книги / Начертательная геометрия

Для построения основания перпендикуляра точки К, как точки пере­ сечения прямой I и плоскости 0 , через прямую вводится вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость Т (на рис. 103 б она задана следом

Тг = /2).

Плоскости Т и 0 пересекаются по линии MN с проекциями M\N\ и M2N2. На пересечении построенной линии MN и заданной I определяется точка К (Кй К2).

Прямая АК - искомый перпендикуляр к прямой I. Далее определяет­ ся натуральная величина отрезка АК (АоК2) способом прямоугольного тре­ угольника.

Задача 1а. Определить расстояние от точки до прямой частного по­ ложения.

А

Рис. 104

Если заданная прямая занимает частное положение, то алгоритм ре­ шения задачи значительно упрощается (рис. 104 а). Здесь опустить пер­ пендикуляр из т. А на прямую (/ = К) можно сразу, без введения дополни­ тельной плоскости, так как в этом случае прямой угол (h ААК) спроецируется на плоскость П1 в натуральную величину.

На рис. 104 б показано решение задачи на эпюре. Сначала строится горизонтальная проекция прямой АК {А\К\ ± /ii),затем с помощью линии связи фронтальная проекция А2К2. Способом прямоугольного треугольни­ ка определяем натуральную величину перпендикуляра (искомого расстоя­ ния) -А \К 0.

Задача 2. Через скрещивающиеся прямые провести параллельные плоскости (рис. 105).

Пусть заданы две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Через эти пря­ мые можно провести только одну пару параллельных плоскостей (плоско­ стей параллелизма). Используя признак параллельности, такие плоскости следует определить парой пересекающихся прямых, взаимно параллель­ ных между собой. Таким образом, для построения искомых плоскостей не­ обходимо выполнить следующие построения.

Через произвольную точку К, выбранную на прямой АВ, проводим

Z (АВ П CD').

Аналогично через произвольную точку К' прямой CD проведем ли­ нию параллельную прямой АВ (на эпюре А'В' II А ХВ{и А'2В'2IIА2В2).

Пересекающиеся прямые А В и CD определяют вторую искомую плоскость Е' (А'В' П CD), параллельную плоскости Е (АВ П CD').

Рис. 105

Задача 3. Определить расстояние от точки до плоскости общего по­ ложения (рис. 106).

Кратчайшим расстоянием от точки до плоскости является перпенди­ куляр, опущенный из заданной точки на плоскость. Для нахождения этого расстояния необходимо последовательно выполнить следующие три этапа построения:

1) задать направление прямой, перпендикулярной к заданной плос­

кости;

2)определить точку пересечения этой прямой с плоскостью (осно­ вание перпендикуляра);

3)найти натуральную величину перпендикуляра.

Всоответствии с признаком перпендикулярности прямой и плоско­ сти горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна фрон­ тальной проекции фронтали этой плоскости.

Поэтому для выполнения первого этапа построений проводим в

плоскости Е (ААВС) горизонталь h и фронталь/. Затем через точку М про­ водим прямую п, перпендикулярную горизонтали и фронтали плоскости,

т.е. выполняем условие: щ ± h\ С Е, n2 A.f1 С Е.

На втором этапе решения задачи определяем основание перпендику­ ляра на плоскости - точку К, как точку пересечения прямой п с плоскостью Е. Для этого используем способ вспомогательных секущих плоскостей. В качестве секущей выбрана плоскость 0 (0!), которая является горизон- тально-проецирующей и проходит через прямую п. На линии 12 пересече­ ния секущей плоскости 0 с заданной Е определится общая точка с прямой п, которая и будет являться основанием перпендикуляра на заданной плос­ кости - точка К (на эпюре: 1222 П п2= К2—>К\ е 0 (00 и и0-

По конкурирующим точкам 4, 5, и 2, 3 определяется видимость пер­ пендикуляра относительно плоскости Е.

Перпендикуляр МК есть прямая общего положения. Его натураль­ ную величину найдем способом прямоугольного треугольника (на эпюре

М0К{).

