книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов

и большего числа факторов бывают трудно объясняе­ мыми, если они оказываются значимыми.

Приведем понятие дробной реплики. Когда по­ вторяется лишь часть эксперимента, план называется дробной репликой или планом дробного факторного эксперимента ш -

Допустим, экспериментатор имеет возможность провести 50% опытов и его интересует семь факто­ ров, причем каждый из которых устанавливается на одном из 2-х уровней. В этом случае он может ис­ пользовать одну полуреплику этого эксперимента. Тогда полный эксперимент смешиванием некоторого взаимодействия высокого порядка разбивается на два блока по 50% опыта в каждом. После этого прово­ дятся опыты только одного блока. При этом решение относительно выбора блока производится путем под­ брасывания монеты.

Рассмотрим простой случай с целью показать, каким образом проводится дробный факторный экс­ перимент. Пусть экспериментатора интересуют три фактора, каждый из которых устанавливается на 2-х уровнях. Допустим, экспериментатор не имеет воз­ можности провести все восемь опытов (23==8): он может выполнить долько четыре из них. Путем сме­ шивания взаимодействия АВС получаем, что

Блок I — (1), ab, be, ab

Блок II —ab, Ь, с, abc.

Допустим, что путем подбрасывания монеты вы­ бран блок II. Необходимо определить, какую инфор­ мацию можно почерпнуть .из блока II и какая инфор­ мация теряется при проведении лишь половины экс­ перимента.

Обращаясь к таблице 46 (глава V), в которой пред­ ставлены соответствующие коэффициенты для ком­ бинаций условий факторного эксперимента типа 23, с целью получения искомых эффектов, можно про­ вести относящиеся лишь к блоку II условия испыта­ ния, т. е. те, которые надлежат осуществить (табл. 74). Из таблицы 74 видно, что значения А и ВС имеют одинаковые знаки плюс или минус, т. е.

А ~ а — b — с -f- abc, ВС— а — b — c -j- abc.

местного эффекта. К примеру, возьмем эксперимент типа 2П(где модулем является число 2). Необходимо найти совместные эффекты. Определяющим контрас­ том считается взаимодействие АВС. Тогда совмест­ ными эффектами будут:

А (АВС) = А2 ВС = ВС,

В(АВС) = АВ2С=*АС,

С (АВС) = АВС2 =>АВ.

Следовательно, для любой дробной реплики фак­

торного эксперимента типа 2" совместными эффекта­ ми будут

А и ВС, В и АС, С и АВ.

После незначительного изменения оно справед­ ливо также и длядробного факторного эксперимента типа Зп [1].

Б, Дробные реплики при факторном эксперименте типа 2п

Здесь в качестве примера рассматривается задача, когда исследуется влияние семи факторов, устанавли­ ваемых на двух уровнях, т. е. факторный эксперимент типа 21. Это составляет всего 128 опытов, но, допустим, имеем возможность выполнить лишь 50% опыта, т. е. одну полуреплику факторного эксперимента типа 27. Совместные эффекты при таком эксперименте молено находить, если известен определяющий контраст:

ABCDLFG.

Блоки здесь находятся путем помещения (1) и всех комбинаций с четным числом в один блок (2, 4 и б), а остальных комбинаций с нечетным числом (1, 3, 5 и 7)—в другой блок. Выбор одного из этих двух блоков производится случайным образом. Кро­ ме того, перед проведением эксперимента необхо­ димо проверить (как сказано выше) наличие совмест­ ных эффектов с помощью определяющего контраста

ABCDEFG.

A (ABCDEFG) = A2BCDEFG = BCDEFG В (ABCDEF G) = ACDEFG

С (ABCDEF G) = ABDEF G

D (ABCDEF G) = ABCEF G

E {ABCDEF G) = ABCDFG

F {ABCDEF G) = ABCDEG

G {ABCDEFG) = ABCDEF

(здесь имеются эффекты взаимодействия пятого по­ рядка).

Для четвертого порядка взаимодействия имеем следующие совместные эффекты:

АВ {ABCDEFG) = CDEFG

АС {ABCDEFG) — BDEFG

AD {ABCDEFG) = BCEFG

AE {ABCDEFG) =BCDFG

AF {ABCDEFG) — BCDEG

A G(ABCDEF G) = BCDEF

BC {ABCDEF G)= ADEFG

BD (ABCDEFG) = ACEFG

BE (ABCDEFG) = ACDFG

CD (ABCDEF G) — ABEF G

CE (ABCDEF G) == ABDFG

CF (ABCD-EFG) = ABDE G

CG (ABCDEFG) — ABDEF

DE (ABCDEF G) = ABCF G

DF (ABCDEFG) =ABCEG

DG (ABCDEFG) = ABCEF

EF (ABCDEFG) = ABCD G

EG (ABCDEFG) = ABCDF и т. д.

Следовательно, для всех взаимодействий первого порядка совместными эффектами являются взаимодей­ ствия четвертого порядка. Для взаимодействия вто­ рого порядка АВС совместным эффектом является взаимодействие третьего порядка:

ABC (ABCDEF G) = DEF G

ADE (ABCDEF G) = BCFG

ACD (ABCDEFG) = BEFG

AEF (ABCDEFG) = BCDG

AFG (ABCDEFG) = BCDE

ACF (ABCDEFG) ^BDEG-

ACG (ABCDEF G) = BDEF

AD G (ABCDEFG) = BCEF

AEG (ABCDEFG) =BCDF

BEG (ABCDEFG) = ACDF и т. д._

Иногда взамодействия второго и третьего поряд­ ков берутся в качестве оценок для ошибки. В таких: случаях схема анализа для полуреплики (50% опытов)

собщим числом степеней свободы 63 представляется:

вследующем виде:

1.Основные эффекты для эксперимента 27— 7 степе­

ней свободы.

