книги / Турбулентное смешение газовых струй
..pdfОсновная цель данной главы заключается в теорети ческом анализе смешения газов разной плотности приме нительно к тем вариантам, которые были исследованы экспериментально (см. гл. I). Поскольку подогрев газов в опытах был невелик и справедливость уравнения состоя ния в форме (2.40) не вызывает сомнения, можно исполь зовать упрощенную систему уравнений. Рассмотрим тече ние в начальном участке струи, считая течение вблизи среза сопла в зоне смешения
плоским. Расчеты |
неавтомо |
|
№ |
!Рг |
||
дельного течения в зоне сме |
А |
\ |
/ |
|||
шения круглой струи, выпол |
_ у /_ . |
|||||
ненные Кыозом [32], показы |
|
Л |
х |
|||
вают, что влияние осесиммет- |
У♦ |
1 \ |
|
|||
ричности |
сказывается |
на |
1 I |
|
||
закономерностях |
смешения |
|
|
|
||
очень слабо. Даже в конце |
Рис. 2.1. Схема течения в зоне |
|||||
начального |
участка струи, |
смешения струи (1) и спутного |
||||
где внутренняя граница зоны |
потока (2). |
|
||||
смешения |
достигает |
оси |
|
|
|
струи, отличие параметров осесимметричного течения от плоского не превышает 5—10%.
Предположим, что распределение всех параметров на срезе сопла равномерно, т. е. пограничные слои отсутст вуют. В этом случае схема течения, изображенная на рис. 2.1, сводится к смешению двух плоскопараллельпых равномерных потоков и система уравнений может быть упрощена. Обозначая индексами 1 и 2 параметры газов в струе и спутном потокеииспользуяобозначения, введен ные в гл. I, получим из уравнения состояния (2.40) связь
между профилями плотности Ар°== |
и энтальпии |
|
Ah° = f |
в виде |
|
Ai—Аа |
|
|
|
АР° |
(2.'43) |
|
п + (1 —п) Др° |
|
где п = рг/piУсловие равенства коэффициентов переноса, подобие уравнений (2.27) и (2.28) и начальных условий (отсутствие пограничных слоев) для энтальпии и мас совой концентрации позволяет получить следующий
очевидный интеграл:
с = Aih -f- Л2, |
(2.44) |
где Аг и А2 —постоянные, определяемые из граничных условий. Принимая, что в струе с = 1, а во внешнем
потоке с = 0, получим из (2.44):
с = Ah°. |
(2.45) |
Профиль температуры можно получить из соотноше ния (2.31):
АТ° = |
(2.46) |
Введем турбулентное число Шмидта как отношение коэффициента турбулентной вязкости к коэффициенту турбулентной диффузии
Sc = ЕID |
(2.47) |
и будем считать, что оно постоянно. Тогда окончательно упрощенная система уравнений будет выглядеть следую щим образом (черточки, означающие осреднение по вре мени, опустим):
du |
. |
du |
Е др |
ди - 3 f р Зи] |
(2.48) |
|
Р“и |
+ P” w “ Ж w w + %{рЕTFJ ’ |
|||||
|
||||||
ui£.-L„ |
|
ду \ Sc |
ду J * |
(2.49) |
||
д х 'иду |
|
|||||
|
*L + i i |
= o |
|
(2.50) |
||
|
дх ^ |
ду |
и* |
|
|
Граничные условия для решения этой системы урав нений таковы:
2/= + °°, |
и = и ъ |
р = plf |
V= |
*251. |
У= —оо, |
и = и2, |
р = р2- |
|
V• ; |
Профили /г, с и Т находятся по формулам (2.43), (2.45) и (2.46). Из анализа граничных условий и уравне ний видно, что профили скорости, плотности, энтальпии и концентрации зависят только от двух определяющих па раметров m = ujux и п = рг/piПрофиль температуры, кроме того, зависит еще от отношения с??/с^ = с?.
3- Специального рассмотрения требует вопрос о значе нии которое определяет граничное условие для попе речной скорости.
В отличие от теории пристеночного пограничного слоя, где поперечная скорость на стенке равна нулю, в теории струй такого очевидного условия нет. В связи с этим в ли тературе обсуждались различные граничные условия для поперечной скорости vv Некоторые из этих условий были получены на основе анализа условия баланса потока им пульса поперек зоны смешения Ц, 33].
