книги / Упругопластические решения и предельное состояние
..pdf1.5. Примеры решения задач строительной механики |
31 |
Рис. 1.15. Подкрепленная цилиндрическая оболочка под радиаль ной нагрузкой («Ш» — недеформируемый шпангоут):
а — схема нагружения; б — кинематически возможное со стояние
жесткие подкрепления (шпангоуты) оболочки. Определим пре дельное значение q нагрузки.
Предельное состояние определяется исчерпанием несущей способности на изгиб под влиянием изгибающего момента
M s =m = Gjh1/4 и окружного усилия N, = aTh.
Условие равенства нулю суммы работ внешних и внутренних сил дает
2 n R q 5 Q |
з а Т ^ “ 5 0 |
~~1 = О, |
откуда |
4 I |
R |
|
|
|
|
Я = |
|
Пример 1.7
►В условии предыдущей задачи предположим отсутствие под крепляющих элементов в сечениях Б и В и определим предель ную радиальную нагрузку q (рис. 1.16).
Расстояние /, фиксированное в предыдущем примере, здесь надлежит определить из условия минимума для q. Получаем
/, = 7 Ж и, таким образом,
Если найденное здесь значение I оказывается меньше задан ного в предыдущем примере расстояния между шпангоутами, то
32 I. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе
а
Рис. 1.16. Цилиндрическая оболочка без подкреплений:
а— схема нагружения (бандажное погонное усилие q, Н/м);
б— кинематически возможное предельное состояние
образование круговых пластических шарниров произойдет именно в пролете между подкреплениями.
Полученный результат показывает, что вовлекаемая в плас тическое деформирование («выламываемая») область оболочки из материала с идеальной пластичностью имеет ширину того же
порядка, что и зона краевого эффекта (Г » 2,47Ж ).
Сравним полученное значение q предельной нагрузки со зна чением qT, соответствующим достижению текучести.
Используем при упругом нагружении оболочки расчетные соотношения на основании метода начальных параметров. Изги бающий момент Ms в сечении А находим из условия равенства нулю угла поворота нормали в этом сечении:
Mj_ |
ч = 0. |
я р |
4яр2 |
Здесь D = £A3/l2(l - д2), р = 1,285/ТЖ. Получаем Ms = - ?/4р.
Окружное усилие N, в этом сечении выразим через прогиб оболочки
(Wm + Wq)Eh (-М ,/2Р& 2 +д/4РЦг)ЕИ qR $
N , |
2 ’ |
|
здесь использовано обозначение Eh - = 4S4.
R2D
Окружное напряжение на наружной поверхности оболочки
6М,
^ |
= |
) |
= 1>275-^г . |
И |
4р/*Ч 6 |
Рh2 |
1.5. Примеры решения задач строительной механики |
33 |
Здесь осевое напряжение а? = 6MJh2 = 6g/4f3/i2, напряжение в направлении нормали к поверхности а. = 0 , а интенсивность напряжений при ц = 0,3 имеет значение
Из условия а, = а 7 получаем qr = a^hr/lA - Вычисляем отношение q/qT = 2• 1,4/1,285 = 2,18. ■
Вывод
Результаты расчетов в примерах 1.2—1.7 показывают, что после начала образования пластических деформаций нагрузка может быть значительно увеличена, прежде чем элемент конструкции превратится в кинематически изменяемую систему.
Следует отметить, что при рассмотрении пластинок и оболо чек использованы предельные характеристики — предельный
погонный изгибающий момент т = сгг/г /4 и предельное погон
ное усилие N t = a Th. Однако в случае одновременного действия этих силовых факторов не использовалось условие пластичности для учета двухосного напряженного состояния.
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
2.1 . УСЛОВИЕ НАЧАЛА И РАЗВИТИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
В случае одноосного нагружения до предела текучести спра ведлив закон Гука, связывающий напряжение а и деформацию е соотношением а = £ • е, где Е — модуль упругости материала. Начальный прямолинейный участок диаграммы, где а < с т, име ет наклон, пропорциональный величине Е. А именно, Е — tga (рис. 2 .1).
Но одноосное нагружение — это частный случай нагружения материала в конструкции. Обычно оно носит сложный характер. Ограничимся рассмотрением случаев, когда напряженное состо яние характеризуется главными напряжениями a h a2, a 3. Тради ционно используем условие Oj > a2 > a3. При упругой работе
2.1. Условие начала и развития пластических деформаций |
35 |
материала главные деформации е„ е2, е3 линейно зависят от глав ных напряжений, и это отражает обобщенный закон Гука:
= 0 /£ ) •[<*!-й(в2 +<!,)]; |
|
h = (1/£')-[ст2 -ц(оз + а 1)]; |
(2 .1) |
Ез = 0 /£ ) - [ о з - й К + ° 2)]- |
|
При этом главные оси напряжений и деформаций совпадают. Выпишем также выражение для zv— упругого изменения объе
ма материала вследствие силового воздействия:
= (1 + £ ,)(1 + е2)(1 + е, ) - 1 = [(1 - 2 ц)/£](о, + о2 + о,). (2 .2 )
Соотношения (2.1) могут быть обращены, тогда напряжения выражаются через деформации:
CTJ = £ е , (1 + ц) + E[XEV /(1 + ц) (1 - 2ц);
а, = £е2(1 + ц)+£цбк/(1 + ц)(1-2ц);
а 3 = £е3 (1 + ц) + Ецеу/(1 + ц)(1 - 2ц).
