книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfна интервале Ak+ 1 при произвольном т
В частном случае, когда у (х, 0 = / М sin Qf,
где
f(x ) = |
|
при O ^ .x ^ l/2 ; |
|
|
|
2 « 0(I — JC//) при |
||
управление и (*, |
t) |
имеет вид |
u (x ,t)= |
|
{x,t) + |
где функции Ф г |
и |
Ф2 вычисляют по приведенным |
выше формулам и их вычисление не зависит от функ ции у. т. е. изменение формы каркаса, на который про изводится намотка, лишь добавляет слагаемое в управляющую функцию.
Функция Ф 3 получается подстановкой указанного
у в общую формулу для Фз и в явном виде выглядит так:
ф* (*. и г) = |
VX(* + (о - |
») (< - |
т)) - |
|||
T (e + o) |
vx(x — (a + |
v) (t — т)); |
||||
v |
^ |
|
|
v„, |
||
на интервале А0 = |
В0 при произвольном т |
|||||
'±- sin QT |
при |
0 < |
7 |
г < |
//2; |
|
— 2«0 |
г О т |
пн |
^ |
с |
И \ |
на интервале Bk+i при произвольном и
Vi (г) - -J*- V, ( \ ) е ~ Фк~ г> —
( i ) rf5 + ^ - e (г),
1 г
где 0 = klt Lt такие же, как и в предыдущих фор мулах;
на интервале Ak+i при произвольном т
" / V |
т |
, 2а |
m \ / v |
1 \ |
VI < * ) - — * ( / - ----- |
г — ) ( - я г — |
2- ) . |
В заключение запишем управляющие функции дви жущегося двумерного материала, не приводя подроб ных формул.
Найдем такую функцию F (х, у, t), чтобы решение начально-краевой задачи
<rf<0- »*>-иг + *a(0 - g - + 20-е т - = *< *. г/.О
(4.28)
с начальными и краевыми условиями вида (3.36) и
(3.49) |
совпадало с решением задачи |
|
|
||
|
дЧ , ~о |
da« . |
п дЧ |
дЧ |
|
(а2 — и55) дх* |
|
dxdt |
дР |
~ |
|
|
= |
y (x %y ,t) |
|
(4.29) |
|
с теми же начальными и краевыми условиями, |
где а = |
||||
|
т |
|
|
|
|
= у |
£ a(f)dt — усредненное |
значение |
переменного |
||
|
о |
|
|
|
|
коэффициента; функция у в правой части уравнения (4.29) заранее задана.
152
Если ©v (я* у, t) — решение уравнения (4.28), кото рое совпадает с решением уравнения (4.29) (при соответствующих граничных и начальных условиях), то 0 V(х , уу 0 удовлетворяет соотношению
дг% |
л a20v |
|
|
дх* |
+ Ъ)---- 3L |
|
|
dxdt |
|
||
= V (х,У, |
0 — |
*a0v |
|
‘ а ду* |
|||
|
|
Справедливо также соотношение
|
зае„ |
и дх* |
dt* |
= F (x , у , |
|
На основании этого получаем следующее соотно шение для нахождения искомой функции
F (х, у, t) = (а2(0 — а2) |
+ 7 (х, у, t). |
(4.30)
Для вычислений необходимо подставить в форму лу (4.30) полученное в гл. 3.3 приближенное решение ©v в виде произведения. Замена точного решения 0V приближенным приводит к нахождению приближен
ного значения управления F.
4.4.СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ПРОЦЕССАМИ ПРОИЗВОДСТВА НАМОТОЧНЫХ ИЗДЕЛИЙ
В существующем намоточном оборудовании отсутст вуют быстродействующие измерители натяжения и специализированные системы, способные отрабаты вать быстроизменяющиеся возмущения. Для компен сации этих возмущений применяют принцип инва риантности, разработанный акад. В. Н. Петровым.
163
При этом возникает задача разработки методов и средств, позволяющих обеспечить компенсацию из менения основных возмущений в динамическом и статическом режимах с необходимой для техноло гического процесса точностью.
Схема намотки провода на квадратный каркас показана на рис. 8. При намотке провода на квадрат ный (или прямоугольный) каркас в результате изме нения мгновенного радиуса намотки изменяется его линейная скорость икв в точке контакта провода с кар касом В. Вследствие этого возникает ускорение дви жущейся массы проводника, а соответственно и до полнительное усилие натяжения провода АТ. Для создания системы стабилизации можно использовать приближенную зависимость
А Т = k J ( u s , — V A ) d t ,
где k — статический коэффициент упругости провода; ивг — горизонтальная составляющая линейной ско рости 0КВ; VA — линейная скорость провода в точке касания с роликом А . С учетом предварительного на тяжения 7 0, величина которого определяется выбором рабочей точки ведения процесса на участке пропорцио нальности кривой Гука (приблизительно Т = = 0,857*max» где Тщах — граница участка пропорцио нальности а (е)).
