книги / Микромеханика композиционных материалов
..pdf
|
Л = |
-Г ( т |
+ |
2^) 5'п’ + |
00526 + (т+ |-с о $ 1 > 0- 2 Р 8 т ^ 0 + |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 Р г 5Ш 2 |
| СОЗ 20. |
|
|
|
|
|||
Остальные обозначения соответствуют ранее введенным. |
|
(а3) Ф |
||||||||||||||||
|
Решение задачи о поперечном растяжении напряжениями |
|||||||||||||||||
Ф |
0 приводит к формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
_ |
V02 |
, |
х + |
I |
* + |
(1 + 2 0 |
[ 1 + |
(* + |
1) 0 / в а 1— 2^ (кй* -+• 6* — с*) |
|||||||
|
1 |
^31_ |
|
40 |
|
(* + |
1)[2- С+ Ш*+Ь* - |
П\ + 2(1 - 5)(на+1)0/0а |
||||||||||
|
Е° |
|
Р° |
' |
|
|
||||||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8. 101) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
* * |
|
7 |
|
^ |
^ |
- |
2 |
? |
зш |
Т - ) - |
^ |
( |
т |
+ |
2Р2) 2^ |
7 |
^ + |
|
л |
«0 + 2 |
|
|
|
|
5Ш2-у- С0520 |
(1 |
— г) <7 + |
(I + |
40*) 81Па А |
соз 20 |
||||||
+ |
|
|
|
|
|
2 («а + Оа/0) - ( х а + |
1)<7 |
|||||||||||
2 |
1 - 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
26* = |
|
(1 — й д + |
2 соз2 |
— 4р 5'т2 |
|
+ 802 зш2 |
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
_ |
д + (1 + |
40*) 5Ш2 |
соз 20 |
|
|
|||
|
|
|
+ |
|
(ха + |
1)? |
|
2(ха + 0а/0)-(ха+1)7 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Для |
сложных |
моделей |
разрушения, когда приведенный |
элемент |
или ячейка структуры содержит множество волокон, часть из которых имеет локально нарушенную связь с матрицей, решение задачи стро ится по рассмотренным выше методам.
Если волокна неоднородны или анизотропны, то для построения решения задач со смешанными краевыми условиями полезно восполь зоваться методом вспомогательных функций.
Построенные решения задачи о локальном разрушении представ ляют возможность изучать разрушение слоистых материалов с ориен тированно-армированными волокнами на начальной стадии нагруже ния или при циклических во времени воздействиях, когда в структуре среды зарождаются и развиваются множество трещин. Для этих целей можно применить модели поэтапного локального разрушения, когда процесс нагружения разбивается на отдельные участки, каждому из которых ставится в соответствие модель структуры со все более увеличивающимся числом трещин.
Г Л А В А 9
ТЕРМОУПРУГОЕ РАСШИРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Тепловое расширение компонентов композиционных сред является источником внутренних напряжений, так как коэффициенты теплового расширения у них различны. Деформации алюмоборосиликатных во локон при повышении температуры на порядок меньше, чем у эпоксид ных компаундов для этой же температуры; поэтому нагрев стеклоплас тиков из указанных компонентов приводит к значительным внутрен ним напряжениям. Ориентированно армированный материал при этом расширяется анизотропно, что представляет собой дополнительный источник внутренних напряжений в конструкции из этих материалов. Роль внутренних напряжений, как и тепловых эффектов для всей кон струкции из стеклопластиков в целом, уменьшается вследствие ускоря ющейся с ростом температуры релаксации напряжений в матрице или благодаря интенсивному падению ее модулей упругости, когда тем пература релаксации близка к температуре стеклования полимера. В материалах с металлической матрицей релаксация напряжений су щественна при более высоких температурах.
Термическая усадка — обратный тепловому расширению эффект — способствует образованию остаточного напряженного состояния в ма териалах и изделиях при их изготовлении. Для расчетов тепловых эф фектов в композиционных материалах рассмотрим связь некоторых теплофизических характеристик компонентов с интегральными пара метрами.
