книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 1
.pdfНе зависящие от £ элементы матрицы А и вектора f вычисляются по фор мулам (нулевые элементы не выписываются)
„ |
„ |
,« Л |
(“ И121)2 |
|
,„1 |
|
|
л |
|
|
®1,<г>6,н |
; |
|||
Л „ = 1, |
А21=уЧ* | ~ |
m[[„, |
—ton131J ; |
|
Л 25= р , „ - |
Ю|||„ |
|
||||||||
Лм = 1; |
Л)2= т36г ( — 1г'‘У |
-coi2w ) ; |
Л „ = -? * 62; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
\ |
CDi 1Щ |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
л |
l R |
0312(1)бШ |
\ |
|
_ |
|
I |
б1цСй11(2) |
|
\ |
; |
||||
А , Ь = У |
^6 12, ------------- ^ |
|
------- } . |
А ы = Ч 6 |
[ --------- (01|(„ ■ |
- Р ш j |
|||||||||
|
|
|
|
|
6„,2 |
|
Л66= 1; |
# 12= 1; |
|
|
|
||||
|
|
Аъъ—яи ц ------- ггг ; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
шп'1' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В21 = - |
/ |
(2 . |
|
|
— |
\ |
|
Я23 - 1; |
|
^34=1; |
|
|
|||
П “ ‘2'2'------ ^ |
) |
|
|
|
|
||||||||||
в « = - |
[ |
|
( ® 12(1)) : |
|
в ..— |
V |
( в... - |
УУ |
) : |
||||||
1“ 22"’ - - H |
r i i r - 1 '■ |
|
0)ц |
||||||||||||
|
|
|
(1)11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
В&5-- |
Ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^56= 1; |
у2б2 ; |
h = - 1. |
|
|
|
|
|
||||||
Здесь использованы обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
тп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
^ btjwSh(Рлг—ph-i'); |
|
|
|
|
|
|||||
|
т |
|
л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0-25( p n - p ft- i 4) - |
0.5(pfa3- p ft_,3) |
|
|
|||||||||||
|
= |
Г |
|
|
|||||||||||
6iji = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft=l |
+ |
|
—Рл—i) |
|
|
J ; |
|
|
|
|
|
|||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0-2(ftft5 —Pft-i5) —0.375(ph4 —Pft-i4) |
|
|
||||||||||||
РгД |
= £ |
bijW [ |
|
|
|||||||||||
ft-i |
|
|
|
|
daM |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ySft(Pft2 —Ph-i2) |
|
j |
; |
|
|
|
|
|
||||
3Xjjap — |
b%j№1 |
|
|
|
|
daam WWsk |
|
|
|
|
|
||||
h= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ ( л ^ +л5 г) [7 ( ^ - Р » Л ) - | ( Р . 3- Р . - л ] + |
|
||||||||||||||
|
|
+ 5A(Pft-Pft-i)va[ft]VpW |
•; |
|
|
|
|
|
89
du^st |
[i-(f3ft5 —Ph-15) — |
Pft-.4) +-jj-(P*3- P*-!3) ] |
|
/1 = 1 |
|
|
|
где |
|
|
|
Va w= |
V |
Pi3- 1,5р/ |
V Pi-13—1»5Pi-i |
|
Sj^aa^ |
L J , ~ I и |
|
|
|
j=I |
Нетрудно проверить, что вектор |
(У*ьО, У*з, О, О, У*б)', где штрих — знак |
||||||
транспонирования и |
|
|
|
СОц(1) |
|
|
|
У*,= |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
2 [ с о ц (1) С 0 2 2 * 1* — ( 0 ) 1 2 ^ ^ ) |
|
|
|||
|
|
2 ] |
|
||||
|
|
, л |
|
СО 1 1 12 ) ( 0 i 2 ^ |
|
|
|
V |
1 |
_ (2 | |
1 |
У * |
1 |
||
\ |
® 1 2 1 |
' |
/ |
г |
1 |
||
|
|
|
|
0 ) ц (1) |
|||
|
|
|
|
б 111 СО 1 2 (1) |
\ у |
* |
|
= |
Y |
( ^ 1 2 1 |
1 |
1) |
|
||
|
|
|
|
Ш ц (1) |
' |
|
|
является частным решением системы (2.7). Теперь достаточно найти об щее решение однородной системы уравнений
dY
Ж = A~'BY=CY,
что, как известно, сводится к решению полной проблемы собственных значений для матрицы С. При численном решении этой задачи может быть использован обобщенный метод вращения4.
