книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями
..pdfв рамках теория пологих оболочек имеет аналитическое реи«нив£7у, Частоты колебаний пологой сферической оболочки,по раамераг оовпадапщей с экраном нас и , получены по разработанной методике на равных конечно-едемектных сетках /табл. 4 Л 4 /.
|
ftic. |
4 .7 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4.14 |
|
Сетке конечных влеыентов |
|
|
: Аналитическое |
|||
2x2 |
3x3 |
|
4x4 |
".регние |
||
|
|
|
||||
8 2 |,8 7 |
824 |
59 |
824,59 |
|
827,Л |
|
|
826,% |
828 |
,/6 |
|
828,97 |
|
861’,44 |
832 |
07 |
832 |
59 |
|
831,34 |
845,29 |
844,42 |
|
835,85 |
|||
1309,8 |
852,87 |
850 92 |
|
837,о : |
4 .3 . Определение динамического деДюти. звания оболочек метолом разложения по собственны! Дррмам колебаний
Рассмотрим задачу определения напряженно-деформированного состоа.л я оболочечных конструкфй поддействие переменной во времени поверхностной нагрузки. После применения ЫКЭ указанное задачу сводят к иоследованив _системы дифференциальных у р а в н я й
- I l l -
где M С |
и_К соответственно матрицы масс, демпфирования |
ижесткости; F - вектор внешней узловой нагрузки; Q(tty/dt, cfty/dt^- соответственно векторы уповых перемещений, скоростей
иускорений.
Решение /4 .4 / можно получить с помощью стандартных проце дур решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффи
циентами. Однако |
эти процедуры, становятся_неэффективнши при |
||
больших порядках |
матриц М, С, К |
и |
F . Дня практических |
расчетов ЫКЭ представляет'интерес несколько алгоритмов, хоторые
условно мощно |
разделить на две группы - |
методы прямого интегри |
||||||||
рования; |
методы разложения по собственны* формам Г 9, 40, |
48 J, |
||||||||
При прямом интегрировании репение системы /4 .4 / |
подучают |
|||||||||
с помощью численной пошаговой процедуры. Количество операций |
||||||||||
при прямом интегрировании прямо пропорционально количеству |
|
|||||||||
временных шагов. Таким |
образом, |
использование прямого интегри |
||||||||
рования эффективно, |
если необходимо найти реакцию системы за |
|||||||||
сравнительно короткое время /т .е . |
з а |
несколько временных ша |
||||||||
го в/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако при большом количестве магов оказывается более вффек- |
||||||||||
тивннм первоначальное преобразование |
уравнений / 4 .4 / |
к веду, |
||||||||
при котором .пошаговое решение требует наименьших затрат. Это и |
||||||||||
составляет идею метода разложения по собственны* формам. |
|
|||||||||
Представим узловые перемещения |
^ |
конечных элементов в |
||||||||
веде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ф - |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
/4 .5 / |
|
матрица, |
состоящая иэ столбцов-векторов |
ft |
/см |
па |
||||||
раграф 4 .1 /, |
X (t) |
- неизвестный |
вектор |
порядка |
, завися |
|||||
щий от времени, компоненты которого называются обобщенными пе |
||||||||||
ремещениями.. |
|
|
|
|
|
|
. |
„ |
|
|
Подставляя / 4 . 5 / в |
/4 .4 / и умножая слева на |
Ф |
, полу |
|||||||
чаем систему уравнений равновесия для |
обобщенных перемещений |
|||||||||
X(th$TCi>Xlt)*Q‘ X(t)*4>rF(t). |
|
/ 4 . 6 / |
||||||||
При выводе уравнений / 4 .6 / исподьзовиш свойства |
М-орто |
|||||||||
гонально г тм матрицы |
ф |
|
|
|
|
|
|
|
ФтКФ*&г, ФТМФЧ.
Здесь гиц'К'ии обгаиачокия
(о.