§ 1. ТЕРМОУПРУГОСТЬ ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД
Пусть неограниченная армированная прямыми волокнами среда находится при некоторой повышенной температуре 0 = Т — Т0, по стоянной во всем пространстве; сечения среды хг = сопз!, перпенди кулярные к ориентации волокон, при этом повышении температуры в среднем не искривлены. Подобное состояние в случае среды с грани цей будет устанавливаться только с удалением от торцов оканчива ющихся волокон.
Средние деформации среды вдоль волокон (е^ слагаются из свобод ного теплового расширения на единицу длины, пропорционального приращению температуры 0, и составляющей, обусловленной вырав ниванием продольных деформаций в компонентах благодаря их взаи
модействию: |
(9.1) |
<«*> = Рв + («»>.= М + <«1>„ = РА |
182
где р, ра — коэффициенты линейного теплового расширения матрицы и волокон; р2 — эффективный коэффициент теплового расширения вдоль ориентации волокон; (еД, <6^ — средние деформации мат рицы и волокон, возникающие при указанном выравнивании дефор маций. Состояние среды у торцов волокон здесь не рассматривается, поэтому остается неопределенной ширина зоны, в которой продольные касательные напряжения способствуют выравниванию продольных де формаций среды.
Приведенный объем среды с одним или несколькими волокнами находится в равновесии, следовательно, усредненные по его граням
напряжения |
|
(°1к) = 0, *, Л = 1, 2 ,3 . |
(9.2) |
Решение задачи о тепловом расширении составим из функций, оп ределяющих однородное продольное растяжение среды неизвестными напряжениями без учета взаимодействия компонентов и функций, учи тывающих указанное взаимодействие при условии, что осредненная продольная деформация среды равна нулю. Последнее условие исполь зуем для определения неизвестных напряжений в первом решении за дачи.
Однородное состояние при повышенной температуре и отсутствии взаимодействия компонентов будет
(°<)а = Е„ <е,>а, И1 = (<е,) + ра0),
(9.3)
Щ+ ш3= — гча(е1>а + гро0.
Подобные зависимости для матрицы получаются опусканием индекса а в этих формулах. Несовместность поперечных смещений компонентов
(иг + ш3)а— (ы2 + ш3) = (Р— Ра) (1 + уа) гв + (ул— V) г (е,>5.
Решение второй задачи строим в приближении метода однородного взаимодействия; искомые функции плоского деформированного со стояния подчиняем первому краевому условию (1.35) — условию ра венства напряжений на межфазной поверхности. Второе граничное уравнение заменяется следующим:
(1 - О/Са) Фа (Т) + (1 + *а<?/0а) ФТМ - (1 - С/Оа) <>”* X |
(9.4) |
___ |
|
X [тФа (т) + У , (т)] — (X + 1)ф (т) = 2О[(Р~Ра)(1 + г„)0+ (^а |
. |
Для определения интегральных коэффициентов теплового расши рения учтем, что в отсутствие внешних напряжений средние деформа ции среды пропорциональны приращению температуры 0:
(в*) = ЙА А - 1 ,2 ,3 . |
(9.5) |
Здесь Рь — интегральные коэффициенты теплового расширения вдоль одноименных осей координат волокнистой среды. Средние смещения
(«2 + Ш3) = \ (ра + Р„) 0 + \ (р2 - Рз) 0. (Щ) = Р^10.
