книги / Надежность и живучесть систем связи

20 путей. На рис. 6.2 видно, что различие между р(Е) и р~(Е) со­ ставляет 40%.

Расчеты, проведенные для широкораз-ветвленной системы свя­ зи с числом узлов более 50, показали, что ее надежность при из­ ложенном алгоритме выбора обходных путей снижается на (2 0 — 30) % по сравнению с потенциально достижимой.

6.3. Расчет систем связи с лестничной структурой методом преобразований «треугольник —звезда»

1.Теорема преобразования для последовательно соединенных

элементов. Группа из г последовательно соединенных элементов с вероятностями отказа у(э{) может быть заменена одним элемен­ том э', имеющим

? ( » ') - i - n u - f (»|)):

»=1

в первой аппроксимации

(6.12).

t=i

во второй аппроксимации

2. Теорема преобразования для параллельно соединенных эле­ ментов. Группа из h параллельно соединенных элементов с веро­ ятностями отказа q(9i) может быть заменена эквивалентным эле­ ментом э', имеющим

q(9,)=U8(9t)- i=i

101

3. Теорема преобразования для соединений <гтреугольник-:- звезда». Группа элементов, соединенных в треугольник (рис. б.З.а), имеющих вероятности отказа qи, <7гз, ?зъ может быть заме­

Точность выражений в (6.13) равна д(э\), q ( 3 ' 2) , q ( s 3) соот­

ветственно.

4. Теорема преобразования для соединений «звезда — треуголь­ ник». Группа элементов, соединенных в звезду, имеющих вероят­ ность отказа q{3i)t q{32), q{3z), может быть заменена группой элементов, соединенных в треугольник, имеющих вероятности от­ каза:

(6.14)

Точность выражений в (6.14) имеет порядок qi2q2z\ ЯчгЯъй <731*712- Использование теорем преобразования позволит получить бо­ лее точный результат, когда один или несколько элементов схе­ мы менее надежны по сравнению с другими. В [20] приведены примеры использования теорем преобразования для мостовой схе­ мы и ее .модификаций, а также для лестничной схемы. Лестничная схема преобразуется в схему из последовательно соединенных эле­

ментов.

Формула для р(Е) при равных вероятностях отказов элемен­ тов имеет вид

p(E) = \- r q (b f + 4q (bf q(b)+ 2(r-3)q (Ь)-q(b).

Расчет р(Е) с помощью теорем преобразования требует зна­ чительного объема преобразований исходной схемы и позволяет получить только приближенный результат. В последней формуле

гозначает число звеньев лестничной схемы.

6.4.Метод эквивалентной замены ребер для расчета надежности систем связи с лестничной структурой

Рассмотрим мостовую схему, изображенную на рис. 6.4,а в предположении, что вершины абсолютно надежны. Вероятность сохранения связности полюсов a3t at мостовой схемы может быть легко вычислена методом эквивалентной замены ребра b|,2. Полу-

Р и с . 6 .4 . Эквивалентное

преобразование мосто­ вой схемы

102

ченный результат затем обобщается для схем лестничного типа. Докажем теорему эквивалентной замены.

Теорема. Мостовая схема из пяти элементов, имеющих вероятности р(э.,)<1, представляется схемой из двух последовательно соединенных элемен­ тов с вероятностями

р( Z V j,2) = (I — Pi.a) {(1 — Ps. 1) Рэ.2 Pi.tO —Pz.t) +

+Ps,! ( ! — PS.2H 1— P i,f)P 2 ,t}.

Учитывая, что p(Zyi) = l—(1 P * < i ) U Р».г) и P ( Z V 2) * = \ (1—-рм)(1—pj,^,

выполняем простые преобразования в (6.20) и получаем, что р (Е ) = Рэк 1 Рек *.

103

где pam и Рэк2 выражаются формулами (6.15) и (6Л6), что и требовалось до.

казать.