Суммарное натяжение
Т = Т 0 ± АТ = 7 0 ± k £ (0вг — 0л) dt.
Зависимость линейной скорости от времени 0кв =* = / (f) для квадратного каркаса является периоди ческой функцией. Приближенно ее можно разложить на две составляющие: постоянную 0кво и переменную 0кв.п» меняющуюся по закону синуса,
0кв — 0квО 4 “ 0кв.п = 0квО "Ь 0кв
154
где I?KD — амплитуда переменной составляющей ли нейной скорости; со! — частота переменной состав ляющей.
Составляющие икв0 и укв.г зависят от угловой ско рости вращения каркаса ш и так называемого мгновен ного радиуса каркаса R (расстояние от центра кар каса до точки касания каркаса с проводом). Принцип построения системы стаби лизации натяжения бази-
\ м
К *
Компенсирующий сит а
Рис. 8. Схема намотки провода на квадратный каркас
Рис. 9. Схема компенсации продольных колебаний проводника
руется на компенсации переменной составляющей ли нейной скорости окв.п.
Рассмотрим метод регулирования линейной ско рости провода в точке А, сводящийся к тому, чтобы VA — Увг, тогда f (vBr — VA) dt = 0 и А7* = 0. Для решения этой задачи необходимо на ролике создать дополнительный момент вращения М, передаваемый через жестко связанный с ним двигатель (рис. 9). Уравнение моментов, приложенных к ролику в процес се намотки провода, имеет вид
/Ивр = м г - м = м с + у р- ^ - ,
где момент вращения М вр уравновешивается моментом сопротивления, имеющим статическую Мс и динами
ческую J р составляющие; Мт = TRV— момент,
создаваемый усилием натяжения; Мс — момент ста
166
тических сопротивлений ролика, обусловленный тре нием вращения ролика; J v — момент инерции ролика с проводом.
Выразив угловую скорость ролика со2 через линей ную и пренебрегая моментом УИС ввиду его малости, получим
dvA dt '
где Rp — радиус ролика.
Из-за влияния момента инерции Ур ускорение регу» лировочного ролика меньше ускорении провода в
Рис. 10. Схема стабилизации |
натяжения проводника: |
|
||
/ — приводной электродвигатель; |
2, 5 — внутренние отрицательные об* |
|||
ратные |
связи по ЭДС; |
3 — каркас катушки; 4 — регулирующий дви- |
||
гатель; |
6' — тормозной ролик; 7 — блок компенсации переменного натя |
|||
жения; 8 —датчик натяжения; 9 — датчик угловой скорости; |
10 — блок |
|||
формирования регулирующего воздействия |
|
|||
точке |
В у что и |
является дополнительным |
источ |
ником появления переменного натяжения АТ. Рассмотрим схему стабилизации натяжения про
водника (рис. 10). Регулирующее воздействие форми руется в блоке 10 синхронно со скоростью вращения
156
приводного электродвигателя 1 (синхронизацию осу ществляет датчик угловой скорости 9) и подается в ви де напряжения « 3 на якорь регулирующего электро двигателя 4, который и вырабатывает дополнительный момент =hМ, прикладываемый к валу тормозного ролика 6. При этом привод электродвигателя 4 рабо тает в режиме следящего привода 118]. В схеме пре дусмотрена обратная связь по натяжению проводни ка с помощью бесконтактного быстродействующего датчика натяжения 5, предназначенная для компенса ции случайных возмущающих воздействий, которые возникают в системе при западаний провода в бобине, из-за неточного изготовления механических узлов, эксцентриситета, перекоса роликов и т. д.
Предлагаемая схема стабилизации натяжения обладает некоторой инерционностью, определяемой электромеханической инерцией якоря двигателя по стоянного тока, поэтому при больших скоростях на мотки рекомендуются малойнерциоиные двигатели с гладким якорем типа МИГ, обладающие высоким быстродействием. Схему можно существенно упро стить, если заставить электродвигатель 1 выполнять две функции: основного и регулирующего (метод «колеблющегося каркаса») [18]. Поскольку момент инерции регулирующего электродвигателя определя ется переменной величиной момента инерции каркаса с проводом (вместо момента инерции облегченного ролика в первом случае), динамические свойства та кой системы значительно хуже.
Поэтому такую систему можно рекомендовать к применению только в станках с вращающимся повод ком и неподвижным каркасом.
Поскольку наиболее сложно реализовать форми рователь компенсационного воздействия 10, рассмот рим первый упрощенный вариант поставленной зада чи. Это оправдано тем, что любая система управления
167
содержит инерционные звенья, поэтому формирова ние воздействия с высокой точностью за счет дополни тельных аппаратурных затрат нерентабельно и зна чительно понижает надежность системы.