183
Составим интегралы от деформаций и преобразуем их согласно мето ду, изложенному в гл. 8:
— у $ (“г — *'“з) <& = |
~ |
0 (Рг — Рз). |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.6) |
— 2 7 ^ К“г — г“з) |
— (и2 + |
ш„) <й] = |
0 (Р2 + |
рэ). |
||||||
Для построения элементарного решения принимаем |
|
|
||||||||
Ф0 (г) = |
< 1 -9 $ 2 . |
Т„(г) = |
0, |
Ф(г) = |
- Й 2 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.7) |
|
V (г)------ 2 -1 - 0 , |
|
|
|
|
|||||
й = |
(Р — Р„) О + V,,)0+ (V, - |
V) (е4), |
|
|||||||
20- 2 - |
с - к * + |
(1 - |
0 <*а - |
1)е/ов |
|
|||||
Здесь а — радиус волокон. Условие |
равновесия |
в |
среднем приводит |
|||||||
к связи между (е ^ и 8: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(с,) = О = ХДа(в,)0 + (1 - |
9 Е (е.), + |
^ |
( 1 |
- 0 |
0 |
- |
4 * (1 - 0 а . |
откуда с учетом (9.1)
г8 0 (у — V) (1 — О (1 4- V )
<е,), = —С(Р—р0)егг1[е. + |
2_ и |
(с; +(; : Т)-(,а(+ , ) 4 |
|
||||
где Е1— эффективный модуль при продольном растяжении, |
|
||||||
д , - № . + а - о д + |
8 0 (V — л О Ч (1 — ?) |
|
' |
||||
|
|
|
|
||||
Эффективный |
коэффициент теплового |
расширения |
в |
направлении |
|||
ориентации волокон |
|
|
|
|
|
||
К - В |
я |
. |
80 ( у . - у ) ( 1 - 0 ( 1 |
+ |
у.) |
1 |
|
р ! - Р - ( Р |
Р«)№ [50 + |
2-5+С х + (1 -У (ха+1)0/0а |
] • |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(9.8) |
Второе слагаемое в скобках мало в сравнении с первым, поэтому справедливо правило смеси
Р4- Р - ( Р - Р |
а) ^ . |
(9.9) |
|
Смещения в среде устанавливаем |
по |
формулам (1.31) и (9.3), |
(9.7). |
Из первого уравнения (9.6) вытекает |
= р3, из второго — |
+ |
|
+ 1) — 2у (е^, + 2р0 = 0 (р2 + р3), |
откуда следуют искомые соотно |
шения между интегральными коэффициентами и параметрами струк туры среды:
Р2 = Рз = Р + (Р - Р1) т21 - (Р- рв) (1 + V,) ^
(9.10)
184
Несложный анализ показывает, что при Р > Ра матрица сжата вдоль ориентации волокон, а волокна растянуты. Отметим, что фор мулы (9.9) и (9.10), полученные в первом приближении, совпадают с точными, найденными с помощью эллиптических функций.
Если структура среды образует орторомбическую или центрирован ную орторомбическую решетку, то аналогичные построения приводят к более общим интегральным параметрам
Р2= Р + |
(Р - Р .К 1- < р - р а)(1 + у с) ^ |
4 . , |
|
|
(9.11) |
Р, = Р + |
(Р - Р.) V,, - ф - ра)( 1 + г„) |
. |
|
|
а |
В случае сред с равными коэффициентами Пуассона V = V0 полу чаем = V, и различие между коэффициентами |32 и р3 исчеза ет независимо от вида упаковки материала. Поэтому в реальных мате риалах различие между коэффициентами р2ир3 не может быть суще ственным, так как роль упаковки определяется только разностью ко эффициентов Пуассона компонентов.
Для моноклинной упаковки волокон в материале соотношения (9.5) заменяются такими:
<*.) = р.е, <е2) = р2е, <е3> = р,е, <?23>= М -
Средние смещения в поперечной плоскости
(и* + Ьк) = Т №• + Р3) г + (Р2 - Р, - Фаз)&
Интегральные соотношения (9.6) заменяются обобщенными равенст вами
У Ф («2— »"з)< & = — 0Оа —Ра + Фгэ). |
|
~ У р - § ^ и2 ~ ‘“а)* — («г + Щ <&\ = 0 (Рг + Ра)- |
<9-12> |
I |
|
Для получения решения задачи методом последовательной регу ляризации необходимо рассмотреть структуру, ячейка которой содер жит несколько произвольно расположенных волокон или произволь но ориентированную трещину на одном волокне. В этих случаях не трудно получить эффективные коэффициенты теплового расширения с помощью совершенно элементарных функций, полностью совпадаю щих с точными решениями, в виде [111
Рг = Р + ( Р - Р . ) ^ - ( Р - Р с ) ( 1 + ^ ) ^ ^ - .