Отметим, что исследование изгиба, проводимое в рамках гипотез Кирхгофа—Лява, приводит к системе уравнений (2.7) с вычеркнутыми в матрицах А, В последними двумя строками и столбцами. При этом в век торах У, /' вычеркиваются два последних элемента, а из граничных усло вий (2.8) исключаются два последних.
Возвращаясь к системе уравнений (2.1) —(2.3), введем безразмерные
переменные |
w* = hUь и*х= Ш2; |
u*^ = RUz\ л*ж= “ТрГ^4» |
Us- |
|||
Выражая |
Т*хх, T*ffX, |
при |
помощи |
соотношений |
(2.2), |
(2.3) через |
U1, .. ,U 5 и подставляя |
эти выражения |
в уравнения |
(2.1), |
приходим к |
системе пяти однородных линейных дифференциальных уравнений с пере менными коэффициентами относительно пяти функций.
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
A*iC/i = 0 |
(k=\, |
5). |
|
(2.9) |
||||
|
i—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальные |
операторы A/u- определяются формулами (чле |
|||||||||
нами порядка h/R по сравнению с единицей пренебрегаем) |
|
|||||||||
|
|
д3 |
|
|
|
|
|
д3 |
, |
д |
Л ц= - у 2б2соц(2)з ^ - |
- у 2(“ 12(2) + 2с1)33(2>) |
2 |
5Г ; |
|||||||
|
|
Ж |
|
|
|
|
|
W |
+ v “ 12 |
|
Л 12 = со11(1* |
д2 |
со3з(|) |
д2 |
|
Л ]з= |
|
д2 |
|||
д%2 |
Н----—— |
— 7-; |
|
(о)12(1) + о)зз(1)) |
|
|||||
|
|
б2 |
dtp2 |
|
|
|
|
Я д у ’ |
||
|
|
А |
л |
д2 |
|
6331 |
д2 |
|
|
|
|
|
Ли —Ош ——- + - |
б2 |
dtp2 ’ |
|
|
||||
|
|
|
|
д%2 |
|
|
|
90
|
|
|
|
|
|
д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d3 |
|
|
|
|
Ai5—(6122+ 6332) -a^cp |
; |
|
Л21= —Y262(2CO33(2) + coi2(2)) а£2аФ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
д3 |
|
|
д |
|
|
|
A22= AI3; |
|
|
|
|
оa2- |
|
|
|
||
|
—V2(022(2) -3-^- + Y“ 22(1) 3 —; |
A23 = 62G)33(1) —----h |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
< v |
' V“22( |
|
mrndq, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C/£2 |
|
|
|
||
+ m22l" |
^ |
r ; |
Л24=(6зз1 + 6|21)^ |
|
; |
Л« = 6!6з32 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Л3| = |
- т 3«,®и11А р —7 3б2(2(i)i2,3)+ 4(1)эз(3)) |
a4 |
- |
|
|
a4 |
|
|
||||||||||||||
|
v30 22(3)_____[_■ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
+V262 ( 20l2'2i-Xv62cD„raiAL) -A r +v2 [2 a .» w - |
|
|
|
||||||||||||||||
-X |
( Т62ш|2и |
|
|
|
) |
|
]_ J L |
_ v [to22('i—X (v 6W |
a2y, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
a i2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
— T |
01 |
\ |
Л32 —762(I)IH2) ———h7(2(o33(2)+ COI2^2)) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1фф j |
|
|
|
|
|
|
oi3 |
|
|
|
|
|
a^acp2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
/ |
|
, |
|
|
, а2 к, |
|
\ |
|
a |
|
А33 = 7 ш 22( 2) |
