книги / Теория информации

воляют, в свою очередь, улучшить такие важнейшие технико-экономи­ ческие показатели средств цифровой техники, как стоимость изготов­ ления и эксплуатации, а также надежность.

Низкая стоимость и высокая надежность больших интегральных схем, естественно, являются мощными стимулами дальнейшего рас­ ширения областей использования цифровых сигналов.

В данной главе ограничимся рассмотрением методов преобразо­ вания непрерывных сигналов в дискретные.

Дискретные сигналы - это сигналы, принимающие конечное чис­ ло значений или состояний. Числа, составляющие последовательность значений сигнала, называются от счет ам и сигнала (samples). Отсчеты берутся через промежутки времени Т, называемые периодом дискр е ­ т изации (или инт ервалом, ш агом дискр ет изац ии - sample time). Ве­ личина, обратная периоду дискретизации,^ =1/7’ назы вает ся част о ­ т ой дискр ет изац ии (sampling frequency).

Дискретные сигналы могут непосредственно создаваться на вы­ ходе преобразователя «сообщение - сигнал» или образовываться в результате дискретизации аналоговых сигналов. Процесс преобразо­ вания аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется д искрет изац ией (sampling), а результат такого преобразования - дис­ крет ны м (р еш ет чат ы м ) сигналом (рис. 4.1,6). Дискретный сигнал описывается решетчатой функцией х (п Т ), где п - номер отсчета, п — О, 1,2,3 ... Он может быть вещественным или комплексным.

При обработке сигнала в вычислительных устройствах его отсче­ ты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразо­ вания отсчетов сигнала в числа называется квант ованием по уровню (quantization), а возникающие при этом ошибки округления - о ш и б ка ­ м и (или ш у м а м и ) квант ования.

Сигнал, дискретный как во времени, так и по состоянию, называет­ ся цифровым (рис. 4.1, в). Сигналы этого типа также описываются ре­ шетчатыми функциями х ц(п 7 ), которые, однако, могут принимать только конечное число значений из некоторого конечного интервала х ' < х < х". Эти значения называются уровнями квантования, а соответствующие фун­ кции - квантованными.

При анализе дискретных сигналов удобно пользоваться нормиро­ ванным временем

(4.1)

Таким образом, номер п отсчета дискретного сигнала может интерпретироваться как нормированное время. Переход к нормирован­ ному времени позволяет рассматривать дискретный сигнал как функ­ цию целочисленной переменной п.

Цифровые сигналы - разновидность дискретных сигналов, для которых квантованные по уровню и дискретные по времени значения представлены в виде числа. Преимущество цифровых сигналов - более высокая помехоустойчивость и возможность их формирования и обработ­ ки микроэлектронными логическими устройствами. Цифровые сигналы находят все большее применение в современных системах электросвязи.

Итак, переход от аналогового представления сигналов к цифрово­ му во многих случаях дает значительные преимущества при передаче, обработке и хранении информации. Для успешного взаимодействия систем цифровой обработки сигналов с реальным миром необходим аналоговый интерфейс ввода-вывода, позволяющий осуществлять переход от аналогового формата к цифровому. Такой переход связан

сдискретизацией сигнала по времени и с квантованием по уровню.

4.2.Общая постановка задачи дискретизации

Всамом общем случае представление непрерывного сигнала и([) на интервале Т совокупностью координат (с,, с2, ...,cN) может быть за­ писано в виде

где А - оператор дискретного представления сигнала, реализуемый ус­ тройством, называемым дискретизатором.

Аналогично можно записать и операцию восстановления по сово­ купности координат (ср с2, ...,cN) непрерывной функции u (i) (воспро­ изводящей функции), отображающей исходный сигнал с некоторой текущей погрешностью приближения 8(/) = u(t) - и (t):

где В —оператор восстановления, реализуемый устройством восста­ новления сигнала.

Задача дискретизации в математическом плане сводится к совмес­ тному выбору пары операторов А и В, обеспечивающих заданную точ­ ность восстановления сигнала.

Рассмотрим разновидности используемых операторов А и В и критериев оценки точности восстановления сигнала.

Широкое практическое применение нашли линейные операторы, поскольку их техническая реализация проще. Для определения коор­ динат сигнала используется соотношение

где {£/(0}у=| - система функций, которые для определенности назовем

весовыми.

Воспроизводящая функция представляется аппроксимирующим полиномом

где {(p/0}Ny=/ - система базисных функций.

