книги / Общие вопросы теории граничных задач

интегральный оператор с гладким ядром) вполне непре­ рывен.

/-4. Если а(х) €Е С (У), то при любом м б Н || aJzu — / 8 (аи) || —»- 0 при 8 — 0.

Действительно, достаточно заметить, что

Равенство (2) немедленно следует из возможности пе­

ремены порядка интегрирования.^ В дальнейшем нам потребуются операторы осредне­

ния, обладающие тем свойством, что построенные с их помощью гладкие функции оказываются удовлетворяю­ щими дополнительно некоторым однородным граничным условиям. В одномерном случае простейшими из таких операторов являются, например,

Свойства /-1, 2, 3, 4 доказываются для этих операто­ ров точно так же, как для оператора / е. Свойство /-5 не­ сколько видоизменяется.

/-5а. Для любых и, v GE Л справедливо равенство

(х = Ь) ядро оператора /ё (Л) равно нулю тождественно при любом х' е У = (0, Ь). Ц

Нетрудно построить и оператор, обеспечивающий вы­ полнение однородных условий на обоих концах рассмат­ риваемого интервала:

тельстве /-2, 3 происходит переход от якобиана, равного единице, к якобиану, равному 1 — 4ZT1e, что ничего не меняет. В свойстве /-2 надо заменить в неравенстве еди­ ницу на некоторое число Ег -*~1 при е 0. Существен­ ны лишь видоизменения свойств /-5, 6.

Оператор / 8 «размазывает» осредняемый элемент (как, впрочем, и исходный оператор / 8), и 7 zu не удовлетворяет, вообще говоря, однородным условиям ни на одном из

где х = {хъ . . ., хп) и х', dx' определены соответственно. Формулировка свойств с /-1 по /-5 остается прежней (с заменой, естественно, Dm на частную производную

Da, где а — некоторый мультииндекс; § 2). Приведенные доказательства также сохраняют силу (с очевидной заме­

Операторов типа J t в многомерном случае исполь­ зовать мы не будем и остановимся подробнее лишь на опе­

евклидова расстояния d (ж, ж') выполнено неравенство d (ж, ж') > кг, где к ^ 1 — некоторое фиксированное число.

Область V, удовлетворяющую условиям F-l, F-2, ус­ ловимся называть нормальной.

Сделанные относительно границы F в начале настоя- ’ щей главы (п. 1.1) предположения заведомо достаточны для нормальности.

З а м е ч а н н е.^Несколько менее ограничительное, чем упомянутые, предположение, обеспечивающее нор­ мальность, может быть сформулировано следующим обра­ зом. Область Vk звездна относительно шара <= Уц (радиус шара положителен), если для любой точки ж е S dVk конус с основанием £fk и вершиной ж лежит цели­ ком в Vk. Область F, являющаяся объединением конечно­ го числа областей F*, каждая из которых звездна относи­ тельно некоторого шара'"$*, нормальна.

В рассмотренном выше одномерном случае (F = (0, Ь))

не аналогичным соответствующему оператору в одномер­ ном случае. Сформулируем свойство /-5Ь (предполагая, естественно, что 0 <| е ^ е0).

Сомножитель DaJ tv в левой части (6) можно рассмат­ ривать как результат применения к v некоторого интег­

рального оператораDaJ &с ядром D%<ог (#, х'):

DaJtv = | [D%®e (х, х)] v (х) dx = [DaJz\ v.

Как это следует из определения оператора осреднения, при любом г^> 0 этот интегральный оператор обладает сопряженным LD«/ej*f причем

(», ID«JM = (\DaJ&]*u, v) = ( - l) :“l (/)* [/* и], v),

(7)

где последний член равенства получается за счет исполь­ зования четности ю (1) и замены Da(ae (х, х') на

(—1)1*1/?® <»8 (х , х') (с введением, быть может, некоторого дополнительного множителя Ее -*~ 1 при е -*• 0, включае­

мого в определение / 8; ср. предыдущие пункты).

Оператор / 8 также является оператором осреднения, отображающим Н на некоторое линейное многообразие Л CZ Н гладких функций, удовлетворяющих, быть мо­ жет, некоторым дополнительным условиям типа гранич­ ных. Если теперь положить

деления оператора /?^, определяемого уже как замыка­ ние в Н операции /?*, заданной первоначально на линей­ ном многообразии Л .