аз |
1-762 ( ( O I 2( 2 ) |
+ |
|
||||||
— |
^ ( I 3 i 2 ( 1 ) — |
Я.уб2(Оц(1) |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
аз |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
а2 У! |
\ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
+2шзз'2|) |
|
- |
( 0)22 |
|
|
^ 62<012 |
di2 |
) ^ |
г ; |
Лм = |
|
|
||||||||
|
|
|
аз |
|
|
|
ч |
|
аз |
|
/ |
/ аФ |
а2 У! |
\ |
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
; |
|||||||||||
= v62Pin ^ |
i-+Y (2p33i + Pi2i) |
|
|
|
( 6.2! -А7б2б,п |
|
) — |
|||||||||||||||
|
|
|
a3 |
|
|
n |
|
|
ч аз |
/ |
|
|
|
|
а2 У, \ a, |
|
||||||
Лз5=7Р222 " а ^ +7б2(р122+2рззз) "a^ a^ |
“ \ |
|
|
|
|
|
) |
-d— |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
A 4, = - Y 262p i , i - ^ r - Y 2(p i2i + 2 p33i) ^ а ф2 + 7 б ш a f ’ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
A |
A |
|
A |
A |
|
A |
|
______ |
|
a2 |
1 |
Л33Ц |
a2 |
- |
Al |
> |
|
||||
|
A 42 = Ai4, |
л 43= л 24; |
Л44 —Лиц |
|
|
|
|
-^ igT |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
; |
|
|
|
|
„ |
|
|
. |
|
a3 |
|
|
|
|
|
Л45= (Л1212 + Л3312) ^ |
|
|
|
А 51 = —Y262(2p332+ Pl22) |
а ^ а Ф |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а^аФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
“ Y2P222 |
a3 |
„ “t” Y®222 |
|
|
|
> |
A52 = Л15, Л53 —Л25. Лб4 —Л45; |
|
|
|
||||||||||
|
|
, |
аФ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
аФз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
a2 |
~ |
A 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л55 = 62Л3322 -Щг + Л2222 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Здесь Уi — определенный выше безразмерный |
прогиб; |
Гфф°= |
T |
— |
||||||||||||||||||
безразмерное окружное усилие; к= |
— искомая безразмерная крити |
ческая нагрузка. Отметим, что исследование устойчивости, проводимое в рамках гипотез Кирхгофа—Лява, приводит к уравнениям (2.9) с вычерк нутыми в матрице операторов А двумя последними строками и столбцами.
91
Н еи зв ест н ы е |
ф ункции U \ , . . . , £/5 б у д е м искать в в и д е д в о й н ы х т р и г о |
н о м ет р и ч еск и х |
р я до в Ф урье: |
оо оо |
|
U i = |
|
|
^ |
U \пт sin лт£ cos пср; |
U2 = |
|
|
U2nm cos лт£ cos mp; |
|||||||||
|
|
7 7 = 0 7 7 i = l |
|
|
|
|
|
|
|
n = 0 m = 0 |
|
|
( 2. 10) |
||||
|
OO 00 |
|
|
|
|
|
|
|
OO |
00 |
|
|
|
||||
u z = |
ZZ Uznm sin я |
cos ncp; |
£/4 = |
z z f/4nm cos я т £ cos гсф; |
|||||||||||||
|
n |
= |
l 7 7 1 = l |
|
|
|
|
|
|
|
71=0 771=0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
£/* = Z |
|
Z |
|
^/бтгтп sin лm\ sin Пф. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
77= |
1 |
