книги / Техническая диагностика остаточного ресурса и безопасности

0,25 < р < 0,5. Вторая теория прочности также справедлива для малопластичных материалов (чугунов, высокопрочных сталей, пластифицированных керамик), когда соблюдается закон Гука (1.30).

Третья теория (гипотеза) прочности предполагает главную роль наибольше­ го касательного напряжения ттах. Согласно этой гипотезе нарушение прочности при объемном напряженном состоянии происходит тогда, когда наибольшие ка­ сательные напряжения ттах достигают опасного уровня в опытах на простое кру­

Третья теория прочности оправдывается экспериментами на пластичных материалах с одинаковым сопротивлением растяжению и сжатию. Ее недостат­ ком является неучет роли второго главного напряжения ст2.

Так как для многих практически важных, как отмечено выше, случаев на­ гружения стержней, пластин, оболочек третье главное напряжение а 3 равно ну­

Выражение (1.35) существенно упрощает расчеты прочности как для хруп­ ких, так и для пластичных материалов.

Наиболее полный учет всех компонентов главных напряжений CJI > ст2 > а 3 и свойств пластичности конструкционных материалов достигается при использо­ вании четвертой теории (гипотезы) прочности - теории удельной потенциальной энергии формоизменения. Согласно этой теории опасное состояние (разрушение или текучесть) при объемном напряженном состоянии наступает тогда, когда максимальное значение удельной потенциальной энергии формоизменения £/тах

ОСНОВЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЧНОСТИ, ЖЕСТКОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ 23

достигает своего опасного значения Uon, устанавливаемого из опыта на простое растяжение

При соблюдении обобщенного закона Гука в форме (1.30) для объемного напряженного состояния

При простом растяжении <Т| = ст0„, а2 = а 3= 0 и

(1-38)

На основе (1.36)...(1.38) можно записать:

^экв - <?2)2 + (ст2 - а 3)2 + (а3 - ст,)2] < стШ|. (1.39)

Из сопоставления выражений (1.39) и (1.26) следует, что эквивалентное на­ пряжение по четвертой (энергетической) теории прочности совпадает с интен­ сивностью напряжений ст,. Четвертая теория хорошо описывает результаты экс­ периментов для большой группы изотропных пластичных конструкционных ма­ териалов и широко используется в оценках прочности.

Если принять для большого числа практически важных случаев величины напряжений ст2 < сть стз < -0,1ст| и р = 0,3, то на основе (1.28), (1.31), (1.34) и (1.39) можно получить различие в эквивалентных напряжениях стэкв по различым теориям прочности, отнесенных к первому главному напряжению CTi (табл. 1.1)

Из данных табл. 1.1. видно, что отличие результатов расчета прочности по третьей и четвертой теории отличается от результатов расчета по первой не бо­ лее, чем на 5... 10 %.

Для конструкционных материалов, различающихся по сопротивлению рас­ тяжению и сжатию, по коэффициенту Пуассона в области растяжения и сжатия предложено достаточно большое число новых или модифицированных гипотез прочности. При этом за исходное основное принимается выражение (1.39), в ко­ торое вводятся поправки на относительное различие модулей упругости при растя­ жении Ер и сжатии Ес, пределов текучести (или прочности) при растяжении стТр (или стВр) и сжатии стТс (или стВс), а также коэффициентов Пуансона цр и рс.

24Глава 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОЧНОСТИ

1.1.4.Выбор критериев прочности, обоснование запасов

Всоответствии с рис. 1.1. третьей базовой задачей фундаментальной про­ блемы прочности является задача III - обоснование запасов ла, /?кр, пе и допус­ каемых напряжений [а], [ст]кр и деформаций [е] в выражениях (1.2), (1.6), (1.7).

