книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов
..pdfтегральным разложением |
|
|
|
|
X (г, z) = |
- j |
1-1А © |
e - b j 0(gr) dg, |
(Ш.11) |
|
0 |
|
|
|
где A (0 — неизвестная |
функция, |
которую для |
данной задачи |
|
надо определить. |
|
|
|
|
Вычислим на основании |
соотношений (1.21), |
(1.22) и (111,11) |
||
перемещения иг (г, ъ) и напряжения ог (г, z) для рассматриваемой задачи:
2цц2 (г, а )------ J [&в + 2 (1 — v)] А © er*J0(gr) dg; |
(III.12) |
О |
|
Oz (г, z) = J i (zg + 1) Л © е- ^ / 0 (Er) dg. |
(III.13) |
О |
|
Подставляя соотношения (III.12) и (III.13) в граничные условия (III.9)^задачу сводим к решению такой пары дуальных интеграль ных уравнений:
оо |
|
|
|
Л (£) (£г) ^ |
— v * 2г |
d\ |
|
\ |
|
|
(III.14) |
J U ® J o(tr)d Z = 0, |
2r > d . |
|
|
Решение дуальных интегральных уравнений (III.14) будем осуществлять так. Представим неизвестную функцию А (|) в виде
d/2 |
(III.15) |
А (£) = j cp (х) cos Цх) dxy |
|
где ф (х) — неизвестная функция, непрерывная вместе |
со своей |
производной в замкнутом интервале j^O, -^-j. Тогда на основании
известной [24] формулы |
|
|
|
оо |
°, |
r < x ; |
|
I cos (gar) J0 |
(gr) dg |
(III.16) |
|
r > x |
|||
о |
(r* — x2)~ T , |
второе уравнение (111.14) удовлетворяется тождественно для любой функции ф (я) рассматриваемого класса.
Далее, подставляя величину А |
(I) |
из (III.15) в первое уравне |
|
ние (II 1.14) и учитывая |
соотношение |
(II 1.16), приходим к инте |
|
гральному уравнению |
|
|
|
г |
Ф (*) |
|
(III.17) |
J |
/ г 2 — х2 |
1 — v |
|
Проинтегрируем обе части уравнения (III.17) следующим обра зом:
Г |
_ га [J y ri _ * « J |
. |
(III.18) |
|
J / * 2 |
1 - v J /^ а _ г 2 |
4 |
' |
|
Заменив порядок интегрирования и вычислив один интеграл в левой части соотношения (III.18), а также проинтегрировав его правую часть, получим
- f - J q , ( x ) d x = - J ^ r . |
(III.19) |
О |
|
Интегральное уравнение (III.19) решаем путем дифференциро вания обеих частей по t. В результате получим
Подставляя значение <р (^ из уравнения (III.20) в соотношение (II 1.15), находим, что
Л ® - |
(Ш .21) |
Распределение нормальных напряжений в области перешейка z = 0, г d/2 определяем на основании соотношений (III.13)
и(III.21). Подставляя выражение (III.21) в соотношение (III.13)
иполагая z = 0, получаем
|
а* (Г- °) = |
n ( l - v ) |
Id |
^ |
(Ш.22) |
|||
|
J Sin "Г* j ° |
|||||||
|
Используя известную |
[24] формулу |
|
|
|
|||
|
“ |
|
|
[ 0, |
|
r > t ; |
(III.23) |
|
|
\sin fet) J0(|r) |
= | |
|
/f, |
r < t , |
|||
|
о |
|
|
[ (t* — r2) |
|
|||
соотношение (III.22) приведем к такому |
виду: |
|
|
|||||
|
|
Oz (г, 0) |
- |
|
4ц6 |
|
|
(III.24) |
|
|
я (1 — v)}-^ —4r* |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
и |
Неизвестную |
величину S определим из соотношений |
(III.10) |
|||||
(III.24): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
(1^ |
)Д° • |
|
|
(111*25) |
|
На основании равенств (II 1.24) и (II 1.25) для вычисления нор |
|||||||
мальных напряжений а2 (г, |
0) в области |
перешейка z = |
0, г ^ |
|||||
< |
d/2 получим |
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
oz (г, 0) |
|
2Д0 |
|
|
(III.26) |
|
|
|
jid У d*— 4г3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