При одном и том же операторе представления А для восстановле­ ния могут использоваться различные операторы В.

Из соотношений (4.4) и (4.5) следует, что произведения £,y(/)<py(/‘) должны иметь размерность, обратную времени.

Методы дискретизации следует рассматривать как с позиций полезности для решения теоретических вопросов передачи и пре­ образования сигналов, так и с позиций возможности их техничес­ кой реализации. В теоретическом плане весьма важны методы дис­ кретизации, обеспечивающие минимальное число координат при заданной погрешности воспроизведения. Их называют методами оптимальной или предельной дискретизации.

Широкое распространение получили методы дискретизации, при которых сигнал u(t) заменяется совокупностью его мгновенных значений «(Г), взятых в определенные моменты времени /Ду = 1,2,.... N)

и называемых выборками или отсчетами. Роль весовых функций в соотношении (4.4) в этом случае выполняют дельта-функции Дирака.

В соответствии с (4.5) устанавливаем, что координаты ct,cv ...,cN пред-

ставляют собой выборки и(/у)[£у(/) = б(/ - ry)] или разности соседних вы­ борок Au{tj) = u(tj) - u(t - = 5(/ - tj) - 5(/ - /у_,)].

Поскольку дельта-функция технически нереализуема, длительность каждой выборки конечна. Отсчеты берут не в одной точке, а в некотором интервале времени, зависящем от длительности управляющего импульса ключевого устройства Когда длительность импульса значительно меньше шага дискретизации, выборки представляют собой короткие импульсы, амплитуды которых пропорциональны мгновенным значениям сигнала.

Отрезок времени At. = t. - 1. между соседними выборками называют шагом дискретизации. Если он выдерживается постоянным во всем диа­ пазоне преобразования, дискретизация считается равномерной. Методы равномерной дискретизации получили наиболее широкое применение. Они характеризуются простым алгоритмом, исключающим необходи­ мость фиксировать время отсчетов, что существенно облегчает техничес­ кую реализацию. Правда, в этом случае несоответствие шага дискретиза­ ции характеру поведения конкретной реализации сигнала на отдельных участках часто приводит к значительной избыточности отсчетов.

Если отрезки времени между выборками меняются, например, в зависимости от скорости изменения сигнала или по заданной про­ грамме, дискретизацию называют неравномерной.

В ряде случаев наряду с выборками u(t) в качестве координат сиг­ нала используются также производные и(/) в те же моменты времени / вплоть до N-rо порядка.

Учитывая теоретическую и практическую значимость методов дискретизации с использованием выборок в качестве координат сиг­ нала, в процессе дальнейшего рассмотрения вопросов дискретизации ограничимся только ими.

4.3. Способы восстановления непрерывного сигнала

Воспроизведение сигнала по выборкам можно производить как на основе ортогональных, так и неортогональных базисных функций, кото­ рые определяют тип аппроксимирующего полинома и принцип прибли­ жения: интерполяционный, экстраполяционный, комбинированный.

При неортогональных представлениях сигнала наиболее часто ис­ пользуются степенные алгебраические полиномы вида

Если координаты сигнала представлены в виде разности выборок, то при его восстановлении, как правило, сначала проводят вычисление последовательности выборок и уже по ним строят аппроксимирую­ щий полином u\t).

Выбор системы базисных функций в составе аппроксимирующего полинома u(t) во многом определяется требованием обеспечения про­ стоты технической реализации аппаратных (программных) средств дискретизации и восстановления сигнала.

Если базисные функции выбраны так, что значения аппрокси­ мирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим.

С точки зрения сокращения числа отсчетов интерполяционные методы восстановления сигнала предпочтительнее, однако для их ре­ ализации необходима задержка сигнала на интервал интерполяции, что в ряде случаев недопустимо. Поэтому в системах управления, работающих в реальном времени, используются экстраполяционные методы, не требующие задержки сигнала при проведении операций определения значений выборок и восстановления сигнала.

При замене функции u(t) совокупностью отсчетов основная задача заключается в том, чтобы на интервале преобразования взять их не более чем требуется для восстановления исходного сигнала с заданной точнос­ тью в соответствии с выбранным критерием качества приближения.

Ограничение на число членов аппроксимирующего полинома (4.5) обычно не позволяет обеспечить заданную точность воспроизведения на всем интервале преобразования Т. Поэтому его разбивают на отрезки т., на­ зываемые участками аппроксимации, и на каждом из них воспроизведение осуществляют аппроксимирующим полиномом (4.5), причем длительность участков аппроксимации может быть различной. В случае использования интерполяционного метода восстановления многочленом ненулевой степе­ ни на участке аппроксимации может размещаться нссколько'отсчстов.