На первых этапах исследований прочности вплоть до XIX в. в качестве ба­ зового принималось положение о том, чтобы не допустить в конструкциях раз­ рушения при достижении критических нагрузок PK(NK, М1|К, Мк). Это связано с тем, что в то время в качестве конструкционных материалов активно применя­ лись сравнительно хрупкие материалы (камень, кирпич, стекло, чугун, бронза). На диаграммах деформирования (рис. 1.3), связывающих обобщенные усилия Р (осевые растягивающие или сжимающие усилия N, изгибающие Мн или крутя­

щие Мкмоменты) и обобщенные деформации А/ (осевые деформации е, прогибы /, углы закручивания (р), это отражается зависимостью /, близкой к линейной до точки разрушения К. При разрушении обобщенная остаточная деформация Д/к существенно меньше предельной разрушающей деформации А/р.

Поэтому при расчетах прочности несущих элементов приемлемо использо­ вать ряд базовых допущений:

- считать поведение материалов упругим при нагрузках Р, меньших экс­ плуатационных нагрузок Рэ, что обеспечивает применимость основных выраже­ ний сопротивления материалов (1.8)—(1.27);

Рис. 1.3. Диаграммы деформирования малопластичиых (/), вязких (2) и хрупких (3) материалов

ОСНОВЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЧНОСТИ, ЖЕСТКОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ 25

Рис. 1.4. Состав решаемых фундаментальных задач прочности

-считать критерием разрушения достижение в наиболее нагруженной точке опасного поперечного сечения критического напряжения стк, равного пределу прочности <Тв, что обеспечивает применимость гипотез прочности (1.28)—(1.39);

-считать, что разрушение или потеря устойчивости происходят мгновенно,

ипоэтому не требуется введение в расчет временного фактора;

- считать малость величин остаточных деформаций Д/к« Д/р опасным фак­ тором разрушения, что требует значительного снижения нагрузок F по сравне­ нию с Рки введения повышенных запасов прочности па и пс;

- считать, что материал несущего элемента является сплошным и поэтому не предполагается наличие в нем макродефектов.

На этой основе обобщенное условие прочности можно записать в виде:

1,с^}<[с]= -2*-= .2в. (1.40)

о{стэквэкв’,>-'экв>'-'эки’

Ввыражении (1.40) в соответствии с рис. 1.1 фундаментальными научными вопросами являются (рис. 1.4):

-решение в линейной постановке краевых задач, связывающих эксплуата­

ционные напряжения а’ в наиболее нагруженных элементах (см. рис. 1.2), сече­ ниях (F, z) и точках (х, у):

- получение диаграмм деформирования и их аналитическая запись, назы­ ваемая уравнением состояния, связывающим напряжение а и деформации е для наиболее нагруженной точки:

- выбор критериальной величины напряжений а к и деформаций ек, соответ­ ствующих достижению опасного состояния (разрушения):

26Глава 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОЧНОСТИ

-обоснованное назначение запасов прочности па и деформативности пе и определение допустимых напряжений и деформаций:

Как отмечалось выше, запасы па учитывают неточности расчетов в связи с введением указанных ранее допущений, погрешности в задании обобщенных эксплуатационных нагрузок Р\ опасность наступления хрупких разрушений для материалов с диаграммой деформирования 1 (см. рис. 1.3). Запасы 1 < па< пс по мере накопления практического опыта их применения, уточнения расчетов на­ пряженно-деформированного состояния и введения автоматизированных систем поддержания эксплуатационных нагрузок Рэ к настоящему времени снижены до 1,2... 1,7 от исходных 5... 10 к началу XIX в.

Так как с развитием в XIX в. железнодорожного транспорта, мостостроения, судостроения, технологического и энергетического оборудования широкое при­ менение стали находить конструкционные стали с повышенной пластичностью (диаграмма деформирования 2 на рис. 1.3), то в расчетах прочности стало учи­ тываться новое предельное состояние - образование повышенных пластических деформаций и формоизменение несущих элементов при достижении предела текучести ат. Тогда выражение (1.44) примет вид:

Для пластических материалов с базовыми характеристиками прочности стт и Ств и пластичности ет и еа необходимо, чтобы запасы па и пе приобрели различие:

В соответствии с рис. 1.3 и выражениями (1.44), (1.45) и (1.46) для запасов па и педолжны выполняться неравенства:

для которых важное значение имеет отношение стт /сгв, характеризующее уп­

рочнение материала в упругопластической области.