Q'
где |
l |
|
|
|
|
|
|
Ь)2* |
|
|
- единичная ма1ряца_пордцка И _ |
|
|
||||||||
|
Начальные условия для |
X(t) представ*! |
в виде |
|
||||||
|
|
|
|
х0‘ Фтйй0, |
х0=фгйи0. |
|
/4.7/ |
|||
|
Ив выражения /4 .6 / следует |
, что если демпарование не |
||||||||
учитывается, |
то |
при ислояьвования форы свободных колебания урав |
||||||||
нения равновесия / 4 .6 / разделяются |
|
|
||||||||
|
|
|
|
m + Q ‘ m = $ TFtt). |
|
/ 4. в / |
||||
т .е . |
приводятся |
и решения |
П отдельных уравнений вида |
|||||||
|
|
&ilt)+Ql{X{(t)*r(lt), |
/ ' 1,2......... Я , |
/4 .9 / |
||||||
где |
|
|
|
|
rJtj'S lF lt). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отметим, |
что |
4-е уравнение |
в /4 .9 / является уравнением |
||||||
равновесия |
системы с одной стелены» свободы, |
единичной пасен и |
||||||||
жесткости |
|
2 |
Начальные условия для в той системы |
эатасы- |
||||||
бы |
||||||||||
ваем |
нв |
/ 4 .7 / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r W |
e ; |
|
/4 .1 0 / |
|
|
|
|
|
* 4 .0* а‘ ми° : |
|
||||
|
|
|
|
b iL o ° а<чй»’ |
* = /> 2 ........"■ |
|
|
|||
|
Репение |
каждого уравнения / 4 .9 / модно получить с помощь* |
||||||||
интеграла Доамедя / |
9_/. |
|
|
|
|
|||||
|
Для определения полной реакции системы необходимо найти |
|||||||||
решения |
всех |
П уравнений /4 .9 /. Перемещения угловых точек |
||||||||
вычисляют по формуле |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
9/t)’ Z18,Xi(t). |
|
/ 4 . н / |
||
|
Если известны, коэффициенты демпфирования [ 9 J форм свобод |
|||||||||
ных колебаний |
fa f |
|
, |
то /4 .6 / мощно «атасап в вих* |
||||||
хМ+2и>(<))(ХЛ)+ыг,хМ~ r((t), i |
n |
. / 4 л г / |
- пэ -
4 .4 . Численные примеры ранения динамических иапяа
Пример 4 .8 . Рассмотрим задачу об определении прогибов и напряжений в прямоугольной пластине, находящейся под действием переменного во времени равномерно распределенного давления.
Для сравнения подученных численных решений приведем анали тическое решение динамической задачи об определении напряженно-
деформированного состояния |
пластины Кирхгофа /*2 2 , 26, |
99 J, |
||||||||
Дцфферен|Д(альное уравнение малых колебаний тонкой пласта |
||||||||||
ны постоянной толщины |
представим как |
д1ш |
|
|
|
|||||
|
£ ? У |
, J *vигni . |
|
= |
0 , |
|
||||
■ \дх* |
2 дх2дц9 |
|
а#* |
-)+рп |
a t* |