После того как вспомогательная упругая задача (III.9) реше
на *, коэффициент интенсивности |
напряжений |
^ |
находим |
|
на основании зависимости (1.2), т. е. |
|
|
||
M°max = lim [V n{d — 2г) аг (г, 0)]. |
|
(III.27) |
||
2r-*-d |
|
|
|
|
Подставляя соотношение (III.26) в (III.27), получаем |
|
|||
K[0)msx = |
d у nd . |
|
(III.28) |
|
Номинальные напряжения |
cinom |
для рассматриваемого слу |
||
чая (е -+■ 0) вычисляем так: |
До |
|
|
|
|
|
(III.29) |
||
|
5 |
’ |
|
|
|
|
|
||
где R0 — усилие, действующее на тело; S — поперечное сечение перешейка тела. В данном случае S — площадь перешейка тре щины,
S = |
- . |
(III.30) |
На основании соотношений (III.8), (III.29) и (III.30) найдем,
что
сг<°> = |
4PL |
(III.31) |
пот |
nd1D |
|
Сравнивая выражения (Ш .2) и (III.28), а также учитывая соот ношения (III.8) и (III.31), для вычисления геометрической части
а0 коэффициента интенсивности напряжений i£imax получаем
ап ^ |
(Ш .32) |
2 / 2 |
' |
Малость перешейка трещины по сравнению с поперечным сече нием цилиндра (е —>•0) требует небольшого нагружения Р , кото рое практически не вызовет прогибов двух составных частей ци линдра. Прогиб h0 (см. рис. 14, отрезок N0) в центральной части цилиндра возникает в результате упругого перемещения перешей ка трещины С'О = ОС" = б и жесткого поворота составных частей цилиндра К'С' и С"К". Из простых геометрических соображений и вычислений на основании данных рис. 14 можно установить, что между величинами б и h0 существует аналитическая зависимость
|
к — ШD |
(III.33) |
Подставляя значение б из соотношения (III.25) в уравнение |
||
(III.33), а также учитывая (III.8), находим, что |
|
|
h0 = |
PL * (1 — у ) |
(III.34) |
|
||
1 Указанную вспомогательную задачу можно решить и другим путем [82]. |
||
5 7-281 |
|
65 |
3. Случаи мелкой трещины
Представим напряженное состояние в ци линдре как сумму напряженного состояния цилиндра без трещины, который изгибается силой Р, и напряженного состояния цилиндра с внешней кольцевой трещиной, на поверхностях которой прило жено нормальное давление, равное нормальным напряжениям ог (г, ср, 0) в центральном сечении сплошного цилиндра для перво го напряженного состояния.
Первое напряженное состояние можно определить, используя теорию изгиба стержней [ИЗ]. В результате получим, что в цент ральном сечении цилиндра нормальные напряжения аъ (г, ф, 0) вычисляются по формуле
|
/ л\ |
32РLT S in (D |
/ТТТ ОСЛ |
|
Ог(г, ф, 0) = ------ nDi |
т . |
(III.35) |
||
Второе напряженное состояние соответствует случаю упругого |
||||
о |
о |
„ |
/ d |
D \ |
цилиндра с внешней кольцевой трещиной I— < |
г < —^-J на по |
|||
верхностях которой |
приложены |
напряжения |
(III.35). Так как |
|
во втором граничном случае е ->■1 (d-*»D)yто вместо изменяющих ся по г напряжений (III.35) на поверхностях кольцевой трещины
необходимо задавать их граничные значения при г = |
D/2, т. е. |
|
°z (-§- > ф. о) = |
- sin ф. |
(III.36) |
Первое напряженное состояние не зависит от параметров тре щины, поэтому оно не влияет на величину коэффициента интенсив
ности напряжений которая всецело определяется вторым напряженным состоянием в окрестности точки В (см. рис. 13).