Для сжимаемых стержней, оболочек наряду с предельными состояниями, характеризующими образование пластических деформаций при a = a T или раз­ рушение при a = <тк = ств, возможно новое предельное состояние - потеря устой­ чивости по выражению (1.7):

ОСНОВЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЧНОСТИ, ЖЕСТКОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ 27

Рис. 1.5. Решение задачи прочности, жесткости и устойчивости

при конструировании и эксплуатации

Это обстоятельство отражено на рис. 1.3 диаграммой 3. По аналогии с (1.46) для случая потери устойчивости

Общий диапазон запасов по соотношениям (1.47) и (1.50) к началу XX в. был около 2,5...4, а в настоящее время он уменьшился до 1,1...2,6.

На базе условий прочности, жесткости и устойчивости (1.40)...(1.49) как в прошлом, так и в настоящее время решаются следующие обобщенные прямые и обратные задачи (рис. 1.5):

- выбор при конструировании основных размеров сечений (F, Wy/, S, /) по известным обобщенным эксплуатационным нагрузкам P\N, Q, М) и допускае­ мым напряжениям [а] для заданного материала (стт, суп, па) с использованием выражений (1.8)-( 1.27):

- выбор при конструировании материалов несущих элементов (aT, a R) при заданных нагрузках P\N, Q, М), размерах несущих сечений (F, W, /, S, I) и запа­ сах прочности па на основе (1.8)—(1.27), (1.40), (1.44)—(1.49):

- проверка прочности, жесткости и устойчивости на стадии эксплуатации или пуска в эксплуатацию при известных эксплуатационных нагрузках P\N, О, А/), размерах сечений (F, W, I, S, I) и выбранных материалах (ат, ов) на основе (1.44)-(1.46), (1.48):

28Глава 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОЧНОСТИ

-оценка при конструировании или эксплуатации предельных разрушающих (критических) нагрузок Ркэ по известным размерам сечений (F, W, /, S, /), допус­ каемым напряжениям [а] и запасам па по (1.8)—(1.15), (1.21)—(1.24), (1.27):

1.2.НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА

1.2.1.Оценка ресурса при циклическом нагружении

Изложенные в п. 1.1 методы и критерии расчетно-экспериментального оп­ ределения прочности, жесткости и живучести с использованием допускаемых напряжений [а], запасов прочности /7а(/?т, ив) по характеристикам кратковре­ менных стандартизованных механических свойств (стт, ^в) оказывались недоста­ точными для обоснования несущей способности. При таком определении в рас­ четах по всей системе выражений (1.1)—(1.54) в явном виде не учитывались та­ кие важнейшие эксплуатационные параметры, как время нагружения т \ темпе­ ратура /\ число циклов If, а также конструкторские решения (абсолютные раз­ меры сечений F\ концентрация напряжений а ст, объемность напряженного со­ стояния /), виды конструкционных материалов КМ, их обработка, комплексы механических свойств (определяемых всей диаграммой деформирования о-е), агрессивные воздействия окружающей среды (3 (коррозия, эрозия), динамично­ сти нагружения d и др.

Наиболее простым путем преодоления возникших сложностей в рамках сложившихся к началу XX века подходов (см. п.1.1) могло стать введение по предложению И.А. Одинга [247] дифференцированных запасов прочности па:

Изначально функционал F,, в (1.55) был записан в виде произведения ука­ занных запасов. К концу 40-х гг. прошлого века число таких дифференцирован­ ных запасов по (1.55) увеличилось до 10. Расчеты прочности по дифференциро­ ванным коэффициентам запаса стали отражаться в нормах Котлонадзора (СССР), Американского общества инженеров-механиков (ASME - США), Гер­ манского союза инженеров (VDI - Германия).

