книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

когда отношение частот иррационально, ось симметрии под­ ходит сколь угодно близко к вертикали, и в эти моменты функции ip(t) и ip{t) изменяются скачкообразно. С аналогичной трудностью встретились в свое время в небесной механике при решении задачи Лагранжа о среднем движении перигелиев планет [17, 63]. Идея исследования особенностей собственного вращения и движения линии узлов, проведенного в этой главе, восходит к П.Болю [68] и Г. Вейлю [63], вычислившим главное движение в задаче Лагранжа.

Исследования Л.И.Сретенского были продолжены Ю.А.Ар­ хангельским [69], рассмотревшим быстрое вращение тела в случае, когда Iiv2 < 4/|. Из результатов Ю. А. Архангель­ ского вытекает, в частности, что в первом приближении ли­ ния узлов совершает ограниченные колебания. Этот факт со­ гласуется с заключением теоремы 4.

Работа А. И. Докшевича [70] посвящена анализу измене­ ния специальных переменных, введенных Чаплыгиным для ин­ тегрирования уравнений движения. В ней же исследована би­ фуркация корней «характеристического» многочлена Ф(^).

Такое сведение можно сделать, например, в задаче С. В. Кова­ левской, в задаче двух центров, в системах Лиувилля (гл. IX). Приведение системы дифференциальных, уравнений (1) к ви­ ду ф\ = u>i, ф2 = ш2, и)2 = const, выполненное в § 1, факти­ чески является эффективным способом введения переменных «угол».

Укажем еще на работу Г. В. Горра [72], в которой дана ка­ чественная картина вращения тела в некоторых вырожден­ ных случаях, когда первые интегралы зависимы.

Глава V III

Финальные свойства интегралов от квазипериодических функций

Пусть Т™ — n-мерный тор с угловыми координатами у = = (уч, ... , ipn) mod 1. Рассмотрим квазипериодическое дви­ жение на Т ":

u>i, ... , и>п независимы над полем рациональных чисел. Пусть /(<£>) — непрерывная функция на Т ” . Рассмотрим интеграл от / вдоль траектории этого квазипериодического движения:

В гл. VIII рассматривается поведение Ф(£, <р°) как функции времени в зависимости от начальных фаз <р° = {ц>\, ... , ). Задача исследования интеграла I(t, <р°) часто встречается при качественном анализе динамических систем. Как было пока­ зано в гл. VII, исследование движения линии узлов в случае Горячева-Чаплыгина сводится к частному случаю этой зада­ чи, когда п = 2.

при т —> оо. Обозначим через Ли Аш фазовые средние функ­ ций / и Рт. По лемме 1 существуют начальные фазы при которых

<

Im(t, <р°т) = JP m {ut + <p°m)dt ^ Amt Amt) Vi G R

о

и Рт(<Рт) = Ат - Так как Т ” — компакт, то из последова­ тельности ip^ (т = 1, 2, . . . ) можно выбрать подпоследова­ тельность ip°mh (к = 1, 2, ...), сходящуюся к некоторой точке <р° G Т ” . При фиксированном i G R

Покажем, что теорема 1 справедлива и в том случае, когда частоты u>i, ... , шп соизмеримы. Более точно, имеет место

П ре д л о ж е н и е 1. Если частоты LJI, шп рационально зависимы, то существуют по крайней мере две точки <р° G Т " такие, что

I(t, <р°) — Ai > 0 0) Vi G R

н /(У 0) = А.

Для доказательства нам потребуется

Л ем м а 2. Если наибольший общий делитель целых чисел к±, ... , kn равен 1, то существует унимодулярная матрица S порядка п с целочисленными элементами такая, что одна из ее строк есть к = (ki, ... , кп).