Однако при получении конечного результата в этих работах не учитывался ряд важпых факторов. Так, в рабо те [33], где содержится довольно полный анализ различ ных составляющих потока импульса, не учтены силы дав ления и турбулентного трения. По-видимому, анализ тече ния только внутри зоны смешения и уравпепий погранич ного слоя, справедливыхтакжетолько в зоне смешения, не достаточен для нахождения граничного условия для скорости V. Наиболее полно вопрос о выборе граничного условия для поперечной скорости применительно к тече нию в зоне смешения рассмотрен в работе Лю Тинга [34]. В этой работе недостающее соотношение для vxнаходится из условия «стыковки» решений уравнений Навье — Стокса для вязкого течения внутри зоны смешения и по тенциального течения вне зоны. Решениянаходятся в виде рядов по степеням малых параметров. Оказывается, что для случая смешения несжимаемых потоков справедливо известное условие Кармана:
uivi = ~ *№• |
(2.52) |
На практике реализация смешения полубесконечных потоков невозможна, а течение в начальном участке пло ской или круглой струи, распространяющейся в спутпом потоке, лишь приближенно напоминает это течение. Стро го математически течение в зоне смешения, как это пока зано в работе [34], неавтомодельпо, a vx = vx (я). В то же время экспериментальные данные показывают, что в невозмущепиом ядре струи течение практически изобарично и их = const. Из уравнения (2.50) в этом случае следует,
что в ядре струи |
dv |
г\ |
|
= 0, но из условия симметрии на оси |
струи V—0, и, следовательно, во всем ядре струи
(2.53)
Это приближенное условие не сильно отличается от условия (2.52). В самом деле, для «затопленной» струи, т. е. когда во внешнем потоке скорость н2 = 0, условие (2.52) также дает vx = 0; тот же результат получается при смешении потоков с одинаковой скоростью. Расчеты те чения в слое смешенияпотоков с одинаковой плотностью, проведенные А. Кыозом [32] при граничных условиях, соответствующих формулам (2.52) и (2.53), показали, что различие в граничных условиях для v проявляется лишь в незначительном повороте зоны смешения относительно начала координат. Максимальное различие параметров зоны смешения для этих двух случаев граничных условий при т = 0,5 не превышает 3—4%. Поскольку условие Vi = 0 ближе соответствует случаю течения в зоне сме шения струи со спутным потоком, то в дальнейшем исполь зуется граничное условие (2.53).
§3. Анализ отдельных точных решений
1.Для того чтобы получить точные решения системы уравнений (2.48) —(2.50), выразим коэффициент турбу лентной вязкости через осредненные параметры по фор
мулам Л. Прандтля. Для большей общности соотношения (2.4) —(2.5) представим в единой форме:
(2.54)
Придавая в соотношении (2.54) параметру а значения 2 или 1 и принимая для функции А \х) выражение Z2 (х) или кЪ (1 —т), можно получить «старую» (2.4) или «новую» (2.5) формулы Л. Прандтля. Будем искать авто модельные решения системы (2.48) —(2.50) применитель но к течению в зоне смешения. Введем для этого новые переменные:
(2.55)
В этом случае операции дифференцирования выразятся
через Q (х) следующим образом: |
|
|
|
|||
д |
= |
д__д |
^ » |
д _ 1 |
д_ |
(2.56) |
дх |
|
дх' Q2 |
ду ~~Q дЬт |
|||
Используя |
эти соотношения, |
можно |
преобразовать |
|||
систему уравнений (2.48) —(2.50) к виду |
|
|
||||
- |рии‘ + рVu' = |
|(l |
+ ~ j р' (ц')« + op(u')«-iu'j, |
||||
|
|
|
|
|
|
(2.57) |
- Sup' + KP '= ^ r { l^ (P' |
- |
(2-58) |
||||
- |
lu’ + V' = 0; |
|
|
(2.59) |
||
здесь ( )' и ( |
)x означает соответственно дифференциро |
|||||
вание по £ и хи, кроме того, |
|
|
|
|||
|
|
V = -А-. |
|
|
(2.60) |
|
|
|
|
Qx |
|
|
|
Для существования автомодельного решения системы |
||||||
(2.57) —(2.59) необходимо, чтобы в ней |
отсутствовали |
члены, явно зависящие от х. Приравняем поэтому входя щийв эту системумножитель, зависящий отя, постоянной
А |
(1 —W)i-g |
(2.61) |
Q'xQT ~~ |
|
|
|
|
Вид постоянной в правой части равенства (2.61) выб ран так, чтобы полученные уравнения совпадали с из вестными из литературы [1] соотношениями. Уравнение (2.61) позволяет найти вид функции Q(x):
о+1 / |
Р |
Q (х) = J/' |
а (а + 1)(1 —т)*-1 ^ А (х)dx. (2.62) |
При интегрировании (2.61) было принято, что Q (0) = = 0; это условие эквивалентно равепству нулю толщины зоны смешения в начальном сечении.