При известной конечной совокупности координат сигнала и вы­ бранном способе воспроизведения должна обеспечиваться заданная точность восстановления сигнала. Требования к точности восстанов­ ления диктуются потребителем информации. В зависимости от целе­ вого назначения получаемой информации используются различные критерии точности приближения u \t) к u(t).

В соответствии с критерием равномерного воспроизведения, на­ зываемым также критерием наибольшего отклонения, устанавливает­ ся абсолютное значение допустимой погрешности:

(4.8)

где 5т - максимальная погрешность приближения; Д - участок аппрок­ симации; 5и(/) = u(t) - u(t) текущая погрешность приближения.

Если сигнал задан множеством возможных реализаций, то на­ ибольшая допустимая погрешность Дя| устанавливается для всей сово­ купности реализаций «(<) и u(t):

Такой критерий применяется, например, в случаях, когда необхо­ димо обеспечить возможность фиксации любых изменений исходного сигнала, включая кратковременные выбросы, в особенности если они соответствуют аварийному режиму объекта.

Широко используется также критерий среднеквадратического приближения:

(4.10)

где ад - допустимая среднеквадратическая погрешность приближе­ ния; о - среднеквадратическая погрешность приближения.

При множестве возможных реализаций сигнала величина о усред­ няется в соответствии с их вероятностями.

В технической реализации неравномерная дискретизация на ос­ нове критерия среднеквадратического приближения сложнее, чем на базе критерия равномерного приближения.

Интегральный критерий приближения определяется соотношением

(4.11)

где ед - допустимая средняя погрешность приближения; е - средняя погрешность приближения.

Применяется также вероятностный критерий, в соответствии с которым задается допустимый уровень р а величины р - вероятности того, что текущая погрешность приближения 8(7) не превысит некото­ рого определенного значения 80:

4.5. Методы дискретизации посредством выборок

При построении метода дискретизации необходимо сформулировать критерий выбора отсчетов, установить процедуру восстановления по ним исходного сигнала и иметь возможность определить возникающую при этом погрешность. Решение указанных задач возможно лишь на базе вы­ бора определенной математической модели дискретизируемого сигнала.

Ввопросе определения величины шага при равномерной дискретиза­ ции известно несколько подходов, отличающихся прежде всего тем, каким параметром характеризуются динамические свойства сигнала.

Втеоретических исследованиях наибольшее распространение получила модель сигнала в виде квазистационарного случайного про­ цесса, каждая реализация которого представляет собой функцию с ог­ раниченным спектром. Величина шага дискретизации в этом случае ставится в зависимость от наивысшей частоты спектра. Такой крите­ рий выбора отсчетов принято называть частотным.

При определении шага дискретизации можно ориентироваться непосредственно на степень некоррелированности отсчетов. Сущес­ твует подход, где за модель сигнала принят случайный процесс ко­ нечной длительности Т, спектр которого отличен от нуля на всей оси

частот. В предположении, что т0« Т, отсчеты берут через интервал корреляции т0, Определяемый по известной корреляционной функции сигнала. Такой Критерий выбора отсчетов называют корреляционным. Учитывая тесную взаимосвязь спектрального и корреляционного ме­

тодов анализа сигналов, его иногда рассматривают как разновидность частотного критерия. Поскольку использование корреляционного кри­ терия по сравнению с частотным не упрощает теоретических исследо­ ваний, он не нашел применения в инженерной практике.

Практическую реализацию равномерной дискретизации чаще всего проводят с использованием аппроксимирующих многочленов в общем случае п-й степени. За математическую модель сигнала принимают стаци­ онарный случайный процесс, каждая реализация которого представляет собой непрерывную функцию u(t), имеющую п + 1 ограниченных произ­ водных. При этом динамические свойства сигнала задаются максималь­ ным во всем интервале преобразования модулем (п + 1)-й его производ­ ной. Отсчеты выбирают по критерию наибольшего отклонения.

Так как при равномерной дискретизации шаг выбирают исходя из максимальных значений динамических характеристик сигнала, то на многих участках интервала дискретизации, где мгновенные значения сигнала резко нс меняются, он оказывается заниженным, что приводит к избыточности отсчетов.