777=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л е г к о |
видеть, что |
|
п р ед ст а в л ен и я |
(2 .10) |
у д о в л е т в о р я ю т у сл о в и я м |
ш а р |
|||||||||||
н ирн ого |
оп и р ан и я |
|
(2 .4) и у сл о в и ю п ер и оди ч н ости |
по к о о р д и н а т е ф. |
П о д |
||||||||||||
ст а в л я я |
в |
п ервое, |
второе, ч етвер тое |
и пятое у р а в н ен и я |
из |
си стем ы |
(2 .9) |
||||||||||
ря ды ( 2. 10) и п ри р ав н и в ая |
н у л ю |
о б щ и е члены |
к а ж д о г о |
из |
ч ет ы р ех |
п о л у |
|||||||||||
ч ивш ихся |
при эт ом |
дв ой н ы х |
т р и гон ом етр и ч еск и х |
р я до в |
Ф урье, п р и х о д и м |
||||||||||||
к си ст ем е |
ч еты рех |
л и н ей н ы х |
а л геб р а и ч еск и х |
ур ав н ен и й , |
с в я зы в а ю щ и х |
||||||||||||
м е ж д у |
с о б о й |
пять |
величин |
U \nm, . . . , |
U^nm'. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
^ i l’,m,C/inm= 0 |
|
(*=1,2,3,4; |
л > 0, m > l) . |
(2.11) |
|||||||||
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ор м ул ы |
д л я |
вы числения |
э л ем ен т о в |
м атрицы R(nm) л егк о получить, |
|||||||||||||
с о п о ст а в л я я |
м атрицы R(nm) и |
X. Так, н ап р и м ер , |
э л ем ен т ы |
1-го с т о л б ц а |
|||||||||||||
м атри ц ы |
|
/?(п т ) п о л у ч а ю т ся |
из |
со о т в ет ст в у ю щ и х |
э л е м е н т о в о п ер а т о р н о й |
м атрицы А з а м е н о й - ^ - ^ л т , - ^ - * - — п и т. д. А н ал оги ч н ы м о б р а з о м |
ст р оя т ся |
||||||
эл ем ен т ы ост а л ь н ы х ст о л б ц о в м атрицы R(nm). Р а з р е ш и в при |
0, m > 1 |
||||||
си ст ем у |
а л ге б р а и ч е с к и х |
у р ав н ен и й |
( 2. 11) |
о т н о си т ел ь н о |
величин |
||
£/277777, ■• |
, £/577777, п ол уч и м |
со от н ош ен и я |
вида: |
|
|
|
|
|
£/277777 — |
/1 (л-ттг) U 1 П 1 П ) . . . , |
£ /577771— |
1 ^ |
п т ) £ / 1717П . |
( 2 . 1 2 ) |
|
Т аким |
о б р а з о м , о п р е д е л и в |
к о эф ф и ц и ен ты |
U 2nm, • • • , U 5nm р а з л о ж е н и й |
( 2. 10) ф о р м у л а м и ( 2. 12), у д о в л е т в о р и м п ер в ом у, в т о р о м у и ч ет в ер т ом у,
п я том у |
у р а в н ен и я м систем ы |
(2 .9 ) . |
|
|
|
|
|
||
|
Р а з л о ж и м д а л е е |
ф ун к ц и и |
> 7Vr°> х а р а к т е р и з у ю щ и е о с н о в н о е с о |
||||||
стоя н и е и н ай д ен н ы е |
в р езу л ь т а т е |
реш ен и я |
з а д а ч и |
и зги б а , в р я ды |
Ф урье: |
||||
d 2Y 1= |
2 z^s.cos ns£; 7’(рф°= 2 ^scos |
|
Тогда, если |
|
|
||||
W |
s=o |
s=o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
У |
У |
|
c o s Мф, |
(2 .13) |
|
|
|
£/1 (6, Ф) = |
L J |
Z J CLnm s in |
||||
|
|
* |
|
|
77=0 777=1 |
|