При е 1 напряженное состояние для второго случая медленно изменяется вдоль контура трещины (0 < ф < я) и можно считать, что в малой окрестности точки В (при ф « л/2) в силу симметрич ности имеет место состояние плоской деформации. Поэтому коэффи
циент интенсивности напряжений #imax в точке В будет таким же, как и в случае полуплоскости с поверхностной трещиной длины
2~х (D — d), на берегах |
которой действуют равномерно |
распре |
|
деленные напряжения (III.36) при ф = |
я/2 (рис. 15). |
|
|
Таким образом, для |
определения |
необходимо |
решить |
вспомогательную упругую задачу для полуплоскости с поверх ностной трещиной (см. рис. 15) при следующих граничных усло виях:
аж(0, Z) = T*2(0, z) = 0 |
при х = |
0, |
| z |< |
оо; |
(III.37) |
||
ххг (х, 0) = |
0 |
при z = |
0, |
0 < |
х < |
оо; |
(III.38) |
о2(х, 0) = |
— q |
при z = |
0, |
х < |
а; |
|
(III.39) |
иг (х, 0) = |
0 |
при z = |
0, |
х > |
а. |
|
(III.40) |
Здесь Oxz — прямоугольная система ко ординат, оси Oz и Ох которой направ лены соответственно по границе полу плоскости и по линии расположения трещины; q — нормальное на кромках трещины давление, или интенсивность напряжений на бесконечности в рас сматриваемой пластине,
16PL |
(III.41) |
Я = я/)3 |
|
а — длина трещины, равная |
глубине |
кольцевой трещины в цилиндре, т. е.
а |
D — d |
(III.42) |
|
2 |
|||
|
|
Напряженное состояние в полуплос кости с трещиной при граничных усло виях (III.37) — (III.40) представим как сумму напряженных состояний в плос кости с трещиной длины 2а и полуплос кости без трещины, или в тензорной форме
о = |
+ о2. |
(III.43) |
Рис. 15. Схема растяжения полуплоскости с поверхнос тной трещиной.
Здесь |
— тензор напряжений для плоскости с трещиной; а2 — |
|||||
тензор |
напряжений для полуплоскости. |
|
|
|||
Граничные условия для обеих задач выбираются такими, чтобы |
||||||
в сумме напряженных состояний реализовались граничные условия |
||||||
(III.37) |
- |
(И 1.40). |
|
|
|
|
1. |
Для первого напряженного состояния выберем граничные |
|||||
условия |
в |
виде |
|
|
|
|
|
(х, 0) = 0, |
z = 0, |
0 < | х | < о о , |
|
||
а<‘)(х, 0) = - g - c f > ( x , 0), |
z = |
0, |
IXI < а, |
(III.44) |
||
u(J) (х, 0) = 0, |
2 = |
0, |
\х\>а. |
|
||
Здесь и(21} (х, 2), тxl (х, 2), о41} (х, 2) — проекции вектора пере мещения и компоненты тензора напряжений для плоскости с тре
щиной длины 2а; о^2) (х, 0) — компонента тензора напряжений
/ч
а2. Ось Oz при этом выбрана так, что в случае первого напряжен ного состояния она проходит через центр трещины, перпендикуляр но к линии ее расположения (оси Ох), а в случае второго напряжен ного состояния — вдоль границы полуплоскости.