Применим указанное преобразование для лестничной схемы с произвольным числом звеньев (см. рис. 3.11). Для этого стянем каждое поперечное ребро, в результате чего лестничная схема пре­ образуется в схему из г последовательно соединенных звеньев

Р и с . 6.5. Эквивалентное преобразование сети с в*{

лестничной структурой

(рис. 6.5). Очевидно, что для такой структуры вероятность р(£) вычисляется по простейшей формуле

определить выражение вероятности p(ZV/,) через заданные вели­ чины. Каждая пара соседних звеньев ZVi-i, ZV\ образует мостовую схему, вероятность связности которой, с одной стороны, вычисля­ ется с учетом преобразования (6.20)

а с другой — в соответствии со схемой, изображенной на рис. 6.4:

Приравнивая (6.22), (6.23), подставляя в (6.16) выражения p(ZV*_i), p(ZV'i) и выполняя некоторые операции, получаем выра­ жение вероятности исправности эквивалентного ребра Ь'ц:

где р означает вероятность исправности поперечных ребер. Использование (6.21), (6.24) и (6.25) позволяет определять на­

дежность лестничных схем произвольной длины даже без помощи ЭВМ. Экспериментальные расчеты на ЭВМ ло специально разра­ ботанной программе при условии автоматического определения наличия поперечных ребер между парами вершин продольных ветвей для схемы из г=25 проведены менее чем на 1 мин рабо-

104

ты ЭВМ «Минск-22» с быстродействием 5000 оп/с (см. рис. 3.12). Преобразование эквивалентной замены можно применить и для упрощения некоторых других классов схем.

Г л а в а 7. I ОЦЕНКА ЖИВУЧЕСТИ СЕТЕЙ СВЯЗИ

IНА ЭЛЕКТРОННОЙ МОДЕЛИ

7.1.Особенности применения методов электронного моделирования для оценки живучести сетей связи

Для оценки живучести сетей связи могут быть использованы два вида моделей — математические и физические. Математичес­ кие -модели основаны на идентичности уравнений, описывающих процессы, протекающие в оригинале и модели, отличающиеся по своей физической природе. Наряду со многими неоспоримыми достоинствами — такими, как возможность использования универ­ сальных вычислительных средств, высокая точность получаемых результатов, математические модели обладают рядом существен­ ных. недостатков: математический аппарат при моделировании больших сетей -получается достаточно громоздким, а объем вычис­ лений резко возрастает с увеличением числа элементов рассмат­

риваемых сетей связи.

Физическое моделирование, основано на изучении явлений на моделях одной или подобной природы с оригиналом. При физи­ ческом моделировании сохраняются необходимые особенности по­ ведения объекта исследования, что существенно облегчает полу­ чение требуемых результатов. Для таких моделей выбирают наи­ более удобные, подобные оригиналу физические процессы, геомет­ рические размеры и диапазон изменения физических величин.

Вычислительные средства, построенные на базе физических моделей, по сравнению со средствами математического -моделиро­ вания обладают рядом существенных достоинств. Это, как пра­ вило, высокое-быстродействие и способность работать в реальном масштабе времени, что особенно важно для оперативного управ­ лениясетями связи [40]. Наглядный ввод исходных данных и вывод результатов непосредственно в моделях исследуемых эле­ ментов сети -связи -позволяет эффективно иопользовать их в систе­ ме. «человек—-машина», когда машина рекомендует -решение на основе введенных .в нее исходных данных, а окончательное реше­ ние с учетом своих эвристических способностей принимает чело­ век. Во многих случаях физические модели имеют небольшую стоимость и более простую конструкцию по сравнению с терми­ налами ЭЦВМ.

К недостаткам физических моделей следует отнести их узкую специализацию, направленную на решение ограниченного класса задач и относительно высокую погрешность получаемого резуль­ тата (порядка 0,1—10%).