/4 Л З / |
||||
|
г ? " |
~ |
V f |
|||||||
где Ш(Х, у., t) - |
прогиб |
пластины, |
д=Вuj12(1-^% циливдри- |
|||||||
чоокая сесткость пластаны; |
fi |
- плотность материала, |
ty(X,y.,t)- |
|||||||
иытексжвность внешней нагрузки, |
Е |
- |
модуль упругости, ^ - коэф- |
|||||||
фнрент Пуассона, |
/? - |
толщина пластины. |
Ц* 0 , |
б |
||||||
Если |
на краях |
пластины Xs 0 |
, X-й , |
|||||||
заданы условия сарнирного опирания, |
то |
нормированные собствен |
||||||||
ные формы колебаний имеют вид /"2 6 , |
99 J |
|
|
|
||||||
|
|
s i n |
|
|
|
|
|
|
|
/ 4 Л 4 / |
Частоты свободных колебаний шарнирно опертой прямоуголь ной пластины определяются формулой
Представим прогиб пластины ообствшнш формам колебаний
рк „ U/'(X,y,t)
/4 Л 5 / в виде ряда по
|
w far.th |
t : |
(Ч )< |
/А Л Ь / |
|
гдо Xma(t) - |
|
т,п~{ |
|
||
неизвестные функции. |
|
||||
Подставляя /4 Л б/ |
в /4 .1 3 / |
и учитывая, что |
|
||
11ЦЦСТ1 |
|
|
|
|
|
**“ |
+г |
|
^ Ч м |
I . , |
/А Л 1 / |
|
T xW |
+ i y ~ r P t,u™lf"' (ЧЪ |
|||
оолуэаем |
|
|
|
/Я ,/7 = /,2 , ... » |
|
£ :& Ш |
|
)^тлftlТ Ушиfet^ )£, тп(t)]= |
/А Л Ь / |
||
|
|
=р£Ч (Ч '*)-
- Ш .
Умножая уравнение /4 Л 8 / |
на ifKi (х,у.) |
, |
интегрируя по X |
|||||||||
о* О до й и по У |
|
от |
0 |
до 0 |
, учитывая свойотво орто |
|||||||
гональности собственник форм |
|
Цт |
, / 4. 18/ |
аапснваеи |
как |
|||||||
xHIM + u U 'S i- U J J |
^ Л Ш х ^ а г й ц , |
/ « . « / |
||||||||||
|
• |
|
0 о |
|
|
к i~ i 2 |
|
|
||||
Если функция прогиба |
Ш(Х^ |
t) удовлетворяет начальнш |
||||||||||
условиям |
|
|
|
|
$ Ш 1 |
|
|
|
|
|
||
тс для xKi(t) |
|
|
|
|
й г ! |
- * * . |
|
|
|
|
||
они шдевт вид |
* ° |
|
|
|
|
|||||||
Х.п (0)~\ | |
Wo<h<tx,t?)dx(ty; |
|
|
|
||||||||
X » l°)^ | |
ЩЧи (x,y)dxUy. |
|
|
/*•»/ |
||||||||
Определяя из задачи |
/ 4 . 1 9 /- /4 .20/ функции |
Хм(Ь) |
м сум |
|||||||||
мируя рад /4 .1 6 /, |
получаем функции поогиба |
W(XtUr,t), |
|
|||||||||
Рассмотрим вынужденные колебания пластины под действием |
||||||||||||
внешней нагрузки |
вяда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
(pit), a ,*x < a t . |
|
|
|
|
|||||||
^ |
1 0 . |
|
Х ^ [ |
d |
f . d |
|
g j |
/4»21/ |
||||
где |
|
fi, |
|
0 < t 4 t o , |
|
|
|
|
||||
p(t) |
0 , |
tnKi-O— t К< 90 • |
|
|
|
|
||||||
|
l |
|
|
|
|
|||||||
С учетом / 4 . 21/ |
уравнение /4 .1 9 / преобразовываем |