Упругую задачу с граничными условиями (И 1.44) решаем ме тодом интегральных уравнений. Так как касательные напряжения
тлг (х, 0) на линии 2 = 0 отсутствуют и тензор напряжений Oi
симметричен относительно оси Oz, то упругое решение задачи ищем в виде (1.19) через одну гармоническую функцию (х , z), которую представим интегральным разложением
|
|
оо |
|
|
Хх (*, z) = - |
J |
О e~l2|? cos Цх) dl, |
(III.45) |
|
|
|
О |
|
|
где А г (£) — искомая |
функция. |
|
|
|
На основании соотношений (1.19), (1.20) и (III.45) компоненты |
||||
тензора напряжений |
(х , z), а^ |
(.z, z) и проекция вектора пере |
||
мещения и (я, z) запишутся так: |
|
|||
a(i) (*, *) = |
J [| г |g + 1 ] в -1*№cos (lx) А, (1) dl; |
(III.46) |
||
|
о |
|
|
|
<£> (*, 2) = - |
J [| z 11- 1 ] |
e-W6cos (lx) A, (D dl; |
(III.47) |
|
|
о |
|
|
|
иЫ (х, z) --------J i fzg + |
2(1 — v) sign z] е-Ш cos (lx) Ax (l) dg. |
|||
(111.48)
Подставляя соотношения (III.46) и (III.48) в граничные усло вия (111.44), задачу сводим к решению дуальных интегральных уравнений
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ Ах(g) cos (xl) dl = |
— q — of) (х, 0), |
|
\х |< |
а; |
|
||
|
j I *АХ(|) cos (xg) dl = 0, |
|х |> |
а. |
|
(111.49) |
|||
|
|
|
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как функция напряжений |
cr(z2) (х, 0) четная |
относительно |
|||||
аргумента х, то при решении интегральных уравнений |
(II 1.49) |
|||||||
будем рассматривать только |
значения х |
0. |
в |
следующем виде: |
||||
Представим неизвестную |
функцию А г (£) |
|||||||
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
(Ш.50) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
(t) — неизвестная функция, |
которая |
непрерывна |
вместе |
||||
со своей производной в замкнутом интервале [0, а]. |
|
|
||||||
Тогда на основании соотношений (III.16) и (III.50) второе урав нение (III.49) удовлетворяется тождественно, а первое принимает вид
j<Pi(0 [ £ cos (ga:)/ 0(gj) dg] d* = — q — о?Цх, 0). (III.51)
о4
Внутренний интеграл уравнения (III.51) можно представить так:
{ 1cos (lx) J0 (It) <% = |
- £ ■ { sin (lx) J0 (It) dg. |
(III.52) |
0 |
0 |
|
Используя соотношение (III.52), а также известную [24] формулу
00 |
f 0 |
t "> xm |
(Ш.53)
уравнение (III.51) приводим к виду
_d_ |
1 |
= — q — o f (x, 0). |
(III.54) |
dx |
Ф (t) dt. |
||
Ух2 — t2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
Проинтегрировав обе части уравнения (111.54) в промежутке [0, ж], получим
l |
= — j' [g + CTz2) {b |
(III.55) |
0 |
0 |
|
Уравнение (III.55) решаем аналогично уравнению (III.17). При этом проинтегрируем уравнение (III.55) следующим образом:
5 7 = г [f д а - ] * - - i |
г {f Й + |
+ a<2>(g, 0)]dgj<te. |
(III.56) |
Заменив порядок интегрирования в обеих частях уравнения (III.56) и вычислив соответствующие интегралы, найдем, что
|
у |
v |
\ |
J |
<h (t) d t = - \ ' V y 2- x * l q + o f (x, 0)] dx. (III.57) |
^ |
0 |
0 |
Функцию фх (t) находим из уравнения (III.57) путем дифферен цирования обеих частей этого уравнения по у:
|
[ q + o f (*, 0)] |
(III.58) |
Фх |
dx. |
|
« - - - г - 1 |
|
Определим нормальные напряжения о21} (х, 0) на линии про должения трещины ( \х |> a, z — 0). Для этого подставим соот ношение (III.50) в равенство (III.46) и, сделав необходимые пре образования и вычисления соответствующих интегралов на основа нии зависимостей (III.52), (III.53), найдем
< М > «> - |
<г а -59> |
Подставив выражение (III.58) в соотношение (III.59) и сделав замену порядка интегрирования, получим
"S' ^ - 7 Т f |
+ * e '°>' [ I |
] * |
О |
6 |
(III.60) |
|
|
Внутренний интеграл в соотношении (III. 60) вычисляем на основании работы [24]. Затем продифференцировав подынтеграль
ное выражение по параметру х, определим напряжения |
oi1* (х, 0) |
||||||
в следующем виде: |
|
|
[? + |
о® (Е, 0)] |
|
|
|
Q (1) (х |
ffl |
2 |
|
(III.61) |
|||
хГ [t? + |
^ 2)(g’ 0)]/a2- |
|
|||||
' |
’ |
' |
п |
) |
/* * — «*(** — I2) |
|
|
Формула (III.61) определяет напряжения |
(#, 0) только для |
||||||
положительных х > |
а. |
Для того чтобы определить напряжения |
|||||
а*1* (х, 0) при а; <с —а, необходимо в соотношении (III.61) брать аргумент х по абсолютной величине. Формула (III.61) совпадает с соответствующей формулой (1.11) работы [82], если в (1.11) функция qn (£) четная.
Определим теперь напряжения а*1* (0, z). Для этого подставим выражение (III.50) в равенство (III.47), положив при этом х = 0. В результате получим
|
о<?> (0, Z) = |
- Сф1 (<) fJ 6 (I z 11 - 1 ) |
e-W 6/0 (It) dgl dt. (III.62) |
|||
|
|
О |
*-0 |
|
|
J |
Для вычисления внутреннего интеграла соотношения (II 1.62) |
||||||
используем известные [24] значения интегралов |
|
|||||
|
|
j6*-4/o(g*)dg« |
(<* + |
2*)‘/* ’ |
(III.63) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
fl — 2z* |
||
|
|
|
|
|
||
На основании соотношений (III.63) формулу (III.62) можно за |
||||||
писать |
|
|
|
|
|
|
|
|
a(‘)(0 ,2) = 3|z|*j. Ф1(0 dt |
(III.64) |
|||
|
|
|
|
(*2 + |
Z*)4/« |
|
Подставив значение функции фх (г), определяемое равенством |
||||||
(II 1.58), в соотношение |
(II 1.64) и заменив порядок |
интегрирова |
||||
ния, |
найдем, что |
|
|
|
|
|
С |
(0. «>- - |
j и + «Р <*• °»[f |
у |
] *• |
||
0 |
х |
Внутренний интеграл соотношения (III.65) вычисляем на осно вании данных работы [24], в результате имеем
tdt |
(2а2 + 3z2 + х2) j/~д2 — д»2 |
(Ш.66) |
|
V (f* — *2) (*2 Z2)6 |
3 (ж2 + 22) 2 (а 2 + г2)*/« |
||
|
Используя соотношения (II 1.65) и (II 1.66), для вычисления на пряжений а*1* (0, z) получим формулу
0 (0 (0 ,,) = |
_____ * ! £ - _ Г Л +<42)(«.0)1 V * + ** + *>*' |
6 |
|
ж ' |
п(а* + *2) /л J |
(ж241- 22)2-о'*'(д2-’ _ Х2)-ол--Ч. |
V |
2. Найдем теперь напряженное состояние для полуплоскости,
которое описывается тензором напряжений ог2При этом условия на границе полуплоскости должны быть такими, чтобы при выпол нении соотношений (И 1.43) и (II 1.44) выполнялись граничные условия (III.37) — (III.40). Для этого необходимо на границе полуплоскости х = 0 задать условия
т(2>(0, z) = 0; о<.2>(0, z) = — |
(0, z). |
(Ш .68) |
Так как касательные напряжения т** (х, z) равны нулю на линии х = 0, упругое решение задачи будем искать (аналогично соот ношениям (1.19)) в виде
о |
т |
д2*2 |
- 2 ( 1 —v) |
ах, |
2К |
2) = |
|
|
дх |
|
|
|
|
(III.69) |
2ри® = х |
дЧ. |
+ (1 — 2v) - |
дХ2 |
|
|
|
dxdz |
1 v~ |
dz |
Здесь 0С2 = Х2 (х, z) — гармоническая функция,
Х2(х, z) = - j г Ч (I) |
cos (gz) dg. |
(III.70) |
О
Используя равенства (III.69), (III.70) и (1.15), граничные усло вия (11.68) преобразуем в интегральное уравнение относительно неизвестной функции А 2 (£):
J А2(g) cos (gz) dg = — a*.1» (0, z). |
(III.71) |
Применим к обеим частям уравнения (III.71) косинус-преобра зование Фурье [136]. В результате получим
(I) = —7Г j ^ (°>z) cos (Sz) dz- |
(III.72) |
|
Определим напряжения a(z2) (х, z) по оси Ох. Используя соот ношения (1.15), (III.69), (III.70), (III.72) и производя необходимые
преобразования, |
находим, |
что |
|
а<2>(х, 0) = - |
- 1 Т <£> (0, z) [ J (1 - |
e~*t cos (gs) dgl <fe. (III.73) |
|
|
о |
*-о |
|
Внутренний интеграл в соотношении (III.73) вычисляем на ос новании известных результатов [24]
f (1 - *Э cos &z) dl = ■ т . (III.74)
о
На основании равенств (III.67), (III.73) и (III.74) для опреде
ления функции |
a(z2) (х, |
0) получим интегральное уравнение |
|
|||||||||
|
а® (х, 0 ) = /( * ) + |
J a<2> (t, 0) К (х, |
t) dt. |
(III.75) |
||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
- % |
|
f 1/ н |
^ Г |
? — |
* & > + * + + * ) * |
|
] dt, |
|
|||
|
J |
|
U |
(*2 + 2T |
(*2 + z2)2 (a2 + *2)*/. J |
|
||||||
К (x, t) = |
|
К a2— г2 f ------- г6(2a2-f- 3z2 + |
t2)dz |
(Ц1.76) |
||||||||
v |
' |
|
Л2 |
|
J (X2_j_ z2)2 (*2 _f_ 22)2 (a2 + |
z2)72 |
V |
7 |
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
После вычисления необходимых интегралов соотношения |
||||||||||||
(III.76) можно записать в таком виде: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
tf |
ч |
Aqx |
Г 5х4 — 8а2х2 . |
а — У а2 — а;2 |
, |
|
|
||||
|
|
|
— — [ 4 (. . - . у / . ln 7 V y |
|
+ |
|
|
|||||
|
|
|
+ |
___ |
2а4 + |
5а2*2 — Ах* |
|
|
(III.77) |
|||
|
|
|
^ 4х |
|
2а (а2 — I 2) 2 |
|
|
|||||
|
8ж |
|
п/г- 2 ------Тъ \ |
|
|
2x12 |
1 |
а — / а 2 — <2 |
|
|||
' |
" 2 |
|
|
} |
(г2 — г2)3/ а 2 — г2 |
a + y V |
— i2 |
|
||||
|
I 2 (дД<4 — 4а2г4 — 6г4<2 4- 20а2д2<2 — 8а4<2 — Зд») |
|
|
|||||||||
|
+ |
|
|
4 (i2 — <2)3 (а2 — s2)v > |
|
|
|
|
||||
|
X In |
а — |^a2 — |
2a3t2 + ax2't2 + 2а3х2— Ъах4 |
|
|
|||||||
|
а + У а 2— х2 |
+ |
|
2 (х2— ^2)2 (а2 — х2)2 |
|
|
|
|||||
Интегральное уравнение (III.75) можно решать численными методами. Для этого запишем его в безразмерном виде
1
CO2 (C) = |
Y ( Q + |
A f t (ri, Q d n , |
(III 78) |
|
где |
|
|
|
|
t —"г: Ч-4-; |
ч'(0 = Y/Wi |
(III.79) |
||
« 1 (4. i) = |
A’ (i, I); |
в, ({J - -i- o f (X, 0). |
||
|
||||