Рассмотрим некоторые точные решения для профиля скорости. G этой целью проинтегрируем уравнение (2.59)
по используя граничное условие |
(2.53),т. е. полагая, |
|||
что vx = 0 при | = |
Тогда имеем |
I |
|
|
V = 1(и —щ) —{их —и2) |
Аи°dgj, (2.63) |
|||
lx |
||||
|
L |
J |
где Au° == (и —u2)/(u1 —ih)- Обозначим выражение в фи гурных скобках через F (£):
I
(2.64)
lx
Отсюда следует, что
F' = Au0. |
(2.65) |
С учетом соотношений (2.61), (2.63) —(2.65) уравненпе (2.57) преобразуется к виду
- {m| + (1 - т) F) F" = (Г)« F" + ± (1 |
(Г)\ |
|
(2.66) |
Уравнение (2.66) при р' = 0, т = 0, а = 2 переходит
вуравнениеТолмиена[1], соответствующее «старой» теории
Л.Прандтля,
F" (F + F ”) = 0. |
(2.67) |
Поскольку уравнение (2.66) при а = 2 и уравнение (2.67) обладают особенностью при F" = 0, остановимся на решении последнего несколько подробнее. Граничные ус ловия (2.51) и (2.53) для функции F (£) можно записать
следующим образом: |
|
|
|
£->+оо, |
Г |
= 1, |
I F '- F = 0; |
i - со, |
Г |
= 0. |
<2-68) |
Структура уравнения (2.67) такова, что в точках, в которых F” —0, можно стыковать решения двух различ
ных уравнений |
(2.69 |
F" = 0 и F'" + F = 0. |
|
Значения постоянных интегрирования и точки |
и |
в которых F" =0, находятся из граничных условий и ус
ловий непрерывности решения. Окончательный вид из
вестного решения Толмиепа, полученного стыковкой ре шений уравнений (2.69), таков:
Ди° = F' = |
при |
£>£2 = —2,04, |
0 |
||
0,0176<г*-|- 0,662^2 cos |
|
|
1 |
при |
£ < ^ = 0,98. |
при |
||
|
|
(2.70) |
Таким образом, решение уравнения (2.67) непрерывно исуществуетпривсех значенияхIв интервале—оо<|< оо. Приэтом вточках и £2, гдеF" = 0, имеетсяразрывтреть ей производной F'", т. е. второй производной от скорости (и" —F'"). Полученное решение на конечном интервале
12 ^ ê^ ii отлично от0 и 1, поэтомупринято считать, что по «старой» теории Л. Прандтля зона смешения имеет ко нечную толщину. Можно показать, что аналогичная осо бенность относится и к профилю плотности. С этой целью рассмотрим уравнение (2.58) и, используя (2.61), (2.63) — (2.65), преобразуем его к виду
р" {F"f-1 = - р' {a Sc[ml + (1 - т) F] + (а- 1)(F")*-* F"’). (2.71)
При а = 2, т. е. по «старой» теории Л. Прандтля,
впрофиле скорости есть участки, где F" = 0 (см. (2.70)). Отсюда следует, что на этих участках левая часть (2.71) обращается тождественно в нуль. Поскольку выражение
вфигурных скобках в общем случае не равно нулю, то в
точках, где F"= 0, имеет место равенство р' = 0, т. е. в этой области плотность постоянна. В середине зоны смешения, где F" Ф 0, можно разделить уравнение (2.66) на F" и использовать получившееся выражение для пре образования (2.71) к виду
-\- р' (aSç —а + 1)[mg + (1 —т) F]. (2.72)
Рассмотрим случай a Sc—а + 1 = О, который реали зуется, например, в «старой» теории Л. Прандтля (а—2) при Sc = 0,5. В этом случае последнее слагаемое в (2.72) исчезает, поэтому, сокращая на (F")®-1 Ф 0» получим
р” |
_ t\ I |
(2.73) |
^ |
= (1+Sc)^. |
|
Предположим, что значение F" = 0 |
достигается при |
\ = Il и 68, и введем координату т| = (g —У/ (62 —У, тогда после интегрирования (2.73) найдем
Ар°=
[(n~Sc —1) т] +1]~1/Sc —п __ ç—Ç* |
при I < | 2, |
|||
при | 2 < !< ? !, |
||||
1 —п |
» |
- ь - и |
||
1 |
|
|
при |> Ь . |
|
|
|
|
(2.74) |
|
Зависимость Др° (ц) |
при |
значении |