|
|
|
то д л я |
к о эф ф и ц и ен т о в a nm и м ею т |
м ест о в ы р а ж ен и я |
|
||||||
|
|
а пт— |
~ |
U \nqWq+m |
^ ln q ^ q - m + |
|
|||
|
|
|
^ q = 1 |
|
^ «7=777+1 |
|
|
||
|
|
|
777—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T" ^ |
UinqWm—q+ U\nmWQ. |
|
(2 .14) |
|||
|
|
|
q |
= l |
|
|
|
|
|
92
Аналогичные формулы могут быть написаны для |
T ^ U i и вообще для |
|||||
всех произведении типа |
встречающихся |
в третьем |
уравнении |
системы |
||
(2.9). Разлагая |
d2Y1 |
T ^ U i и т. д. в ряды типа |
(2.13), подставим эти |
|||
ль2 Е/ь |
||||||
разложения, а |
d l2 |
|
в третье |
уравнение |
системы |
|
также разложения (2.10) |
(2.9). Приравнивая общий член получающегося при этом двойного три гонометрического ряда к нулю и используя формулы типа (2.14), прихо дим при фиксированном п ^ О к однородной системе линейных алгебраи ческих уравнений бесконечного порядка
U \пз — [ l/ т т ^ П^U 1 Пт \ |
|x = A_1 (m= 1, 2, |
) |
(2.15) |
||
S = 1 |
|
|
|
|
|
Здесь элементы диагональной матрицы /(,l) |
вычисляются по формулам |
||||
/ т т (П)=у3б4Шп(3)я4т 4+уЗб2(2(012(3)+ 4СОзз(2))я2т 2Аг2+луЗа)22(3)п4 + |
|||||
+ 2у262со,2(2>я2т 2 + 2у2(022(2)гс2 + уш22( 1>- [уб2соц(2,л;3ш3 + у (2созз(2) + |
|||||
+ ti)i2(2))ятм 2+о)12(1,л ^] /i(7im)+ [уа)22(2)^3+ |
(wi2(2) + 2со33(2))л2т2п + |
||||
+ С022(1)я] /2(пт) —[y62pi 11л3т 3 + у (2р331 + pi2i)лтм2+ 6121л т] /3<пгп>+ |
|||||
+ [ур222^3+ y 6 2(pi22 + |
2p332)n2m 2Al + 6 2 2 2 ^ ] / 4 (7lm)- |
|
|||
Элементы матрицы |
вычисляются по формулам: |
|
|
||
при тфБ |
|
|
|
|
|
nms(n)= — уб2(аУ|771-»]—сУщ+s) [y262Jl2S2(D11(2) +у2С012(2)Н. + |
|
||||
“Нy(0i2(1) СО 11OftS/i(ns) -J-СО12(1}^^2(713) —6111JTS/3(ns) "1“ 6i22^4(ns)] 4-- ^У |
(1 + П2) X |
X (tm+s t\m—s|)
и при m — s
Qmm(n)= y62 ( — W2TTI— WQ 'j [у262л2т 2Ш11(2)+у2(012(2)/г2 + уа)12(1)—
— С0ц(1)я т /1 < п т ) + 0)12(1)ц/2{71пг) —6 iiin m /3(nm) + 6 i 22« / 4(nm)] +
+ y (l+ tt2).
Условием существования нетривиального решения системы (2.15) явля ется выполнение равенства | —ц/(п)| =0 или, учитывая положитель ную определенность матрицы /("),
|У /^ |
= 0, |
(2.16) |
где / — единичная матрица. Задача состоит в отыскании наибольшего корня |хп уравнения (2.16). При численном решении уравнения (2.16) рассматриваются главные миноры конечного порядка, который увеличи ваем до тех пор, пока наибольший корень не стабилизируется в пределах заданной точности. На каждом таком шаге корни соответствующего урав нения могут быть найдены численно при помощи обобщенного метода вращений4. Проведя этот процесс при п = 0,1,. . и обозначив М*= шах {|хп}, получим для определения критической нагрузки фор-
л =0,1 , . .