Для доказательства рассмотрим одномерную подгруп­ пу Н группы Z™, порожденную точкой к. Существует сво­ бодная система п точек оц, ... , ап, порождающая Z ” , такая,

что Ъап = к, где Ъ— инвариантный множитель Н относи­ тельно Z” — некоторое целое число [74, гл. VII, § 4]. Так как н.о.д. целых чисел к\, ... , кп равен 1, то, очевидно, b = ±1 и к = ±qn. Точки di образуют базис Z” , следовательно,

а,ц ••• din

= 1,

dni ... dnn

где Oi = (ал .. .din). Утверждение доказано.

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае п = 2 заключение леммы вытекает так­ же из «тождества Везу» [74, гл. VII]: н.о.д. (fci, hi) = 1 тогда и толь­ ко тогда, когда существуют целые числа mi и шг такие, что mifci + + шгЬ = 1 .

Доказательство предложения 1.

Пусть частоты связаны линейным соотношением

kiUi + ... + кпип = 0; ki £ Z; i = 1, ... , п

и 2 |&«| Ф 0- Без ущерба общности можно считать, что i

н.о.д.(&1, ... ,к п) = 1.

Рассмотрим линейное взаимно-однозначное отображение Т п на себя, задаваемое унимодулярной матрицей S с целыми эле­ ментами:

где s„i = ki, ... , snn = kn. Переменные фу, ... , фп mod 1 — новые угловые координаты на Тп. В этих переменных

Будем считать, что det 5 = 1 (если det S = —1, то в матрице S можно переставить местами строки).

По формуле замены переменных в кратных интегралах

Оо

непрерывна на Т г{х mod 1} и

J1J(x)dx = А.

о

Следовательно, существуют по крайней мере два значения «/>° такие, что Jfyn) = А. Другими словами, существуют два тора

Т " - 1 = {(</>!, • • • , Фп) € т п : фп = ф°п} С Т "

Если частоты Oi, ... , 0„_i несоизмеримы, то справедли­ вость предложения вытекает из теоремы 1. Если же П1? ... , Hn_i соизмеримы, то эту операцию можно проделать еще раз.

§2. Теорема о возвращении

Вэтом и следующем параграфах исследуется простейший нетривиальный случай, когда п = 2. Интеграл I(t, <р°) запи­ шется следующим образом:

I(t, <Pi,<P°) = j<f(u it + ipl,u>2t + (p%)dt.

0

Без ущерба общности можно считать, что Л = / = 0, так как общий случай сводится к этому, если ввести функцию

g = / - А.

Пуанкаре показал на примерах [75, 76], что в этом слу­ чае интеграл I(t) может стремиться к +оо или —оо (как ta, О < а < 1) и (самый интересный случай) быть неограничен­ ным, но бесконечно много раз подходить сколь угодно близ­ ко к своему начальному значению (т.е. к нулю). В связи с этим естественно поставить вопрос о нахождении условий, при которых будет иметь место возвращаемость интеграла I(t) (устойчивость по Пуассону). Первый шаг в его решении — исследование дискретного аналога этой задачи, которое позво­ лит установить, что возвращаемость имеет место, если функ­ ция / дважды непрерывно дифференцируема.

Предположим, что на окружности S 1{.х mod 1} задана не­ прерывная функция /(ж). Пусть а — некоторое иррациональ­ ное число. Составим сумму

N - 1

SN (<X, <р)^2 f( l a + (p), (p e S 1. i=О

Если

1

7 = J f(x)d x > 0 (< 0)

о

то, очевидно, сумма 5jv(a, ф) —>•+оо (—сю) при N —> оо рав­

180 Глава 8

Доказательство леммы 4.

Существует целое т такое, что - 1 /2 ^ па — т < 1/2.

Так как |па — т\ = и 1/2, то шпси ^ 2v и, следовательно,

k=0 —oo

(2.3)

Согласно леммам 3 и 4 тригонометрический ряд

А 2ттпх

Х - дgi2irn(x _ ^

равномерно сходится и является рядом Фурье некоторой не­ прерывной функции F(x) (х 6 S1). Учитывая (2.3), получим, что

Лемма 6. Пусть a G К\ и \па — т\ < п~3/2 (п > 0).

Тогда

М2 = max |/"(у)|.