книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике
..pdf2.1. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру |
51 |
Так же, как и в главе 1, мы будем выбирать наилучший параметраргумент локально, т.е. в малой окрестности каждой точки кривой множества решений, которая является интегральной кривой задачи (2.1).
Для решения этой проблемы считаем од и t такими функциями некоторого аргумента р, что в каждой точке интегральной кривой задачи
dp = он dyt + a n+i <tt, i = !7n. |
(2.3) |
Здесь a* (k = l , n + l ) — компоненты единичного вектора |
a = |
( a | , . . . , a n+i)T, задающего направление, в котором отсчитывается аргу мент р. Напоминаем, что в выражении (2.3) предполагается суммирова ние по индексу».
Правую часть равенства (2.3) можно рассматривать как скаляр
ное произведение вектора а на дифференциал |
вектор-функции |
(dyi, . . . , dy„, dt)T. Придавая компонентам вектора а |
различные значе |
ния, можно рассмотреть все возможные параметры продолжения зада чи (2.2), а значит, и аргументы задачи (2.1).
Поскольку конкретный вид уравнений (2.2) нам неизвестен, то пере ход к аргументу р можно осуществить непосредственно для задачи (2.1). Сделав это и поделив равенство (2.3) на dp, получим
Vi,ft ~ |
fit,ft ~ |
a iVi,ft + a n +\t,ft — 1) |
t = |
1, Я. |
(2*4) |
Если ввести |
вектор |
у = (од,. . . , од,, t)T € |
Kn+1, |
то в |
матричной |
форме систему (2.4) можно записать в виде
Здесь матрица А размером n х (n + 1) имеет структуру
А = [Ef],
где Е — единичная матрица n -го порядка и / = ( /1, . . . , f„)T — вектор в К".
Структура системы (2.5) в точности совпадает со структурой системы (1.37). Поэтому, согласно теореме 1, переход к нормальной форме системы (2.5) будет наилучшим образом обусловлен тогда и только тогда, когда a = одл, т. е. когда в качестве параметра р выбирается длина дуги Л вдоль кривой множества решений системы (2.2), т.е. вдоль интегральной кривой задачи (2.1). Тогда система (2.5) может быть записана в виде
ОД,ЛСДа+ $ = 1, ОД,л - М л = 0, |
(2.6) |
что делает возможным ее аналитическое разрешение относительно про изводных. Поскольку аргумент Л не входит явно в уравнения, будем
52 |
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений |
его отсчитывать от начальной точки задачи Коши (2.1), тогда приходим к следующей формулировке задачи Коши [66]
d m |
fi |
2/i(0) = 2/.0, |
|
|
|
y / T + W i ' |
|
||
|
i j = l,n . |
(2.7) |
||
Ё. - |
1 |
|||
f(0) = f0, |
|
|||
d * ~ |
y /T + W i' |
|
|
В дальнейшем аргумент Л, доставляющий системе уравнений (2.5) наилучшую обусловленность, будем называть наилучшим аргументом, а преобразование задачи Коши (2.1) к задаче Коши (2.7) — А-преобра зованием.
Таким образом, доказан основной результат данной главы.
Теорема 2. Для того, чтобы задачу Коши для нормальной системы ОДУ (2.1) преобразовать к наилучшемуаргументу, необходимо и достаточно
вкачестве такового выбрать длину дуги, отсчитываемую вдоль ин тегральной кривой этой задачи. При этом задача (2.1) преобразуется
взадачу (2.7).
Вновь сформулированная задача Коши (2.7) обладает рядом дос тоинств по сравнению с задачей Коши (2.1). Так, правые части каждого уравнения (2.7) не превосходят еди ницы. Более того, квадратичная нор ма правой части системы всегда равна единице. Это снимает многие пробле мы, связанные с неограниченным ро стом правых частей системы (2.1), что позволяет интегрировать дифферен циальные уравнения, интегральные кривые которых содержат предель ные точки (точки А и В , рис. 2.1), производные в которых обращаются в бесконечность. Появляется возмож ность решать задачи, имеющие за мкнутые интегральные кривые (кри
вая 1, рис. 2.1). Как будет показано далее, предложенное преобразование ослабляет также трудности, характерные для жестких систем.
Заметим, что достоинства Л-преобразования не ограничиваются только вычислительным аспектом. Оно может с успехом использоваться и в качественной теории дифференциальных уравнений, осуществляя переход из пространства с неограниченными функциями, стоящими в правой части системы, в пространство, где они ограничены. Такой пе реход осуществляется в [52] при исследовании автономных систем ОДУ.
2.2. Некоторые свойства Л-преобразования |
53 |
Однако, нормировка, предложенная в [52], не изменяя фазового портрета системы, изменяет интегральную кривую задачи. Очевидно, что А-преоб- разование лишено такого недостатка. Наконец, леммы 2 и 3 утверждают, что при выборе наилучшего параметра в качестве аргумента квадратич ная погрешность, возникающая из-за возмущения элементов матрицы или правой части системы (2.5), принимает наименьшее значение. Это особенно важно при численном интегрировании нормальной систе мы ОДУ (2.7), которая получается из неявной системы (2.6), так как вычислительные погрешности в этом случае будут иметь наименьшее влияние на решение.