мулу х= 1/ц*
93
х. р;,р: |
Л/А |
В качестве численного при |
|
|
мера решена задача о потере ус |
|
|
тойчивости двухслойной цилинд |
|
|
рической оболочки, один из слоев |
|
|
которой армирован в окружном |
0,95 направлении, |
другой — в |
про |
|
|
дольном. При вычислениях пола |
||
|
галось у = 0,02; 5I = 52= 1; оси = со2 = |
||
|
= cozi = coz2 = 0,5, где со*, а>2/{ — ин- |
||
одо тенсивности |
армирования |
в по |
|
|
верхности и в направлении тол |
||
|
щины &-го слоя3. Коэффициенты |
||
|
Пуассона всех материалов счита |
||
°'к |
лись одинаковыми и равными 0,3. |
||
На рис. 1 сплошными линиями |
0.50.5 0.5 0,7 0.5 приведены зависимости от пара
Рис. 1. |
метра Pi величин А*=103А (кри |
|
вые /, /'), Р*с = .ЮРс//гс |
(//, II'), |
|
|
Р*а= 102РаД а (///, III'), |
найден |
ные при 6= 1; mi = m2 = 0,02, и штриховыми — |
зависимость |
величины |
|
А/А (IV, IV'), |
найденная при тех же параметрах. Здесь А — безразмерная |
||
критическая |
нагрузка, найденная без учета |
поперечного |
сдвига; |
Рс, (Ра) —■нагрузка начального «разрушения» связующего (армирую щих элементов), найденная при учете сдвига по условию Мизеса
2 |
2 |
2 |
2 |
Ш ах {(7^д;с(а) "Н СГффС(а) |
СГх.г-с(а)0'ффс(а)-Ь 3Tazc(a)} = |
^с(а) |
x , z
(kC(a) — предел текучести при растяжении связующего или арматуры). При этом кривые /—IV отвечают оболочке, у которой первый слой арми рован в продольном направлении, второй — в окружном, а кривые Г—I V — оболочке с противоположным расположением слоев. Отметим, что при изменении параметра Pi изменяются не только величины нагру зок начального «разрушения» Рс,
Рл и критической нагрузки А, но |
|
|||||||
и характер |
возникновения |
«раз |
|
|||||
рушения», а также форма потери |
|
|||||||
устойчивости. Не описывая из-за |
|
|||||||
недостатка |
|
места |
|
характера |
|
|||
возникновения |
начального |
«раз |
|
|||||
рушения», |
отметим |
только, что |
|
|||||
для |
оболочки, |
первый |
слой |
кото |
1,00 |
|||
рой армирован в продольном на |
|
|||||||
правлении, число окружных волн |
|
|||||||
увеличивается с 5 (Pi<0,15) |
до 7 |
|
||||||
(Pi>0,55), а для оболочки с про |
|
|||||||
тивоположным |
расположением |
|
||||||
слоев число окружных волн, на |
|
|||||||
против, уменьшается с 7 (рi <0,45) |
|
|||||||
до 5 (Pi>0,9). Из рис. 1 видно |
|
|||||||
также, |
что при рассматриваемых |
|
||||||
здесь |
геометрических |
и физиче |
|
|||||
ских параметрах учет сдвига не |
|
|||||||
оказывает существенного влияния |
|
|||||||
на |
величину |
критической |
на |
0,85 |
||||
грузки. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
На рис. 2 сплошными линиями |
|
||||||
даны |
зависимости |
от |
параметра |
|
94
6 = R/l величин X (кривые I, I'),_P*a {II, II'), Р* {III, IIГ) и штрихо
выми — зависимость величины Х/Х {IV, IV'). Эти зависимости построены при Pi = 0,5 для оболочки, первый слой которой армирован в продольном направлении, второй — в окружном. Кривые I—IV построены при /?11= //г2 —0,05, кривые I'—IV' — при /?2i = /?г2 = 0,0125. Отметим, что при увеличении параметра б число окружных волн увеличивается от 5 (6= 0,5) до 12 (6 = 3,5), при этом, как видно из рис- 2, различие в резуль татах расчета критической нагрузки по уточненной н классическим тео риям также увеличивается в тем большей мере, чем меньше сдвиговая жесткость материала. Отмеченное снижение уровня критической на грузки, найденной при учете сдвига, по сравнению с классической для более толстых оболочек может быть значительным. Полученные здесь результаты согласуются с выводами, сделанными в работе5.
На рисунках 3 и 4 сплошными линиями приведены зависимости от параметров Pi (рис. 3) и (б) (рис. 4) величин Р*я/Р*с (кривые I, /'), Х*/Р*с {II, II') и штриховыми линиями — зависимость величины Х*/Р*я {III, III'), найденные при тех же параметрах, что и зависимости, изобра женные на рисунках 1, 2. На рис. 3 кривые / —III соответствуют оболочке, первый слой которой армирован в продольном направлении, второй — в окружном, остальные кривые соответствуют оболочке с противополож ным расположением слоев. На рис. 4 кривые / —III построены при Ш1= тг = 0,05, кривые I'—III' — при /723 = 7722 = 0,0125. Зависимости, изоб раженные на рисунках 3, 4, позволяют при фиксированном отношении величин k j k a, k J E ic, k J E {c выяснить, что произойдет раньше — «разру шение» связующего, «разрушение» армирующих элементов или разруше ние оболочки вследствие потери устойчивости.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Андреев А. Н., Немировский Ю. В. К теории упругих многослойных анизотроп ных оболочек. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1977, № 5, с. 87—96.
2.Немировский Ю. В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя. — Жури, прикл. механики и техн. физики, 1969, № 6 , с. 81—89.
3.Немировский Ю. В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и
пластин. — Механика полимеров, 1972, № 5, с. 861—873.
4.Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М., 1966. 248 с.
5.Рикарде Р. Б., Тетере Г А. Устойчивость оболочек из композитных материалов.
рига, 1974. 310 с. |
|
|
Институт гидродинамики Сибирского отделения |
Поступило в редакцию 09.01.78 |
|
АН СССР, Новосибирск |
_________ _ |
|
ных подкреплений и композитной обшивки, связаны с соответствующими перемещениями и, v, w следующим образом5:
1 |
du |
|
1 |
d2w |
■; |
e2 = |
1 / |
R |
da ’ |
|
|
da2 |
|||
|
|
|
|
R \ |
|||
X2 |
1 |
/ |
d2w |
) |
u. l ( |
du |
|
~~~R* |
1—-----1-w |
|
|||||
|
\ |
dp2 |
|
R v ж |
|||
|
T — |
|
2 d2w |
|
/ |
dv |
du |
|
|
R2 dadfi +w |
\ |
da |
Ж |
||
|
|
|
dv
CO.
dv da
( 1. 1)
\
где а и р — безразмерные ортогональные координаты, совпадающие с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки и имеющие начало отсчета на торце одного из стрингеров большей жесткости. Пол ную энергию системы Э вычисляем по формуле
Э= U+Uc + Um+A. |
(1.2) |
Потенциальная энергия деформации многослойной композитной обшивки запишется так5:
|
-ф—1 2л |
|
|
|
||
^ |
= — J |
J |
{ C n e i 2 + |
2 C i 2 e i e 2 + С22б22 + C66C02 + |
2 C i 2 ( 0 6 i + 2 С 2 б О ) б 2 |
+ |
|
0 |
о |
|
|
|
|
|
+ 2 [/Ci 1еi>c1+ К22 (щхг + 62X1) + К2262Х2 + /Сбб^зт+ /Сi6(SIT + СЖ1) + |
|||||
+ |
К 2 б (б 2 Т + |
С0Х2 ) ] + |
Z ) iiX i2 + 2 £ ) i 2 X i X 2 + -022^22 + |
^ 6 6 T 2 -|-2D i6T X -i + |
|
|
|
|
|
|
+ 2D26TX2} R2dad$. |
|
(1.3) |
При этом коэффициенты упругости Bij выражаются через соответствую щие коэффициенты в главных направлениях упругости B'ij следующим образом5:
Ви = В'п cos4 (p + 2 (£/i2 + 2£ /66)sin2 ф c o s^ + B'22 sin4 ф;
В22 = В'ц sin4 ф+ 2(B/i2 + 2B,66)sin2 ф cos2 ф+ В'га cos4 ф;
B\2~ В'\2~\~[ В /ц + В'22— 2(В/12 + 2В'бб)]55п2 ф COS2 ф",
BQQ= B/66+ [ ^ п + В'22—2 ( В ' ~\~2B'^s) ] Sin2 ф COS“ ф‘,
Bi6 = -^- [£'22 sin2 ф — В'и cos2 ф+ (#12+ 2Вбб)соь 2ф] sin 2ф;
B26 = Y [B722C0S2 ф -В 'п s i n ^ - (В\2+ 2Ввб) COS 2ф] sin 2ф.