2.Взаимодействия первого порядка (или четвертого порядка) —21 степень свободы.

3.Взаимодействие второго порядка (или третьего порядка) —35 степеней свободы

Итого 63 степени свободы

В случае наложения на этот эксперимент допол­ нительных ограничений и когда имеется возможность, провести лишь 32 опыта, тогда экспериментатор мо­ жет осуществить четвертьреплику факторного экс­ перимента типа 27. В этом случае с межблоковым эффектом должен смешиваться эффект с тремя степе­ нями свободы [1]. План такого эксперимента имеетвид:

1. Основные эффекты для эксперимента 27—7 степеней

Сумма—31 степень свободы.

В. Дробные реплики при факторном эксперименте типа 3я

Рассмотрим факторный эксперимент типа З2, ко­ торый является простейшим факторным экспериментом типа Зп. В этом эксперименте полная1реплика состоит из 9-и опытов. В случае, когда проводится часть этих опытов, можно рассматривать третьреплику этого эксперимента. В начале смешивается взаимодействие АВ или АВ2 (L = Х г-f- 2А'3) и получаются следующие блоки:

не бывает больше единицы, то получаем:

Л(ЛВ2) = (Л2В2)2 = Л4В4 = ЛВ (по модулю3).

Или

В(ЛВ2) = ЛВ3 = Л.

Следовательно, все три эффекта Л, В и АВ счи­ таются совместными и смешиваются друг с другом. Из этого следует, что Л = В = ЛВ являются совмест­ ными эффектами.

Ценность дробных реплик особенно обнаружива­ ется, когда в эксперимент включается большее число факторов. Как пример рассмотрим факторный экспери­ мент типа З3 с разбиением на 3 блока по 9 комбинаций условий в каждом. Здесь можно выделить следующие эффекты, имеющие две степени свободы каждый: Л, В, С, АВ, АВ2, АС, АС2, ВС, ВС2, АВС, АВ2С, ЛВС2 и ЛВ2^2. Теперь смешивая взаимодействие ЛВС2 с тремя блоками, можно получить, что

L*=Xx + X a + 2ЛГ4.

Тогда блоки имеют вид (смотри таблицу 75):

В случае реализования лишь одного из этих бло­ ков, совместными эффектами являются:

А(АВС2) = (А2ВС2)2=- А*В2 С1= АВ2 С

ИА (АВС2)2=А(А*В2С*)=А*В2С*=В2С=В*С2=ВС2

В(АВС2)= АВ~ С2—АВ2 С2

ИВ (АВС2)2=А2В*С*=г.(А2С)2=А*С2=АС2 С(АВС2)^А В С ^А В

ИС (АВС2)2=А2В2С3—(Л2В2 С2)2=Л4В4 С4=АВС

АВ2 (АВС2)—А2В3 С2=(А2С2)2=Л4 С*=АС

”АВ2 (ЛВС2)=Л 3В4 С4=В4 С4=ВС.

Если возможно пренебречь всеми взаимодейст­ виями и для оценки ошибки иметь хотя бы две степени свободы, то этот план можно считать приемлемым с практической точки зрения.

Более подробно рассмотрим план третьреплики факторного эксперимента типа З3. Схема про-ведения этого эксперимента как полного факторного экспери­ мента дается в таблице 76 (т. е. элементы еще невычеркнуты).

Когда проводится лишь одна треть данного экс­ перимента, например, только блок £ = 1 , тогда пред­ полагаем, что все остальные эффекты таблицы 76 вычеркиваются. Если теперь оставшиеся не вычерк­ нутыми 9 элементов таблицы 76 объединить по уров­ ням фактора С, то молено получить план в виде ла­ тинского квадрата (табл. 77). Таким образом, трётьреплика факторного эксперимента типа З3, выраженная

зацию однофакториого эксперимента до латинского квадрата как третьреплики факторного эксперимента типаЗ3. Эти планы оказываются одинаковыми, не­ смотря на то, что они получены совершенно различ­ ными путями*

В третьреплике"факторного эксперимента типа 3“ имеются три представляющих интерес фактора, задаю­ щих условия испытаний. Модель этого плана прини­ мает вид [1]:

здесь АУВ и С берутся из эффекта условий испы­ таний.

Еще раз нужно подчеркнуть, что перед тем как использовать эти планы для экспериментов типа 3", необходимо быть уверенным в отсутствии взаимодей­ ствий. Если существуют взаимодействия между А, В и С, то необходимо их смешивать с основными эффек­ тами самым удачным образом.

Г л а в а VII

ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ МЕТАЛЛОВ СТАТИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

В этой главе на конкретных примерах показано» применение статистических методов планирования при исследовании ряда явлений, сопутствующих процессу резания. Приводится сравнение данных эксперимен­ тов, полученных статистическим и традиционным ме­ тодами исследования, с целью доказательства эффек­ тивности запланированных экспериментов.

А. Построение модели для расчета составляющих силы резания при точении

Нашей задачей является определение характера и степени влияния режимов резания на составляющиесилы резания Pz, Ру и Ях с помощью статистического метода планирования экспериментов при одних и тех же остальных условиях резания. В данном случаерассматривается факторный эксперимент типа З3, т. е. такой эксперимент, где участвует три фактора на трех фиксированных уровнях, с повторением каждого экс­ перимента в три раза. Однако, так как получается большое число экспериментов (33 = 27), приходится несколько ограничивать рандомизацию и рассматри­ вать факторный эксперимент З3 с разбиением на блоки,, число которых кратно трем. Каждый блок при этом», имеет по девять комбинаций условий: