книги / Теплофизика в металлургии

где z - координата, перпендикулярная плоскости рисунка. Раскладывая давление в ряд Тейлора

dp dx Рх+ь — Рх + - ^ г ' 7 Г + -

и учитывая два члена разложения, получим

Знак минус свидетельствует о том, что сила действует в направле­ нии падения давления.

Силы вязкого трения возникают на боковых гранях выделенного элемента. Скорость движения среды у левой грани элемента по данной схеме меньше, чем в самом элементе. Поэтому сила вязкого трения тор­ мозит движение и направлена вверх. У правой грани поток ускоряет дви­ жение элемента, сила трения направлена вниз. Равнодействующую этих сил найдем по аналогии с равнодействующей сил давления:

, ч 9S

V ,= { S y+i y - S y ) d x 6 z = - ^ - & V

В соответствии с гипотезой Ньютона касательное напряжение Sy (Па) между слоями вязкой среды пропорционально градиенту скорости в поперечном направлении:

где |т - коэффициент динамической вязкости,

N Па — м=>Па-с

м

он характеризует касательное напряжение при единичном градиенте скорости. На практике применяют также коэффициент кинематической вязкости

размерность которого совпадает с размерностью коэффициента темпера­ туропроводности. Отметим, что вязкие среды, подчиняющиеся уравне­ нию (2.27), называются ньютоновскими. После подстановки (2.27) в (2.26) получаем

Вязкость в значительной степени зависит от температуры |i = поэтому раскрывая производную произведения в уравнении (2.28), имеем

т.е. неоднородное температурное поле может быть одной из причин дви­ жения вязкой среды.

В частном случае постоянной вязкости сила вязкого трения прини­ мает вид

Подставляя найденные силы в исходное уравнение (2.23), получим

dи

(2.30)

dx

Поделив это уравнение на плотность р и раскрывая полную произ­ водную в его левой части, получим окончательное уравнение движения для выбранной одномерной схемы:

Составляющие правой части уравнения (2.31) характеризуют соот­ ветственно силы тяжести, внешнего давления и вязкого трения, а левой части - инерционные силы. Физический смысл полученного уравнения

заключается в равновесии указанных сил для элементарного объема вяз­

кой среды.

В трехмерном случае в левой части уравнения (2.31) появляются до­ полнительные конвективные члены, характеризующие пространствен­ ный перенос среды, а также добавки к силам трения, действующим по всем граням контрольного объема в форме параллелепипеда. В результа­ те уравнение движения в проекции на ось х принимает следующий вид:

Аналогичный вид имеют проекции уравнения движения и на две другие оси у, z. Полученную систему трех уравнений движения, назы­ ваемых уравнениями Навье-Стокса, можно представить в векторной форме:

где W (и, v, w) - вектор скорости; V /?- градиент давления.

2.4.Дифференциальное уравнение теплоотдачи

впограничном слое

Теплоотдачей называется теплообмен между твердой поверхностью и вязкой средой, обтекающей эту поверхность. Практика показывает, что плотность теплового потока при теплоотдаче прямо пропорциональна раз­ ности температур вязкой среды (/с) и поверхности твердого тела (*п), назы­ ваемой температурным напором. Примем для определенности tn>tc, тогда уравнение теплоотдачи (уравнение Ньютона) будет иметь вид

где a - коэффициент теплоотдачи (Вт/(м2 К), равный плотности теплового потока на твердой границе при единичном температурном напоре. Ко­ эффициент теплоотдачи может изменяться от нуля до бесконечности. Действительно, как следует из (2.34), при a=0 q=0 (адиабатная поверх­ ность), а при a —»оо q!a=0 и tn=tc(изотермическая поверхность). Решить уравнение (2.34) относительно неизвестного коэффициента теплоотдачи без привлечения дополнительной гипотезы не удается, так как не извест­ на плотность теплового потока у твердой границы.

поверхности тормозятся, что является причиной искажения профиля скоро­ сти. Это искажение можно характеризовать градиентом ди/ду, который об­ ращается в нуль на некотором удалении от поверхности в невозмущенном потоке. Динамическим пограничным слоем называется слой заторможенной вязкой среды толщиной 8Ду твердой поверхности, в пределах которого

д и /д у^0 .

Аналогично понятию динамического пограничного слоя Г. Кружилин в в 1936 году ввел понятие температурного пограничного слоя (рис. 2.5). При движении у твердой поверхности частицы вязкой среды, имеющие температуру tc, при торможении у поверхности нагреваются до температу­ ры этой поверхности t„. Температурным пограничным слоем называется слой вязкой среды толщиной 8 гУ твердой поверхности, в пределах которого d t/d y ^0 .

пограничного слоя, а процесс теплоотдачи осуществляется в пределах температурного пограничного слоя и подчиняется закону теплопроводности Фурье q = —Х(ди/ду).

Подставляя эту плотность теплового потока из закона Фурье в урав­ нение теплоотдачи (2.34), получаем уравнение теплоотдачи в погранич-

коэффициент теплопроводности X в котором относится к вязкой среде в пограничном слое.

2.5. Условия однозначности

Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена описывает бесконечное множество процессов. Чтобы выделить конкрет­ ный процесс и определить его единственное решение, систему диффе­ ренциальных уравнений нужно замкнуть условиями однозначности, дающими математическое описание всех частных особенностей рас­ сматриваемого явления.

Различают следующие виды условий однозначности.

1. Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тел или системы, в которой протекает процесс.

На свободной поверхности жидкости, не контактирующей с твер­ дой поверхностью, действует элементарная сила поверхностного натя­ жения

где а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, (Н/м). При постоянном коэффициенте поверхностного натяжения эта сила не явля­ ется причиной движения жидкости, она лишь вызывает дополнительное давление, изменяя уровень жидкости в каналах малого диаметра (капил­ лярах), либо стремится придать конечному объему жидкости форму с наименьшей поверхностью. Например, в условиях невесомости жид­ кость принимает форму шара. Однако при переменном коэффициенте поверхностного натяжения силы поверхностного натяжения не скомпен­ сированы, появляется причина движения, и граничные условия на сво­ бодной поверхности в этом случае принимают вид

%, =0 дх

Коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры

где у - температурный коэффициент поверхностного натяжения, (Н/(м-К)), у = —ди/ду, отрицательное значение этого коэффициента от­ ражает тот факт, что сила поверхностного натяжения уменьшается с увеличением температуры. С учетом линейной зависимости (2.41)

и граничное условие (2.40) принимает вид

(2.42)

у=0

Явление движения жидкости, инициированное силами поверхностного натяжения при неоднородном распределении температуры, называют mер-