к форме |
||||||||||
&Ki(t)+(0 *i XKIltl-rKip/t), |
|
|
/ 4 . 22/ |
|||||||||
jfjp lc a sfa g -c o s |
|
|
|
|
|
|
||||||
Записываем |
peneine |
/4 .2 2 / |
с учетом нулевых начальных усло |
|||||||||
вий |
|
|
|
|
|
|
|
o< t <t0: |
|
|
|
|
[т¥-\l-cos(jKLt], |
|
|
|
|
XKilt)n r**
1(У [C0SU'Ki(t~to)~MSDut/ , t>t0,
Учитывая / 4 . 1 4 / и /4 .2 3 /, реоеннв UT(X,ffft) в веде
/4 .2 3 /
представляем
- И 5
[cos™ 6t-Cds |
x^ltjsin— xsin^fy * / 4. 24/ |
|||||
Напряжения 6F* |
a 0 fi вычисляем ю формулам |
|
||||
Л? 3 |
Etl |
P ^ id |
д*Шl |
|
|
|
|
|
^дуг p |
|
|||
|
_ £ Л |
d*w |
1; |
j V |
) |
/4 .2 5 / |
>n' |
M |
|
Ox*У |
|||
/2 //4 *)\ dy* |
|
|
||||
С помощь» примера. 4 .8 исследовали |
точность определения |
■ передещечий /прогибов/ и напряжений по описанной в работе ыето-
Д «и *
Первф этапом, в данном подходе является решение аедачи о свободных колебаниях пластины. Значения собственных частот коле баний № ) /табл. 4 .1 5 / определены при. использовании различных конечно-элементных сеток и ПШ. Как видим, частоты, подученные с мспольэованием теории оболочек типа Тимошенко,
немного |
меньше частот, |
вычисленных по /4 .1 5 /. |
|
||
|
|
|
Т а б л и ц а |
4 .15 |
|
Аналитическое ' |
Сетка |
конечных элементов |
|
||
решение |
т |
3x3 |
4x4 |
5x5 |
охб |
|
|
||||
0,0118036 |
0,0118757 |
0.0И 8735 |
0,0308606 |
0,0118729 |
|
0,0308973 |
0,0313386 |
0,0309276 |
0,0308409 |
||
.0,0689249 |
0,0755889 |
0,0703535 |
0,0692591 |
0,0688972 |
|
1,0079387 |
0,0883463 |
0,0876723 |
О 0874860 |
О 0874180 |
|
I 1069525 |
0,1140660 |
ОД073981 |
0,1063929 |
0,1061975 |
|
1,1259662 |
0,1621584 |
0,1362956 |
U 1295229 |
|
|
I 1449801 |
О |
1063336 |
0,1565124 |
0,1462065 |
|
П р и м е ч ,а |
н и е. В первой |
колонке приведены частоты, |
||
определенные по /4 .1 5 /. |
|
|
||
Задач}' решали при следующих значениях параметров: CL = 2; |
||||
V«= 1; П* 0,02; |
- 0 ,3 ; Е- 1; |
р - |
I . |
|
НаЦдеы перемещения и напряжения в пластине под действием |
||||
нагрузки, |
заданной формулой /4 .2 1 /, |
при |
t0 - ®° . |
|
Очень |
аежно исследовать вависимость |
точности определения |
цожоиих вначаний от количества конечных влементов и членов ря д а /4 .1 1 /. D табл. 4 . {6 приведены еиаченял прогиба Ш в цент-
pe пластины в зависимости от времени, подученные на разных с а п а х 1ЖЭ дрв Я » 5 / 4 . И / .