Разложим в ряд Фурье периодическую несинусои дальную функцию
t>KD.n = |
-у - 2 Ип «os ГКОJ |
+ Впsin n u j). |
|
п=1 |
|
Первая гармоника нечетной функции |
||
окв.п1 = |
2 |
г |
В\ sin (о^; Вг «а - у |
Г икв.п sin toxtdt. |
о
При таком упрощении функции управления в ка честве формирователя компенсационного воздействия можно применять и стандартные устройства с автома тической синхронизацией (например, синхронные тахогенераторы).
Рассмотренные системы достаточно эффективны, но обладают существенным недостатком: они содер жат регуляторы контактного типа (тормозной ролик — провод), так как стабилизирующий эффект создается за счет трения между тормозным роликом и проводом. Их можно с успехом применять при разработке систем управления натяжением для проектируемого оборудо вания Однако парк существующего оборудования мож но использовать с большей эффективностью, если при менять бесконтактные методы стабилизации.
Рассмотрим компенсацию продольных колебаний в материале за счет создания гасящих поперечных колебаний с помощью бесконтактного струнного ге нератора с управляемой частотой и амплитудой. Бес контактный . источник поперечных колебаний разме щают на отрезке [а, р] рассматриваемого участка струны [0, /]. Рассмотрим случай, когда управляющая
158
функция представляет собой б-образную по х функ цию в правой части уравнения
(Ly) (t, х)=в + v у (/, х) —
гд е! — оператор, действующий по приведенному пра
вилу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
и ( ! |
х) = |
и (0 f W, |
где |
/ (х) |
= ф {х) |
х |
||
X |
ф (х) == 1 |
на |
отрезке |
[а, |
р] 6 [О, |
Л; |
|||
Ф (я) = 0 |
вне |
отрезка |
[а', |
Р'], |
содержащего [а, |
р]. |
|||
Рассмотрим действие оператора Ак на функцию |
|||||||||
вида (0, ф (я) е~с(х~ 1^ ), |
принадлежащую |
множеству |
|||||||
D (Ак) вследствие гладкости функции ф (л:), |
|
||||||||
Ак(0, ф (х) «-**-'•>’) = |
^ a |
„ |
_ i |
(ф (х) |
|
, |
|||
|
« * - £ г |
(Ф W |
|
|
= |
|
|
= ( « * _ , £ c L t„ 3 ( - 2 с ? - '- ‘ (х -
\£=0
а , i c h f l { - 2 c f - < ( x - l 0f - ^ - ‘A . |
|
||||||
/—О |
|
|
|
|
/ |
|
|
Рассмотрим значения, которые ЛА(0, ф (х) ё"в(* |
) |
||||||
принимает |
при |
я 6 1а » Р1» |
учитывая, что |
на |
этом |
||
интервале ф (*) |
= |
Сг и ф $ = |
0 при j > |
1. Тогда |
|
||
Л* (0, ф (л:) |
= |
(otft- 1 ( - |
2с)‘- ‘ |
X |
|
||
X Ъ (х - |
у * - ' |
« * ( - 2c f с, (х - |
/„)* X |
159
X |
= (Р,,_, (х - у f'1~-'] е~с(х- 1о)\ |
|
— С{Х— 10)2 |
где pft — некоторые константы, зависящие от a, v и с. Из полученного выражения следует, что в линей
ную оболочку пар функций вида Ак (0, /) (/г = 0, 1, ...) входят функции, имеющие на 1а, р] следующий вид:
А-1 —с{х—/о)* |
J< |
— С(Х— 10)г\ |
(Р*_, (х - l0)k- [ e-cU- Zo), Р* (х - |
l0f |
е |
с коэффициентами р*. отличными |
от |
нуля при |
всех к. |
|
|
Из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации лю бой непрерывной функции на [а, р] многочленами следует, что в замыкание в норме L2 рассматриваемой линейной оболочки входят произвольные функции из подпространства
W1[а, Р] 0 La tcs, РЬ
чю позволяет утверждать полную управляемость рас сматриваемой системы.
Для определенности рассмотрим частный случай: а = 2е; р = / — 2 в; а ' = е; р' — I — е; е > 0 .
При малых е этот случай описывает 6-образную им
пульсную функцию с резким максимумом |
в точке |
/0 € (£. / — е), сглаженную на концах |
интервала |
10, /] так, что на этих концах она принимает нулевое значение. Полная управляемость очевидна из преды дущих рассуждений. Время, необходимое для полного успокоения струны при ограниченной амплитуде воздействия
tQ= max |
а |
/—Р |
■j = max |
2в |
‘ |
а — v ’ |
а + v |
а — v ’ |
а |
||
|
(■ |
|
|
|
|
160