а
Ра = Р + ( Р - р 1 К 1- ( Р - Р , . ) ( 1 - М в) ^ = ^ . |
(9-13> |
о
Р а а ^ ^ Р - Р . + ф - Р а ) - ^ ] -
185
|
|
Влияние коэффициента у61 |
||||||||
|
|
определяется |
разностью |
ко |
||||||
|
|
эффициентов |
Пуассона |
|
ком |
|||||
|
|
понентов |
независимо от |
|
вида |
|||||
|
|
упаковки материала. Поэтому |
||||||||
|
|
побочные |
эффекты будут су |
|||||||
|
|
щественными |
только |
при за |
||||||
|
|
метном различии значений ко |
||||||||
0 4:___ I— |
эффициентов |
Vа |
и V |
и асим |
||||||
метрии |
расположения |
воло |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
кон. Более существенны |
эф |
|||||||
|
|
фекты |
анизотропии с возник |
|||||||
1^ |
> 4 1 |
новением |
развитых |
трещин |
||||||
ф |
5/12п Ы. |
при дисперсном |
разрушении |
|||||||
Рас. 76 |
композиционного |
материала. |
||||||||
|
|
Последнее внесет еще |
боль |
шую неоднородность в напряженное состояние структуры с повыше нием температуры.
Типовая зависимость коэффициентов теплового расширения от объемного содержания волокон ? приведена на рис. 75» где по оси ординат отложены значения Р^/6 для моноклинной структуры одно
направленного |
стеклопластика: С/Са = 25; та = |
0,21; V = 0,382; |
Ра = 0,49-10- 5 |
1/°С; р = 6- 10~5 1/°С; а=7л/18; | |
| = | а>2|. Кривые |
1—4 определяют соответственно изменение Р1/Р; р2/р; р3/р и р23/р при
росте |
Для малых ^ ^ |
0,1 наблюдается аномалия коэффициентов р2 |
||||||
и р3, обусловленная |
дополнитель |
|||||||
ным |
поперечным тепловым расши |
|||||||
рением от сжатия |
полимерной мат |
|||||||
рицы вследствие |
продольных |
свя |
||||||
зей |
от |
волокон. Суммарная |
ани |
|||||
зотропия |
теплового |
расширения |
||||||
существенна — поперечное тепло |
||||||||
вое расширение в четыре-пять раз |
||||||||
превышает |
продольное. |
Эффекты |
||||||
поперечного |
сдвига при |
тепловом |
||||||
расширении |
|
(кривая |
4) |
заметны |
||||
при |
высоком |
объемном |
заполне |
|||||
нии |
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение |
коэффициентов |
теп |
лового расширения при различных ос в структуре показано на рис. 76, где угол решетки а изменяет ся от я/3 (гексагональная струк тура) до тетрагональной укладки волокон (%= 0,7). Обозначение кривых такое же, как на рис. 75. Как видно, только побочные эф фекты р2з заметно изменяются. Значения остальных коэффици-
186
ентов практически постоянны. |
Для |
материалов с VI = V имеем |
Ргз — 0> |
||
Рй = Р |
(Р |
Ра) ^ ~ ] Г • |
Рассмотрим тепловое расширение стеклопластиков с рядной струк турой, образованной из гексагональной решетки путем удаления смеж ных рядов волокон вдоль оси 0х3. Положение центра ближайшего во локна определяется вектором а>2 = Ьще*а, а = агс1§ V 4Ь'1— 1. Уве личение продольного коэффициента р^р с изменением Ь > 1 видно из рис. 77,а. Объемное содержание волокон С при Ь — 1, т. е. для гекса гональной исходной структуры, принималось равным 0,75; 0,80; 0,85, а %—равной 0,85; 0,8; 0,75 (соответственно кривые 1—3 на рис. 77). На рис. 77,а все кривые сливаются в одну. Как следует из рис. 77,6, в, анизотропия материала интенсивно растет с удалением рядов воло кон вследствие их взаимодействия и увеличения объемного содержа ния матрицы. Распределение напряжений на границе волокно — мат рица идентично кривым рис. 34.