|
|
|
_________ UГ_______________ |
|||
£ : Аналитическое |
|
Сетка конечных элементов |
|
|||
:реаение |
2x2 |
|
3x3 |
4x4 |
||
|
|
|
||||
1о8’,351 |
0 .0 |
0 .0 |
|
0,0 |
||
10б,5Ю |
106,295 |
404,660 |
||||
1 ?Ь ?8 9 |
392,805 |
Ж |
5 |
390,926 |
||
883 685 |
4031 47 |
|||||
1884.17 |
1723,30 |
1839,85 |
1858,42 |
|||
2961.17 |
2928,95 |
2946,73 |
2959,32 |
|||
4267,(58 |
4406 |
66 |
4281,72 |
4268,16 |
||
5832,53 |
6123,73 |
5837 |
13 |
5851,28 |
||
7639|74 |
8085,79 |
7685.01 |
7626,73 |
|||
9783,51 |
10317.9 |
9879108 |
9790138 |
|||
12204.5 |
I28I6-6 |
12315.7 |
42226,3 |
|||
14754.1 |
15358.7 |
44766.1 |
1476316 |
|||
17119.2 |
17637.3 |
17073,9 |
47094.2 |
|||
19278.0 |
19646,0 |
19265.8 |
19267 9 |
|||
ш т |
2334915 |
?Ш оо |
|
21340.3 |
||
|
2338918 |
|||||
25209 |
0 |
24823.2 |
25294’,? |
25212.0 |
||
26626.1 |
2586917 |
26625.0 |
26657)8 |
|||
27547.7 |
26547.4 |
27456.9 |
27590.1 |
|||
28020.6 |
27080.7 |
27890.8 |
28044.8 |
|||
28185.2 |
27317.9 |
28063,6 |
28146.1 |
|||
28076.7 |
27974.3 |
28055.9 |
28073,6 |
|||
27717.2 |
27914,6 |
27838.0 |
27808.9 |
|||
27436.9 |
27515.8 |
27303 |
I |
27220.4 |
||
26315.9 |
26945.9 |
26394.9 |
26358.2 |
|
П р и м е ч а н и е . |
Вторая |
колонка таблицы оодергит |
||||
репение, вычисленное пс /4 .2 3 / при |
I * П , т |
< 100. |
|||||
|
Рассмотрим |
графики /рис. |
4 .8 / |
относительной погрешности |
|||
значений прогиба |
Ш /табл. |
|
4 .1 6 /, |
определенной по формуле |
|||
I ш аИал-ш ^ с д \ |
|
|
"анал. |
~ mRC’uatMai |
|||
S * I |
maxwMM т Ь ТЯ* |
т а х ш |
|||||
значение прогиба на |
промежутке времени от 0 до 48. Ломаные |
||||||
I |
|
|
|
|
|||
4 ,2 ,3 |
соответствует |
сеткам |
конечны* элементов |
2x2, 3x3, 4x4. |
Наблвдается хорошая сходимость результатов в зависимости от крличества конечных элементов Д и с. 4 .8 /.
Аналогично исследовали точность |
определения |
напряжений. |
|
В табл. 4.17 |
приведены значения напряжений 0гх |
в центре пш о- |
|
тины / 1 * 1 , |
^ = 0 ,5 / п эавнепмозти |
от времени и количества |
конечных элементов.
Рис*. 4 .8 . 0 ап'лд^ Q.
Графики относительной погрешности б- — ~ — Т-атЪ— ' 100%
//Ш (Л о о
в зависимости от времени дня ровничных конечно-элементных сеток
изображены на рис. |
4 .9 . |
Ломаные 1 |
,2 ,3 соответствует |
сетке |
конеч |
||||
ных элементов |
2x2, |
3x3, |
4x4. |
|
|
|
|
|
|
Как |
Бедно |
иэ рис. |
4 .0 , 4 .9 |
и |
результатов |
таби. |
4 .16, |
4.17, |
|
тогиость |
определения напряжения |
0 £г 1<я |
а® коноw o-o де- |
ментных сетках ниже точности определения поогиба. Соответствен
но погрешность для 2x2 элементов - 7,23 %к 3,55 |
3x3 эле |
|
ментов - 4,29 %и 0,59 %; 4x4 элементоа |
- 1,95 %и 0,34 %, Ука |
|
занные вязе домине получены при / 2 * 5 . |
Использование больше |
го количества собственных форм на таких конечно-элементных сет
ках не способствует улучиейив результатов и з-за |
ошибки опреде |
||