Задача 4. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения (рис. 107).

Для определения линии пересечения плоскостей используется спо­ соб вспомогательных секущих плоскостей. Для решения задачи достаточ­ но двух вспомогательных плоскостей. Первая секущая плоскость Q (Qi) является горизонтально-проецирующей и проходит через сторону FD тре­

угольника EFD. Эта плоскость пересекает А АВС по прямой 12, которая имеет общую точку L со стороной FD. Точка L будет первой искомой точ­ кой линии пересечения (на эпюре 1222П F2D2= La —>L\).

Вторая вспомогательная горизонтально-проецирующая секущая плоскость Т (Ti) проходит через сторону ED треугольника EFD. Она пере­

секает этот треугольник по стороне ED, а другой (А АВС) - по прямой 34. На фронтальной плоскости проекций строится фронтальная проекция вто­ рой искомой точки пересечения К2 как точка пересечения прямых 3242 и

E2D2.

Прямая KL - искомая линия двух плоскостей 0 (AEFD) и Г (ААВС). Видимость плоскостей определяется с использованием двух пар конкури­ рующих точек (1, 5 и 6, 7).

о

Задача 6. В заданной плоскости построить г.м.т., равноудаленных от двух точек пространства.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от заданных точек М и N (рис. 109 а), является, как известно, плоскость 0, проходящая через се­ редину отрезка MN (точка D) и перпендикулярная ему. Искомое же г.м. то­ чек, по условию задачи расположенных в заданной плоскости Б, будет на­ ходиться на линии пересечения KL этой плоскости Б и построенной плос­ кости 0 .

На эпюре (рис. 109 б) через середину отрезка MN и перпендикулярно ему проведена плоскость 0, заданная фронталью/ и горизонталью h. Ли­

ния пересечения KL плоскости 0 (h П J) и заданная плоскость Б (АЛВС) определена способом вспомогательных секущих плоскостей. Первая секу­ щая плоскость П (ПО || П2, проведенная через фронталь/ плоскости 0, пе­

ресекает плоскость ДАВС по линии п. На фронтальной плоскости проек­ ций при пересечении фронтальной проекции п2 и фронтальной проекции/ 2 получается проекция К2 первой искомой точки линии пересечения К.

Вторая секущая плоскость П' (П'2) || Пь проведенная через горизон­ таль плоскости 0, пересекает плоскость треугольника АВС по линии т. На горизонтальной плоскости проекций при пересечении соответствующих проекций горизонтали и линии т находится проекция L\ второй искомой линии пересечения L.

Соединив полученные одноименные проекции точек К и L, опреде­ ляем проекции линии KL - искомого г.м.т.

Рис. 109 б

IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА

Изложенный в предыдущих разделах материал позволяет сделать вывод, что решение задач позиционного и, главным образом, метрического характера значительно облегчается, если г.о. (прямые или плоскости) за­ нимают частные положения относительно плоскостей проекций. Перевода г.о. из общего в частное положение можно достичь использованием спосо­ бов преобразования чертежа. При ортогональном проецировании такой пе­ ревод может осуществляться двумя путями:

изменением положения плоскостей проекций относительно г.о., который остается неподвижным;

перемещением г.о. относительно плоскостей проекций, при этом последние остаются неподвижными.

Первый путь составляет теоретическую базу способа перемены плоскостей проекций, второй лежит в основе способов плоскопараллель­ ного перемещения и вращения.

1. СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Сущность способа перемены (замены) плоскостей проекций заклю­ чается в том, что одну из плоскостей проекций ортогональной системы (П] П2) заменяют на новую (П4), которая в совокупности с оставшейся (незаменяемой) плоскостью образует другую ортогональную систему плоско­ стей проекций. При этом новую плоскость вводят так, чтобы относительно нее проецируемый г.о. занял частное положение.

будем иметь две системы плоскостей проекций - старую П1П2 и новую П1П4с общей плоскостью П[. Из рис. 1 10 видно, что расположение т. А от­

носительно общей плоскости проекций не изменяется, т.е. координата z точки А остается постоянной в обеих системах