Для композиционных материалов с одинаковыми полыми волокна
ми
Р.= Р—7=5*{О+ V) §4(1 -«*)-(! +».)[! -<1-1)-§г!
(9.14)
где ц = 0,5 -ь 0,7 — коэффициент капиллярности, равный отноше нию диаметра полости к внешнему диаметру волокна. Остальные коэф фициенты теплового расширения подсчитываются по формулам (9.13), если учесть зависимость всех параметров от <7. Тепловое расширение многокомпонентного (гибридного) материала, армированного волок нами N сортов, составляет
|
|
(9.15) |
Р8= |5 ,,~ Р + ( Р - Р 1К 1- |
||
N |
рк) [2 + ниСЮкГ ' |
|
(к + 1) 2 |
(1 + V (р - |
|
|
N |
(9.16) |
1 - |
С+ 2 к (*+ ‘И2 + |
Здесь индекс к отмечает параметры волокон к-тосорта.
187
Приближенно эффективные коэффициенты теплового расширения многокомпонентных материалов с полыми волокнами определяются формулами
А=1
Р2 = Р э = Р + ( Р - Р . К , -
N
( * + I ) |
2 к |
( 1 |
— |
9 * ) |
0 + V |
( Р - |
Р * ) |
[2 |
( I - |
а «-*> |
+ 1 +( « 2 $01вкГ 1 |
А=1____________________________________________ _________ |
|||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
1 - |
&+ |
2 |
к |
0 - |
ч1) (« + |
1) [2 (1 - |
$ |
+ |
(«А - |
1 + |
К ) 0/ОкГ 1 |
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где все упругие постоянные указаны для сред с полыми волокнами.
§ 2. ТЕРМОУПРУГОСТЬ СРЕД С ТРЕЩИНАМИ
Пусть в неограниченной армированной среде имеются ослабленные связи на межфазных границах в виде трещин. Примем, что повышение температуры не приводит к налеганию берегов разрезов. Определим эффективные коэффициенты теплового расширения армированной сре ды. Для удаленных от торцов волокон площадок принимаем гипотезу плоских сечений, согласно которой плоскости, перпендикулярные к ориентации волокон, не искривлены при тепловой деформации. При этих ограничениях тепловое расширение среды вдоль волокон будет удовлетворять равенствам (9.1), а средние напряжения — (9.2).
Решение задачи строим по аналогии с рассмотренным выше слу чаем. Однородное состояние невзаимодействующих компонентов опре деляется равенствами (9.3); на площадках совершенного контакта вы полняются первое уравнение (1.35) и соотношение (9.4), на берегах тре щин отсутствуют напряжения. Для определенности полагаем, что трещины расположены симметрично относительно плоскости х3 = = сопз!, проходящей через оси волокон. Обозначения размеров тре щин сохраним прежние.
Для этих предпосылок в решении однородного взаимодействия комплексные потенциалы, определенные формулами (8.87), позволя ют удовлетворить всем поставленным краевым условиям задачи. Коэф фициенты расширения р2 и р3 определяем согласно системе (9.6) или (9.12). Окончательно запишем
<«!>.=■ Ф .- Р )0 .
Р. = Р -(Р -Р 0)?ЕГ‘^ о +
8С(уа —\)( 1 —С)(1+^)<у |
1 |
+ Е <* + 1) 9+ 2 (1 — Е) (1 + КО0/Са) - (1 - |
Е) (*„ +1) цОЮа : (9.18) |
<7и другие параметры определены выше. |
|
188
Коэффициенты теплового расшире ния в направлениях, перпендикуляр ных к ориентации волокон, находятся по формуле (9.11) для простейших ре гулярных структур.
Из приведенного анализа следует, что коэффициенты теплового расшире ния армированной среды при произ вольно расположенных и ориентирован ных трещинах определяются формула ми (9.13), в которых упругие постоян ные должны быть заменены на упру гие параметры, найденные с учетом трещин.