Здесь ф — угол наклона между главными направлениями упругости и координатными линиями а, р. Потенциальная энергия деформации ре бер состоит из энергии изгиба, сжатия и кручения, при этом4:
1
2 ft, -
.. |
1 |
V |
V |
Г Г |
£ icW |
I °2w V |
■ GflКР.С1 I |
d2w |
, dv \2 , |
||
|
2 |
^ |
^ |
0 |
L |
2R* |
' |
da2 ' |
2RA ' |
dadfi |
da ' |
|
|
1=1 /=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
icF ic |
/ |
|
Rda\ |
|
(1.5) |
|
|
|
|
|
2R2 |
\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
P=P; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 — 2748 |
97 |
Осевые сжимающие напряжения а при переводе подкрепленной компо зитной конструкции из деформированного в начальное, недеформированное состояние совершают работу:
I/1452п |
|
|
|
|
|
А = \ |
J об[ |
|
] № |
d p + |
|
О о |
|
|
|
|
|
2 hi |
1/-Ф |
T \ R ~ d a ' |
-I P=Pi Rda, |
( 1.6) |
|
+ Z Z °f lCJ[ £1C |
|||||
|
|
1_/ |
1 |
|
|
где eic — осевая деформация стрингера; E{c, Fic, |
c(1), /Кр.с(Ч Z\c — со |
ответственно модуль упругости, площадь поперечного сечения, моменты инерции изгиба и кручения, эксцентриситет «сильного» стрингера; k\ —
их число; Е2с, /V, /из.с{2), Лф.с(2), • •, /из.ш(4), /кр.ш^', z2l", kA— соответствую щие характеристики «слабых» стрингеров, а также «сильных» и «слабых)'' шпангоутов; б?Лш, \ с>ш1—■модули сдвига и коэффициенты Пуассона мате риалов соответствующих подкреплений; ty= R/L.
Компоненты перемещений срединной поверхности обшивки задаем в виде одночленной аппроксимации3:
и = (Л\ c o s /г|3 + Л2sin пф) co s т а ; v = (В\ sin п$ + В2co s гг[5) sin т а ;
(1.7)
w = (Ci cosnB + C2sin/ip)sin т а ,
где т = т 0лф; Л,-, С,- — произвольные постоянные; т 0, п — параметры волнообразования. Подставляя (1.1) в (1.3) и учитывая соотношения (1.4) п (1.7), для угла ср = 0 получаем после интегрирования следую щее выражение для потенциальной энергии деформации рассматривае мой композитной обшивки:
U— {А12 + А22)Тх+ (б г + В22) Т2+ (Ci2+ С22) 73 +
+ 2(А2В2 — А\В\) ТА+ 2(В{С[ — В2С2) Т^—2 (Л1Ci + /й“$С2) 7s;
7i —С цт2+СббП2; Т2 — С22п2 + ^ СббН— ^--- h—^— ) /п2;
Г П , ^66 |
|
о о |
- |
4 |
, |
^22 ,, |
9Ч0 |
2Z)I2 |
т |
2 |
( 1 - п~) - |
||
Т, = С22 + |
|
|
пг2п2+ — |
т |
4 + — |
( 1 |
- ,j2 ) 2 _ |
_ _ |
|||||
2/Ci -m* + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1. 8) |
||
- ^ - ( l - » 2); |
n = |
( с , а+ с и + |
^ |
) |
m /i; |
||||||||
7*=- |
2/Сбб |
„ |
|
|
K12 |
,, |
. |
Kw |
2;' |
|
|||
|
R |
n2- C 12- |
R |
0 - " 2) + ^ ™ |
|
||||||||
-H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kee |
D66 j m2 —^ |
^Cn |
9 |
K22 |
|
|
|
||||||
|
|
+■ |
|
|
C22 —— m2-----— (1 - n 2) ] n. |
||||||||
|
|
|
tf2 |
|
|
|
|
|
/? |
|
|
|
98