Однако возможности такого развития нормативных методов расчета на прочность по мере снижения запасов п0 до 2,5...3,5 быстро исчерпывались. При величинах запасов ит и щ на уровне 1,5...2,5 другие дифференцированные запа­ сы по выражению (1.55) должны были определяться или задаваться с погрешно­ стью не более 0,1 ...0,15. Это входило в противоречие с максимально возможной точностью решения всех задач, отраженных на рис. 1.1,1.4,1.5.

Перед Второй мировой войной стал применяться новый подход, основан­ ный на прямой расчетной оценке долговечности - ресурса - в первую очередь при циклическом нагружении (с параметром ресурса, определяемым через число циклов N0 нагружения до образования трещин циклического разрушения). При циклическом нагружении изменялся механизм разрушения. В отличие от одно­

кратного статического нагружения при N{)= 1 (с образованием пластических де­ формаций и шейки) в образцах при No> 10э возникали и распространялись тре­ щины усталости с последующим вязким или хрупким доломом. Для большого числа конструкционных металлов (сплавы на основе железа, меди, алюминия, никеля, вольфрама и др.), начиная с первых опытов К. Веллера в конце XIX в., в дополнение к кривым деформирования с-е (кривая 2 на рис. 1.3) были получены кривые усталости a„-/V0. Разрушающие амплитуды напряжений ся при N0> 105 были меньше не только предела прочности а в, но и предела текучести а т. Это обстоятельство являлось причиной усталостных разрушений несущих элементов железнодорожного и автомобильного транспорта, станков, мостов при напряже­ ниях ст’ < [о], установленных по критериям статической прочности при числах

циклов Np (см. п. 1.1). Кривые усталости обычно строились в двойных лога­

рифмических координатах (рис. 1.6) и до настоящего времени во многих случаях аппроксимируются степенными уравнениями типа

(1.56)

где те, Сн - характеристики материала и формы цикла нагружения.

Величина показателя степени те (0,06 < те < 0,25) зависит от отношения предела текучести ат к пределу прочности сгв, a C/V- от предела прочности а в и пластичности vj/K.

Для большой группы конструкционных сталей (с пределом прочности ств до 700 МПа) после базового числа циклов N6 снижение разрушающих амплитуд практически не происходит, что позволило ввести в расчетный анализ цикличе­ ской прочности новую характеристику механических свойств - предел выносли­ вости ст_1 при симметричном цикле (обычно ст_| < G J< ств).

о

Од=const

Рис. 1.6. Кривая усталости для конструкционной стали при

симметричном цикле напряжении о а

Принятие такой формы кривой усталости существенно упростило расчеты при циклическом нагружении. Их существо сохранилось таким же, как и при однократном статическом нагружении (см. п. 1.1). Вместо выражений (1.2),

(1.44), (1.46), (1.48) можно записать при замене стэ на а*

где и_1- запас по пределу выносливости (1 < /7_i < 2).

Выполнение условия (1.57) позволяет исключить в эксплуатации (при

Из соотношений (1.57) и (1.58) следует, что наряду с запасом л_i по ампли­ тудам напряжений можно использовать запас по ресурсу (долговечности):

"о

«лг=(«-1)1/"''. (1.60)

Запасы nNвыбираются в пределах 3...20.

В общем случае между всеми рассмотренными запасами по напряжениям и ресурсу с учетом (1.47) и (1.60) выполняется соотношение

1.2.2.Оценка ресурса при длительном нагружении

Повышение температур t может вызвать снижение не только характеристик кратковременной статической прочности с4 и OQ, но и изменение характери­ стик пластичности \|/к:

где стто, сгво,\|/к0 - характеристики механических свойств при комнатной тем­ пературе t0= 20 °С. Функционал F, имеет экспоненциальный вид.