ления |
выожх |
форм свободных колебаний. |
|
X |
Графики |
напряжений &Н' @22 в зависимости ст |
координаты |
для различных моментов времени представлены на рис. 4.10.,. |
- НО -
|
•• |
|
|
|
(?2в |
а |
: Аналитн- |
: |
- Сетка конечных элементов |
||
* |
часков |
: |
2x2 |
: |
3x3 |
|
:решение |
||||
|
0,0 |
|
0,0 |
|
0,0 |
|
-1Й.53 |
|
15,31 |
|
Ш\?7 |
|
60,76 |
|
82,57 |
|
|
|
-23.90 |
|
107,9 |
|
|
|
-121,3 |
|
-54,63 |
|
-260,1 |
|
-274 7 |
|
-287,2 |
|
|
|
-425,0 |
|
-422,2 |
|
-451.9 |
|
-571Ja |
|
-540,7 |
|
-548,4 |
|
-667, ‘ |
|
Ж |
|
-664,2 |
|
-9£9.. |
|
|
-940,5 |
|
|
-1293 |
|
-1485 |
|
-1363 |
|
-1719 |
|
-1907 |
|
-1754 |
|
-1966 |
|
|
|
-1990 |
|
-2 ~ |
|
-25047 |
|
-2147 |
|
-2596 |
|
|
-2382 |
|
|
|
:Ж |
|
-272i |
|
|
-2968 |
|
|
-3037 |
|
|
41 |
|
-3064 |
|
-3186 |
|
-3151 |
|
|
||
|
-3145 |
|
-3290 |
|
-3152 |
|
-3153 |
|
-3385 |
|
-3178 |
|
-3147 |
|
-3281 |
|
-3232 |
|
-3070 |
|
-3160 |
|
-3208 |
|
-2963 |
|
-3096 |
|
-3030 |
•
• 4x4
0,0
14,17
34,77
8.004
-104,9
-284,0
-449,9
-557,9
-674,5
-9 I9 .S
-131*
-1732 -2014 -2156 -2335 -2632 -2981 -3213 -3251
-3195 -3145 -3169 -3190 -3133
-2990
П р и м е ч а н и е ; Вторая колонка табли тичеокое решение, вычисленное с использованием
4. И . Сплошной линией изображены аналитические репения, штркховоВ - численные, подученные на сетке 5x5 едаментов и И* Б.
На примере 4 .8 научали такие вопрос о точности определе ния перемещений и напряжений ь пластине в зависимости от зада нагрузки, заданной формулой /4 .2 1 /.
Рассмотрим случай, когда t^Bc. Проведем, аналогично вш е изложенной, исследования точности эпредедеиии переиещаняА н напря жений по предложенной методике.
Значения npoivfico Ш в центре пластины в аависккоста от времени получены на разных сетках конечных злемонтов при f l * 5
/табл . 4 .1 0 /. |
|
8 (Уа) определения про |
ГОДина 'относительной погрешности |
||
гибов в з&зпсимсстн от иреме;*; |
/рис. |
4 ,1 2 / мялистрирупт ооэухь- |
татч табл. 4 .18 . Ломаны** 1 ,2 ,3 |
соэтветст'вушг сетке1конечных |
|
- |
П 9 - |
|
ментов 2x2, 3x3, 4x4. Ошбха определения прогибов е увели чением количества элементов резко уменьшается /см . рис. 4 .8 /. При вычислениях не редкой сетке /2x2 элементов/ с ростом време ни ооибхА быстро увеличивается, что объясняется недостаточной точностью определения частот и форы свободных колебаний, использованных лрп суммировании реда /4 . И /*
Значения напряжения (jZ2 в центре пластины для различных моментов времени и кэнечно-олеиелтных сеток при Я * 5 приве дены в табл. 4 .19, а графики относительной погрешности опре деления этого напряжения изображены не рпе. 4.13. Ломаные { ,
2 ,3 соответствуют сетке конечных элементов 2x2, 3x3, 4x4.
Графина /рис. 4 .1 3 / аналогичны графикам для перемещений /р и с.4Л 2/ Одаако значение ошибки для напряжений намного .большее, чем для прогибов. Для сетки конекмнх элементов 2x2 махет а л ь нал погреш-