Диаграмма растяжения (см. рис. 2.1) показывает, что при од ноосном растяжении (ст, > 0 , сг2 = ст3 = 0 ) в материале появляются первые пластические деформации, когда единственное отличное от нуля напряжение су, = ст равно с г — напряжению, соответству ющему пределу текучести материала при растяжении, т. е. ст = стг.
Однако необходимо знать условие появления пластических деформаций в материале и при сложном напряженном состоя нии. Условие, которому должны удовлетворять напряжения в исследуемой точке тела при появлении в ней пластических де формаций, называется условием пластичности.
Исследователями сделаны в отношении этого условия раз личные предложения. Остановимся на двух из них. Принято то или иное условие пластичности называть с упоминанием об ис следователях, которые первые предложили его формулировку.
На основании экспериментальных исследований ученого Г. Треска (Н. Treska, 1868 г.) специалист по механике Б. СенВенан (В. S.-Venant, 1871 г.) предложил следующее условие пла стичности: материал переходит из упругого состояния в упруго пластическое, как только максимальное касательное напряжение тпих,
36 2. Упругопластические свойства
а оно равно (о, —а3)/2 , достигает некоторого определенного для данного материала значения хт. Для одноосного напряженного состояния о = сгг, а2 = <т3 = 0 , поэтому
тг = а г/2 |
(2.3) |
и условие пластичности Треска—Сен-Венана принимает вид |
|
(Ji -ст3 = о т. |
(2.4) |
М. Губером (М. Huber, 1904 г.), а позже Р. Мизесом (R. Misec, 1913 г.) и Г. Генки (Н. Непсу) было предложено новое условие пластичности: появление пластических деформаций связано с вполне определенным значением т, — интенсивности касательных напряжений: т, = const. Это значение выбирается таким, чтобы в частном случае одноосного растяжения удовлетворялось условие а = ат.
При отличии от нуля всех главных напряжений а,, а2, а 3 на пряженное состояние, вызывающее появление пластических де
формаций, характеризуется обобщенным напряжением |
|
а, = (л/2/2)^/(а,-сг2) 2 +(сг2 -ст3) 2 +(ст3 - о ,) 2, |
(2.5) |
которое называют интенсивностью напряженного состояния и ко торое пропорционально интенсивности т,- касательных напря жений.
Аналогично, деформированное состояние характеризуется
обобщенной деформацией |
|
|
||
е/ = |
J 2 _ |
)/(е1 - 8 2)2 + (8 2 |
-е з)2+(е3 - б 1)2, |
( 2. 6) |
2(1 + ц). |
называемой интенсивностью деформированного состояния.
При одноосном нагружении а, = а, е, = г.
Условие пластичности Губера—Мизеса (или условие пластич ности Мизеса—Генки) с использованием обобщенного напряже ния имеет вид
(72/2)^(ст, - а 2 ) 2 + (сг2 - а 3) 2 + (а, - а , )2 = а г . |
(2.7) |
Условия пластичности (2.4) или (2.7) достаточно точно опре деляют появление пластических деформаций, дают близкие ре зультаты. Но все же условие пластичности Губера—Мизеса более точное, лучше совпадает с результатами опытов.
2.2. Активное нагружение. Частные случаи представления диаграмм 37
Так, при кручении (или при чистом сдвиге: а, = х, а2 = О, а3 = -т) по условию Треска—Сен-Венана тг = 0,5ar (cM. (2.3)), а условие (2.7) Губера—Мизеса принимает вид
а г = (л/2/2)>/(тг - О) 2 +(0 + тг ) 2 + (-тг - х Т)2 = тгл/3,
откуда получаем хт= а г/>/3 ~ 0,577а т.
Эксперименты показывают, что пластические деформации при кручении появляются, когда хтравно (0,56—0,6)а7. Таким обра зом, экспериментальная проверка условий пластичности свиде тельствует в пользу условия Губера—Мизеса.
Здесь при решении конкретных задач использованы оба рас смотренных условия пластичности. Причина в том, что в некото рых случаях решение задачи с использованием условия пластич ности Треска—Сен-Венана менее сложно, чем с использованием условия пластичности Губера—Мизеса. Отметим, что оба усло вия имеют одну и ту же особенность: наступление пластичности не зависит от наличия всестороннего равномерного растяжения или сжатия, т. е. условие пластичности не изменяется при увели чении или уменьшении всех трех главных напряжений а,, а2, а3 на одну и ту же величину, ибо в условия пластичности входят разности главных напряжений.
При нагружении элемента конструкции материал сначала ра ботает упруго. Затем условие пластичности удовлетворяется в со вокупности наиболее опасных точек. При последующем возраста нии нагрузки происходит расширение области пластических де формаций, поскольку условие пластичности удовлетворяется и в других сечениях.