105

На практике физическое моделирование находит применение как в научных исследованиях, когда формализованное описание процессов в исследуемых объектах затруднено, так и в техноло­ гических процессах управления сетями связи, когда от управляю­ щих устройств требуются высокое быстродействие и способность вырабатывать решения в реальном масштабе времени при допу­ стимой погрешности вычислений.

Для физического моделирования сетей связи удобно исполь­ зовать электронные модели сетей, представляющие собой сово­ купность электронных элементов (генераторов, счетчиков, источ­ ников тока, резисторов и др.), соединенных между собой согласно топологии исследуемой сети связи. В свою очередь в зависимости от формы представления входных параметров модели электрон­ ные модели подразделяются на аналоговые и дискретные. В ана­ логовых моделях входные параметры представляются в виде не­ прерывных величин тока или напряжения, а в дискретных — раз­ личного вида импульсами напряжения или тока.

Одним из способов решения вероятностных задач в сложноразветвленной сети является использование стохастических авто­ матов — электронных устройств, в состав которых входят дат­ чики случайных сигналов, электронные ключи, счетчики и другие" элементы. Стохастические автоматы позволяют воспроизводить достаточно сложные процессы, возникающие при функционирова­ нии систем связи, математический анализ которых весьма затруд-. нен. Однако большое количество потребной аппаратуры ограни­ чивает область использования этих устройств. Так, созданные стохастические автоматы позволяют моделировать только неболь­ шие сети связи объемом до семи-десяти узлов. По этой причине стохастические автоматы целесообразно использовать для модели­ рования сетей связи небольшого объема.

При решении вероятностных задач аналитическими методами исследуемая сеть связи представляется графом G{A, В), элемен­ там которого присваиваются- «веса», равные математическому ожиданию рассматриваемого параметра. Такой подход позволяет при оценке живучести сетей связи перейти от статистического к- аналоговому моделированию.

В большинстве случаев для оценки живучести сетей связи вы­ сокая точность расчета не нужна ввиду значительной неопреде­ ленности исходных данных: значения выживаемости линий и узлов связи известны с погрешностью, превышающей 20—30%. Поэтому представляет интерес приближенная экопресс-оценка живучести на простых электронных моделях сетей связи с погрешностью до> 15—20%. При этом реализуются те характерные преимущества, которыми обладают физические модели сетей связи по сравнению с математическими. Все это позволяет эффективно попользовать такие модели не только для оценки структурысетей связи по критерию живучести, но и для оперативной оптимизации струк­ туры этих сетей путем выбора наилучшего варианта структуры при заданных условиях функционирования.

106

Учитывая то обстоятельство, что с электронной моделью сети Сможет работать оператор без специальной математической подго­ товки, физическая модель сети связи может найти широкое при­ менение в .различных министерствах и ведомствах для оценки и оптимизации структуры информационных, энергетических, транс­ портных сетей, сетей связи и им аналогичных.

7.2. Принцип оценки живучести сетей связи на электронной модели

МОДЕЛЬ СЕТИ СВЯЗИ.

. Математически задачу определения живучести сложиоразветвленной сети связи молено сформулировать так: даны параметры графа G(A, В):

Для оценки живучести направлений связи в сети рассматри­ ваемая сеть связи .представляется в виде электронной «модели сети, в которой линиям связи ставятся в соответствие переменные .ре­ зисторы, а -узлам овязи — совокупность одинаковых резисторов, соединенных между собой в одной точке (рис. 7.1,а). Таким обра­ зом, электронная модель сети для оценки живучести направлений связи представляет собой набор переменных резисторов, соеди­ ненных между собой согласно топологии исследуемой сети связи

(рис. 7.1,6).

Учитывая то обстоятельство, что резисторы ребра Rij и двух смежных узлов Rt и Rj соединены последовательно (.рис. 7.1,6) за счет некоторого увеличения погрешности оценки живучести, элек­ тронную модель сети молено упростить, пересчитав значения соп­ ротивлений узлов в смежные ребра. Тогда получим упрощенную электронную модель сети, состоящую только из моделей линий связи сети.