Эффективное устранение избыточности в отсчетах обеспечива­ ют методы адаптивной неравномерной дискретизации. Длительности шагов дискретизации в этом случае тесно связаны с текущими значе­ ниями параметров реализации сигнала. Отсчеты проводятся при до­ стижении выбранной погрешностью восстановления определенного значения, выполняющего здесь роль критерия.

Основные методы дискретизации по выборкам рассмотрим подробнее.

4.6. Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова

Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром в наиболее четкой форме сформулировано и доказано акад. В.А. Котельниковым в виде теоремы, получившей в отечественной литературе его имя.

При дискретизации по времени непрерывная по аргументу функ­ ция, описывающая сигнал, преобразуется в другую, решетчатую функ­ цию, образованную путем прерывания исходной функции (см. рис. 4.1 б). Дискретизация допустима при условии, что новообразованная решетча­ тая функция дает возможность восстановить исходную функцию. Ес­

тественно, что такая замена допустима лишь в тех случаях, когда диск­ ретизированная функция полностью представляет исходную.

Итак, в результате дискретизации исходная функция x(t) заменя­ ется совокупностью отдельных значений (отсчетов), т.е. решетчатой функцией x(kAt), где к - номер отсчета, к = 1, 2, 3, Каким должен быть интервал Дt между отдельными отсчетами? При малом интервале между отсчетами их количество будет большим и точность последую­ щего восстановления функции также будет высокой. Если же интервал между отсчетами взять большим, то количество отсчетов уменьшится, однако погрешность восстановления непрерывного сообщения может оказаться больше допустимой. Оптимальным следует считать такой интервал между отсчетами, при котором исходная функция с заданной точностью представляется минимальным числом отсчетных значений. В этом случае все отсчеты будут существенными для восстановления исходной функции. При большем числе отсчетов будет иметь мес­ то избыточность информации.

Способ дискретизации, согласно которому выбираются отсчеты или коэффициенты разложения, целесообразно оценивать по величи­ не ошибки восстановления исходной функции. Различают три вида критериев отсчетов:

1.Частотный критерий Котельникова, согласно которому интерва­ лы между отсчетами выбираются исходя из ширины спектра дискре­ тизируемого сообщения.

2.Корреляционный критерий отсчетов Железнова, согласно кото­ рому интервал дискретизации выбирается равным времени корреля­ ции передаваемого сообщения.

3.Квантовый критерий отсчетов Темникова, предложенный для детерминированных функций, устанавливающий зависимость

интервалов между отсчетами от величины ступени квантования по уровню и крутизны функции. Оценку точности восстановления не­ прерывного сообщения можно производить по величине наибольше­ го, среднеквадратичного или интегрального отклонения.

Теорема К отельникова. Все реальные непрерывные сообще­ ния отражают процессы, основная часть спектра которых сосре­ доточена в конечном интервале частот. Это объясняется частотны­ ми свойствами источников сообщений и абонентов (получателей сообщений), являющихся реальными физическими системами.

Начиная с некоторой частоты, высокочастотные составляющие спектра сообщения оказываются значительно ниже уровня помех и не воспринимаются получателем. В таком случае все реальные непрерывные сообщения можно рассматривать как функции с ог­ раниченным спектром, т. е. таким, в котором не содержится частот выше некоторой граничной частоты F.

Винженерной практике рассмотрение сигналов как функций

сограниченным спектром позволяет при проектировании аппара­ туры связи ограничивать ее полосу пропускания. Так на практике часто сталкиваются со следующими примерными значениями ши­ рины спектра сигналов в каналах связи: телеграфного - несколько сотен герц (в зависимости от скорости телеграфирования), теле­

фонного - 3-5 кГц, вещания - 8-10 кГц, телевизионного - порядка 6 МГц.

Для таких функций В.А. Котельников сформулировал следую­ щую теорему:

Любая непрерывная функция со спектром, находящемся в интер­ вале (0, F), полностью определяется последовательностью ее значе­ ний в точках, отстоящих на 1/2F секунд друг от друга.

Доказательство теоремы Котельникова основано на разложении функции х(() с ограниченным спектром в ряд. Спектр S(jcо) рассматри­ ваемой функции ограничен полосой COB= 2HFB, т.е.

Используя преобразование Фурье непрерывной функции

и (4.13), получим

Рассмотрим комплексный спектр функции x(t). Он задан на интер­ вале (—<ов, сов) и может быть представлен рядом Фурье