2 .2 . АКТИВНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИАГРАММ
В разд. 2.1 рассмотрено условие начала пластических дефор маций. Когда они образуются и развиваются, возникает необхо димость пользоваться зависимостями между напряжениями и деформациями, которые носят нелинейный характер.
Но прежде чем изучать зависимости между компонентами напряжений и деформаций в упругопластической стадии, уже за
38 2. Упругопластические свойства
пределами действия закона Гука, остановимся на характерных особенностях диаграмм одноосного растяжения материалов. Эти диаграммы являются основой для построения теорий, отражаю щих проявление упругопластических свойств при сложном на пряженном состоянии, поскольку одноосное нагружение — это частный случай сложного напряженного состояния.
Диаграммы одноосного растяжения в координатах «напряже ние — деформация» отражают свойства материала в двух ситуа циях испытания: при нагружении и при разгрузке. Нагружение материала называют активным, если напряжение и деформация не прерывно увеличиваются. Это соответствует участку 0тА диаграм мы на рис. 2.1. Разгрузка материала имеет место при частичном или полном снятии внешних усилий, на диаграмме это соответ ствует участку АВ на рис. 2.2.
Сначала остановимся на частных случаях представления ди аграмм, отражающих активное нагружение.
Деформированное состояние материала после превышения предела текучести характеризуется двумя составляющими еу и епл силовой деформации е: еу = о/Е — упругая составляющая дефор мации и б пл = б —еу = е —о/Е — пластическая составляющая деформации. Например, на рис. 2.2 изображены составляющие
£л и г*л силовой деформации еА.
Диаграмма одноосного испытания в координатах «напряже ние — деформация» может рассматриваться одновременно как обобщенная диаграмма в координатах «обобщенное напряжение а, — обобщенная деформация е,». Обоснованием к такому рас смотрению служит следующее обстоятельство. Многочисленные экспериментальные исследования пластических свойств различ ных материалов показывают: в тех случаях, когда нагружение «про-
Рис. 2.2. Упругая разгрузка
2.2. Активное нагружение. Частные случаи представления диаграмм 39
стое» (это означает, что все значения а„ а2, а3 изменяются про порционально одному параметру), диаграмма а,—е,- не зависит от того, при каком соотношении между о„ о2, о3 проводилось испыта ние, и совпадает с диаграммой а —е при одноосном испытании.
Поэтому в инженерной практике если имеется диаграмма о- s одноосного испытания, используемого для элемента конст рукции материала, то можно при условии «простого» нагруже ния этого элемента конструкции обозначать оси этой диаграммы как О/ и е, и полагать, что имеющаяся диаграмма отражает связь обобщенного напряжения а, и обобщенной деформации в, для любого соотношения главных напряжений а 1} а2, ст3.
При выполнении расчетов обычно схематизируют диаграмму испытания материала, заменяя ее на отдельных участках прямо линейными отрезками, что позволяет использовать для аппрок симации диаграммы простые аналитические зависимости. В этих случаях различия между пределом пропорциональности и преде лом текучести не делают.
Остановимся на тех случаях аппроксимации, которые будут использованы в примерах расчетов. Диаграммы будем рассмат ривать в координатах а,—е,.
2 .2 .1 . Упругопластический материал без упрочнения
Для некоторых материалов с целью упрощения решения за дач диаграмму а,—е, можно представить в виде двух участков:
а,. = Ее,- |
для |
е, < гТ = от/ Е ; |
а, = а т |
для |
е,- > ег . |
Такая диаграмма представлена на рис. 2.3, а и характеризует идеальную упругопластическую среду (тело Прандтля).
2 .2.2. Упругопластический материал с линейным упрочнением
Диаграмма упругопластического материала с линейным уп рочнением приведена на рис. 2.3, б. Пластическое деформирова ние сопровождается упрочнением материала, которое носит ли нейный характер. Коэффициент упрочнения обозначим к, при чем к <£ Е. В этом случае если £,• < бг, то а,- = Ezt\ если е, > ет, то а, - г) • а г + kEf = а* + ке,-, где r\ = 1 - к/Е.
2. Упругопластические свойства
40
в |
г |
Рис. 2.3. Аппроксимация диаграммы:
а — идеальная упругопластическая среда (тело Прандтля); 6 — упругопластический материал с линейным упрочнением; в — полигональная аппроксимация; г — сопоставление ап проксимаций диаграмм
2 .2.3. Полигональная аппроксимация диаграммы
Весьма часто аппроксимируют диаграмму в виде ломаной (рис. 2.3, в). На каждом л-м интервале аппроксимации справед лива зависимость
° /= (ч ° г ) . + M i = < + |
|
|
Значения кп и а* постоянны внутри интервала |
< е, < е„ и |
|
определяются из выражений: |
|
|
кп = (а „ “ <V i)/(e« “ |
= <*„ - М/»> |
|
где а„ и <J/(_ J — интенсивности напряженных состояний, опреде ленные по реальной диаграмме соответственно при е„ и E„_j. На первом интервале аппроксимации о* = 0 и вместо к используем