З а м е ч а н и е . Считая гладкую функцию <р в (5) допустимой, если она финитна в V (равна нулю вне неко­ торого компактного подмножества V' CZ V), придем к оп­

ределению обобщенной производной Df 1. . . /?£™, при­ нятому в [16]. Предположив, что V нормальна, и взяв

в качестве / 8 оператор / 8 (п. 5.2), получим включение

68 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

где Dr — дифференцирование по х'. В то же время

D (aJzu) = Da- J со8• и (х) &х — J [Z>'coe] а (х) и{х) d x \ (10)

V V

Разность между последним членом цепочки (9) и первым членом правой части (10) стремится, очевидно, к нулю (перестановочность осреднения с умножением на непре­ рывную функцию). Разность остающихся членов запи­ шем в виде

^ D' {<о8 (я, х ) [а (х) — а (ж')]} и (х') dx v

и воспользуемся приведенным выше утверждением, пола­ гая Кг = D ' {со8 [л — а']}. Соответствующее семейство операторов равномерно ограничено (надо воспользовать­ ся тем, что | а — а' | <; Сг при | х — х' | е), выполне­ но свойство К-2 с х = 0 и требование локальности К-Ъ. И

Приведенная лемма имеет много вариантов. Полезно отметить, что от функции а (я), достаточно требовать ку­ сочной дифференцируемости и лшшшц-непрерывности.

Из леммы Фридрихса немедленно следует, что в слу­ чае, когда « Е Й Фсл)> а (х) е= С1 (и, следовательно, а и ^ Ь Фсл))у справедливо утверждение:

|| D (aJeu) — JJDсл (аи) || -^ 0 при е ->■ 0.

§ 6. Совпадение слабых и сильных расширений дифференциальных операций

6.1. Случай постоянных, в главном, коэффициентов. Для операций L (В) вида (1) § 2, коэффициенты которых о*, I а | > 2, постоянны, вопрос об эквивалентности сла­ бых и сильных расширений при наличии операторов осреднения, «хорошо приспособленных» к рассматривае­ мым граничным условиям, решается весьма просто за счет перестановочности осреднения с умножением на констайту и аппроксимативной перестановочности с умножением на гладкую функцию в случаях, охватываемых свойством /-4 § 5 или леммой Фридрихса. Что следует понимать под «приспособленностью» осреднения к граничным усло­ виям, станет ясным в ходе наших рассмотрений.

Будем считать заданной область V d IR” и операцию L (£>), коэффициенты которой удовлетворяют сделанным выше предположениям. Б соответствии с обозначениями § 4 пусть у, ty — некоторые сопряженные системы гра­

гладкая фикция, удовлетворяющая граничным услови­

Дальше остается применить схему, изложенную в п. 3

§ 5. Если интегральный оператор L* {D)J% таков, что для сопряженного оператора верно равенство

[V (D) J?\*u = L (D) Л и + цг (и),

причем выполнены условия:

1)— оператор осреднения, обладающий тем свой­

е0, то равенство (1) немедленно приводит к равенству

© (I4 * )C » (L ,).

Обратное включение, как всегда, очевидно.

Если взять теперь в качестве Lv максимальный опера­ тор, порождаемый операцией L (D), а в качестве J ? — оператор J z, определенный в п. 2 § 5, то получим теорему.

тельно более сложным. Основной причиной возникающих осложнений является недопустимость, вообще говоря, перестановки под знаком производной порядка больше единицы операций умножения (на гладкую функцию) и осреднения, т. е. отсутствие в этом случае аналога леммы Фридрихса.

Приведем простейшую модель, выясняющую характер возникающей трудности. Возьмем в качестве оператора

осреднения оператор

x+fc

и D2K\(au), представив последнее выражение в виде

4h2D2Kh (аи) = [а(г + 2h) — 2а(х) + а (х — 2h)\u (ж+2А)+ + [а (ж) — а (х — 2h)] [u (ж + 2Л) — и (ж)] +

+ а (ж — 2Л) [и (ж + 2h) — 2и (ж) + и (ж — 2h)],