и в период экс плуатации не произошло ни одного отказа {п= 0), то нижние доверительные пределы наработки на отказ То,
и среднего времени ремонта ТРеМфн будем определять по формулам:
Тон |
(49) |
Верхние доверительные пределы указанных величин в этом случае не определяем.
Если мы располагаем сравнительно большими экспе риментальными данными и в период работы электро агрегатов были зафиксированы отказы (п^О), то в этом случае определяем нижние и верхние доверитель ные пределы. Верхние доверительные пределы наработки
на отказ То0 и среднего времени ремонта ТреМ. в |
будем |
|
определять по формулам: |
|
|
Тоо —ГгТо\ |
Т'рем.в — г{Трем- |
(50) |
Нижние доверительные пределы указанных величин |
||
находим по следующим формулам: |
|
|
Ток — Т0\ |
ТреМшн — гаТрем. |
(51) |
Величины коэффициентов г0, Гь г2 и Гз рассчитаны для различных значений доверительной вероятности а [9]. Определение доверительных пределов наработки на отказ и среднего времени ремонта, а также знание законов распределения этих случайных величин позво ляет рассчитать границы их вероятностых характери стик надежности. Так, нижняя Рон (t) и верхняя Рсв (/) границы вероятности безотказной работы электроагрега тов при экспоненциальном законе распределения будем определять по формуле (33) с подстановкой в нее со ответственно нижнего Тсн и верхнего Т& пределов наработки на отказ, т. е.
_ j _ |
* ■ |
г“ ; Рсл(9 = « |
(52) |
Следует заметить, что, подставляя в формулу (52) значения ТсН и Тсв, мы получим границы .вероятности безотказной работы электроагрегатов с той же досто
верностью а.
Рассмотренная методика позволяет по эксплуатаци онным данным определить действительные характери стики надежности электроагрегатов с необходимой до стоверностью. Покажем это на примере электроагрега-
187
той АД-20 и АД-75, для которых определим величину средней наработки на отказ, а также доверительные пределы указанных величин и границы их вероятност ных характеристик. Величина наработки на отказ Т*д
будет соответственно равна:
5 2 nk
r . = l |
!J |
L^ . = 19 402 |
1 ° |
5 2 |
70 - Z / 6 4 ' |
2 |
я* |
|
|
|
fe=l |
|
|
||
Т * |
97189 |
565 |
ч. |
|
° |
172 |
|||
|
|
Доверительные пределы наработки на отказ элект роагрегатов АД-20 и АД-75, определенные по формулам (50) и (51) для различной доверительной вероятности
Таблица 11
Д о ве р и тел ь н ы е |
п р ед е л ы в ы р а б о т к и н а |
о т к а з |
||
|
|
п р и а, р а вн о й |
|
|
Э л ек т р о а гр е га т |
|
|
|
|
0 .8 |
0 ,9 |
0 .9 5 |
0 . 9 7 5 |
0 ,9 9 |
АД-20: |
|
|
1,11 |
1,175 |
1,23 |
1,285 |
1,35 |
Н .............................. |
|
|
|||||
Г2 .............................. |
|
|
0,895 |
0,85 |
0,82 |
0,79 |
0,765 |
Ъ )0 |
в |
Ч ................... |
306 |
326 |
342 |
358 |
375 |
Тон в ч ................... |
249 |
236 |
228 |
220 |
213 |
||
АД-75: |
|
|
1,06 |
1,11 |
1,14 |
1,17 |
1,21 |
г \ . |
|
• . ................... |
|||||
г г ................................................ |
|
|
0,93 |
0,91 |
0 , 8 8 |
0 , 8 6 |
0,84 |
1 о в |
в |
ч .............................. |
600 |
626 |
645 |
652 |
683 |
7 \) « |
в |
ч .............................. |
525 |
512 |
497 |
485 |
475 |
(если мы располагаем эксплуатационными данными со ответственно по 70 и 172 отказам), представлены в табл. 11. Величина коэффициентов г\ и гч взята из ли тературы [9].
Наглядное представление о пределах изменения средней наработки на отказ электроагрегатов АД-20 и
АД-75 в зависимости от Доверительной вероятности дает табл. 11. Например, с достоверностью 0,9 (сс=90%) можно утверждать, что величина средней наработки на отказ электроагрегатов будет находиться соответственно в пределах 236—326 н и 512—626 ч. Чем выше вероят-
Рис. 56. Графики доверительных пределов
средней наработки на |
отказ (Т ): |
а — электроагрегатои АД-75; |
б — электроагрега |
тов АД-20 |
|
иость наших предположений в достоверности исследуе мых величин при данном объеме эксплуатационных данных, тем шире становятся пределы нахождения этой
величины. |
Так, при а = 0,99 пределы |
средней наработки |
|
на отказ |
электроагрегатов АД-20 |
составляют 213— |
|
375 ч, |
а для электроагрегатов АД-75 — уже 475—683 ч. |
||
Для |
получения границ доверительных пределов сред |
ней наработки на отказ целесообразно построить по данным табл. 11 графики (рис. 56), которые дают на глядное представление об изменении исследуемой вели чины и позволяют определять ее доверительные пределы с любой вероятностью a=0,8-f-0,99. В практике исследо вания надежности изделий чаще всего пользуются доверительными вероятностями, равными 0,9—0,95, что
189
обеспечивает необходимую достоверность и достаточно узкие пределы изменения исследуемого параметра.
Границы вероятности безотказной работы электроагрегатов АД-75 и АД-20, рассчитанные по формуле (52), на основе использования результатов их эксплуа-
S
L^Ot
fib *
[4Г3
«Г*
ию 200 300 400 51w ООО %ю t ч
Рис. 57. Границы вероятностей безотказной |
||||
|
|
работы: |
|
|
а — э л е к т р о а г р е г а т о в |
А Д -75; |
б — э л е к т р о а г р е г а т о в |
|
|
|
|
А Д -20 |
|
|
тации с |
доверительной |
вероятностью а =0,9, |
т. е. при |
|
ТоЯ =512 |
и Тсв =626 ч для |
электроагрегатов |
АД-75 и |
Тон=236 ч и Тс8 =326 ч для электроагрегатов АД-20, показаны на рис. 57. Здесь же приведены эксперимен тальные значения вероятности безотказной работы Р* ,
определенные непосредственно по эксплуатационным данным. Для этого использовано известное соотноше ние, справедливое для любого закона распределения:
Р* (0 = 1 — F* (t). |
(53) |
190.