п = 0,27; 1,3; |
7,25 и Sc = 0,5, представленная на рис. 2.2, показывает, что профиль плотности, а
|
|
следовательно, и профили |
||||
Л-7,25 |
|
концентрации, |
энтальпии |
|||
|
и температуры существен |
|||||
|
|
но зависят |
от отношения |
|||
1,з\ |
|
плотностейп. В то же вре |
||||
|
мясоотношение(2.74) спра |
|||||
0.5 |
|
ведливо при любом значе |
||||
|
нии отношения скоростей |
|||||
х0.27\ |
|
т, и |
поэтому |
профиль |
||
|
|
плотности, построенныйпо |
||||
|
|
координате ц, не зависит |
||||
|
|
от этого параметра. Этот |
||||
0.S |
Г} 1.0 |
вывод |
соответствует |
ре |
||
зультатам, |
полученным в |
|||||
Рис. 2.2. Точное решение |
для |
гл. I на основе обработки |
||||
опытных данных. |
про |
|||||
профиля плотности (2.65)по «ста |
Таким |
образом, |
||||
рой» теории Л. Прандтля при |
филь |
плотности, так |
же |
|||
Sc = 0,5. |
|
как и профиль |
скорости, |
имеет конечную протяженность с особенностями в точках и у В этих точках терпят разрыв вторая производная
от скорости (т. е. Fw) и первая производная от плотности, в чем нетрудно убедиться дифференцированием вы ражений (2.70) и (2.74).
Данная особенность «старой» теории Л. Прандтля связана с тем, что турбулентная вязкость согласно этой теорииобращается в нуль на границах зоны смешения. По «новой» теории Л. Прандтля турбулентная вязкость по стоянна поперек зоны смешения и на ее границах особен ности не возникает. Покажем это па примере: а = 1, ni = 0, р' =0, когда уравнение (2.66) приобретает вид
FF*.+ F = 0. |
(2.75) |
Уравнение (2.75), в отличие от (2.67), имеет гладкое решение с непрерывными производными любых порядков,
причем значения F' = 0 и 1 достигаются соответственно при значениях
£ = —ООИ-f-OO.
Метод аналитического решения уравнения (2.66), предложенный Гёртлером, сводится кпоискам егорешения в виде ряда по степеням параметра X= (1 —m)f (1 -f- т). При т = 0 параметр X= 1 и сходимость ряда ухудшает ся, поэтому сумма первых члепов ряда далека от точного решения. Для получения лучшего согласования опыта с теорией профиль Гёртлера приходится «смещать» вдоль координаты | [1J. Как справедливоотмечаетсяв работе[33J, точное решение уравнения (2.75) хорошо согласуется с опытом инеобходимость в дополнительном сдвиге решения отпадает.
Проще находится точное решение для предельного случая одинаковыхскоростей(т ->• 1)и плотностей(п-+ 1) смешивающихся потоков по «новой» теории Л. Прандтля. В этом случае уравнение (2.66) приводится к виду
(2.76)
При а = 2 уравнение (2.76) соответствует «старой» те ории Л. Прандтля и при F" = 0 имеет особенность. Как уже отмечалось, в этом случав решение получается в
результате стыковки различных решении
|
при |
F' = |
|
S + ï l ^ i 6 - #6' |
при 6 >£ф. |
1 |
(2.77)
При а = 1 уравнение (2.76), соответствующее «новой» те ории Л. Прандтля, было решено Гёртлером:
*,' = 4-<1- ф®Ь где Ф ® = |
[ е~°ЧН1- (2.78) |
|
" 31О |
Сопоставление решений (2.77) и (2.78), представленное на рис. 2.3, дает основание считать, что, за исключением
Рис. 2.3. Распределение скорости в зоие смешения при замыкании уравнений движения «старой» (сплошная линия) и «новой» (пунк тир) формулами Прандтля при т —*1 и п -* 1.
концов, профили скорости близки друг к другу; одпако по «новой» теории Л. Прандтля, которой соответствует формула (2.78), значение Аи° = 0 и 1 достигается на бес