Уравнения упругости (1.46) в слу чае среды с произвольно расположен ными трещинами при повышенной тем пературе заменяются соотношениями
(е1) = |
“2г (*-Ч) — |
^ 2) |
/Р- (<*з) "Ь т^ ' ( (12з) + |
|||
<е2>= |
- |
<<Т() + |
± ( а 2) - ^ |
{ а |
э>+ ^ <см) + Р20, |
|
|
|
|
|
|
|
(9.19) |
а д = |
- |
-тр -а д - |
> • а д + т а д |
+ ^ ( « я ) + Рз0. |
||
|
|
"1 |
с 2 |
*-3 |
|
и23 |
ад> = |
^ а д + |
^ а д + -%3 а д |
+ |
оЬ а д > + м . |
для которых методика определения всех параметров для ряда струк тур композиционных сред и произвольно расположенных трещин рассмотрена выше.
Результаты численных расчетов эффективных коэффициентов теп лового расширения с неналегающими трещинами представлены на
рис. 78 для |
стеклопластика с такими постоянными: |
уа=0,2; Еа == |
= 9,981* 104 |
МПа; V = 0,382; Е = 0,981 -0,315-104 |
МПа; Ра= 6 ,1 х |
X 10- 5 1/°С; |
р=0,49-10- 5 1Г С. Кривые 1 и 3 соответствуют рх и р2 |
для среды с совершенным контактом компонентов и гексагональной упаковкой волокон; кривые 2 и 4 построены для ^ и р2 при $<> = п. Как видно, наибольшее отклонение достигает 9 % при весьма развитых межфазных трещинах.
189
§ 3. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ СРЕДЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Пусть неограниченная изотропная среда — матрица компози ционного материала с изотропными одинаковыми включениями сфери ческой формы — находится при повышенной температуре 0, а вклю чения образуют кубическую или плотную гексагональную решетку (см. рис. 45, 48), поэтому эффективные свойства композиционной среды также будут изотропны.
Определим коэффициент теплового расширения среды со сплошны ми включениями радиусом а. Расположение системы сферических ко ординат г, ф принимаем в соответствии с рис. 49. В приближении однородного взаимодействия включений сферически симметричные функции непосредственно выписываются согласно формулам (6. 10), (6.12) и (6.13), (6.15). Состояние включения
|
4(1—0 0й (Р -Р о)е |
|
ЗА А+ 4 0 Кйа + ( 1 - 0 А ] г + № , и° = 0, |
||
°? = |
а |
12(1 -® 0кка( р - р в)0 |
°!> = °Ф а*вА+401САв +(1-Б)А ] * |
Остальные компоненты тензора напряжений равны нулю; состояние матрицы
|
2Е п 3к + 40 |
“г |
3*7 "ЗА+ 4 0 А г + 0 л ^ - 4 о 1 ~ р ^ ^ - |
|
— ЗА9 5“ |
Р„ а» |
2Н |
к - к |
А -у , и$ = О, |
|
|
||||||
|
к ЗА + 40 |
|
|
||||||||||
|
|
ЗА + |
40 г г |
|
г |
|
|
|
|
|
|
||
Е к ЗА |
+ 40 „ |
|
|
"Р а |
|
|
|
|
Е В — В дз |
||||
а |
|
а____ А |
12К? |
|
|
+ |
80 |
_а |
^ |
а л |
|||
ка |
ЗА + 40 |
+ 40 |
|
к |
а |
ЗА+40 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= (Тф = — 2 V |
ЗАа + 4 0 |
л |
12/гО |
Р -Р а |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ка |
ЗА + |
40 |
ЗА + |
40 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
— 40 |
Еа |
Р |
Рд л в3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
ЗА + |
40 л г8 * |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О(1-О А вМ Р -Ра) 0 |
О |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ЗАаА + 4 С [^ а+ (1 -С )А 1 0 а |
* |
|
|
|
|
|||||
Построенные решения удовлетворяют |
условиям совершенного контак |
||||||||||||
та при г = |
а : о° = аг; |
= |
иг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие равенства нулю средних напряжений на внешних гранях приведенного элемента, которые в первом приближении заменяются сферой равновеликого объема, приводят к выражению всех функций
сс стояния через приращение температуры 0. Составляя интеграл от перемещений согласно приведенному выше методу, получаем искомый
190