Значения сопротивлений переменных резисторов определяются

Для упрощенной модели сети значения сопротивлений -моделей линий сети с учетом пересчета сопротивлений моделей узлов оп­ ределяются по формуле

107

с — постоянное основание логарифма, определяемое диапазоном изменения величин рц {p i).

Рис. 7.1. Резисторная модель сети связи со взвешенными узлами и ребрами:

а) модель узла сетя связи, б) фрагмент модели сети свя­ зи с моделями узлов и ребер

= 0,7 . При этом погрешность функции аналогового перехода уве­

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУКТУРНОЙ ЖИВУЧЕСТИ НАПРАВЛЕНИЙ СВЯЗИ НА ЭЛЕКТРОННОЙ МОДЕЛИ СЕТИ

Исходными данными для оценки живучести направлений свя­ зи Phi в сети «между узлами k и I являются:

108

структура исследуемой сети связи, задаваемая матрицей связ­

воздействии (поражающих факторов P=HJM . Последовательность оценки живучести 'на электронной модели

сети определяется следующим алгоритмом:

1. По исходной матрице Р оцениваются границы изменения исходных данных рц и выбирается значение постоянного основа­ ния логарифма с в функции аналогового -перехода (7.4).

2.Из потенциометров (переменных резисторов) собирается электронная модель сети, аналогичная по топологии исследуемой сети в соответствии с исходной матрицей связности М.

3.По функции аналогового перехода (7.4) или по графику из­ менения этой функции (рис. 7.2) определяют значения сопротив­

лений резисторов Rij ребер сети и Ri узлов сети.

Р и с . 7.2 . Выбор функции аналогового перехода R i = f{ P i)

4.Для упрощенной модели сети определяют пересчитанные значения сопротивлений моделей ребер сети RUj по (7.3).

5.С помощью омметра устанавливают значения сопротивлений переменных резисторов R'ij(Rij, R<).

6.К узлам k и I, между которыми определяют живучесть нап­ равлений связи, подключают омметр и измеряют сопротивление Ru.

109

7. Для упрощенной модели определяют суммарное значение сопротивления в направлении R'M с учетом узлов k и I:

этой функции значение сопротивления Rhi (для упрощенной моде­

ли R'M) переводят в значение Рм-

: Таким образом, оценка живучести направлений связи на элек­ тронной модели сводится к измерению сопротивления между за­ данными узлами этой модели.

7.3. Оценка погрешности расчета живучести сетей связи на электронной модели

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ФУНКЦИИ АНАЛОГОВОГО ПЕРЕХОДА

Погрешность оценки живучести сетей связи на электронной модели определяется методической .погрешностью .модели и инстру­ ментальной погрешностью установки сопротивлений моделей эле­ ментов сети, а также погрешностью измерения результата.

В свою очередь инструментальная погрешность оценки живу­ чести определяется классом используемых измерительных прибо­ ров и типом -переменных резисторов. Эта погрешность, как пра­ вило, находится в пределах 1—5% и распределена по нормаль­ ному закону.

Методичеокая погрешность оценки живучести на электронной модели ,в основном определяется погрешностью используемой при­ ближенной функции аналогового перехода rj/. В некоторых типах структур, содержащих сбалансированные мостикшые цепи, воз­ можна дополнительная методическая погрешность т]д.

Оценим методическую погрешность, получаемую при расчетах на электронной модели сети.

Рассмотрим т.ри основных типа структур сетей связи (рис. 7.3): последовательную (направление связи), параллельную (простое информационное направление) и смешанную (сетевую).

тронной модели, представляющей собой электрическую цепь из п последовательно соединенных резисторов с сопротивлениями Ra (рис. 7.3,а), необходимо и достаточно, чтобы однозначная функция аналогового перехода (7.2) обладала свойством

,1.10