2.2. Некоторые свойства Л-преобразования
Прежде чем рассмотреть свойства полученного преобразования, за метим, что в том случае, когда функция, стоящая в правой части системы (2.1), может принимать комплексные значения, а искомое ре шение является действительным, преобразованная задача (2.7) примет вид
|
_ |
f i |
ViO, |
|
|
» (0) = |
|
d X |
y / l + f f ’ |
i = 17n, |
|
dt_ |
|
1 |
|
|
|
||
dX |
~ л/1 |
<(0)=*o, |
|
+ / / ’ |
|
где f — функция, комплексно-сопряженная к функции f .
Известно, что любая система ОДУ может быть записана в автоном ном виде
(2.8)
Исследуем устойчивость метода Эйлера на известном тестовом урав нении [87, 105, 29]
dx
= ах, |
(2.9) |
которое получается, если функцию, стоящую в правой части уравнения (2.8), представить в окрестности точки у = ут по формуле Тейлора f(y) = f(ym) + а(у - ут), где а = df(ym)/dy — некоторая, вообще говоря, комплексная константа, а функции х и у связаны зависимостью
X = |
(2.10) |
Здесь и далее используется обозначение }т = f(ym)-
54 Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
Отметим следующее обстоятельство: так как нас будут интересовать вещественные решения уравнений (2.8), (2.9), т.е. вещественные значе ния функций * и у, то из равенства (2.10) следует, что должна быть вещественной дробь / т /а.
Явная разностная схема метода Эйлера для уравнения (2.9) имеет
вид: |
|
xm+i = x m + htaxm = (l+ aht)xm. |
(2.11) |
Здесь ht — шаг интегрирования по переменной t. Как известно (см., например, [57]), эта схема будет абсолютно устойчивой, если
|1 + о /ц |< 1 или (1 + hta)2 + (hi/3)2 < 1, |
(2.12) |
где а = Re о, /3 = 1ш а — действительная и мнимая части о.
Таким образом, областью абсолютной устойчивости схемы (2.11) на плоскости hta, Нф является внутренность единичного круга с цент ром в точке ( - 1, 0), показанного на рис. 2.2, а.
Ад(/9cos(Зу>/2)—asin(3y>/2))
A,(acos(3y>/2)+/Jsin(3p/2))
Рис. 2.2.
Применяя к уравнению (2.8) Л-преобразование, получаем систему
_ |
Н у) |
_ |
1 |
(213) |
dx |
V 1+f(y)f(y)' dX |
|
V l + f(y)f(y) |
|
В этой системе двух уравнений решение второго уравнения опреде ляется решением первого. Поэтому рассмотрим только первое уравнение (2.13). Легко установить равенство afm = 5 / m , вытекающее из условия вещественности решений уравнений (2.8), (2.9). В самом деле, так как, согласно (2.10), функция / т /а-вещественная, то функции / т 3 = aafm/a и / т a = fmfma/fm — также вещественные. Но данные функции могут быть представлены в виде
f ma = (и + iv)(a - i/3) = ua + v/3 + i(va - up),
f ma = (w - iv)(a + ip) = ua + v@- i(va - up),
2.2. Некоторые свойства Л-преобразования |
55 |
где i — мнимая единица. Очевидно, что они будут вещественными, когда выполняется условие vat = u/J, но в этом случае имеет место равенство ®/га “ 8/ я ,
Линеаризуем правую часть первого уравнения системы (2.13) с по мощью формулы Тейлора в окрестности значения у = ут
Н у) |
- |
/» |
- - |
а |
(v v s |
\ / l + / (y)f(у) |
|
V 1 + fmfm |
(l+ /m jm )3/2 |
|
Тогда для новой функции
* = У ~ Ут + /т(1 + fmfrn)/а = * + /Д /т / а получим уравнение
5 1 = (1 + / т / т )3/2 *’ |
(2Л4) |
|||
Область абсолютной устойчивости явной схемы Эйлера для этого |
||||
уравнения определится неравенством |
|
|
||
1+ |
айд |
< 1. |
(2.15) |
|
(1 + /mjm)3^2 |
||||
|
|
|
||
Здесь h\ — шаг интегрирования по переменной А. Введем обозна |
||||
чение |
|
|
|
|
Р = 1 + fmfm ^ |
Ь |
|
||
Тогда неравенство (2.15) может быть приведено к виду |
|
(p3/2 + ahx)2 + (phx)2<(p3/2)2.
Таким образом, областью абсолютной устойчивости явной схемы Эйлера для уравнения (2.14) будет внутренность круга радиуса р3/2 с центром в точке ( -р 3/2, 0) (см. рис. 2.2,6).
Для большей наглядности рассмотрим случай действительного зна чения а и функции / т . Неравенства (2.12) и (2.15) тогда упрощаются и, учитывая, что области абсолютной устойчивости соответствует а < 0, их можно представить в виде
9 |
о/i 1_ / 2 \ 3/2 |
° < * < м * о < а* < |
<216> |
Отсюда видно, что применение A-преобразования расширяет об ласть абсолютной устойчивости явной схемы Эйлера.
Использование Л-преобразования имеет смысл в том случае, если мы сможем прийти из начальной точки -Ао(£о> Уо) интегральной кривой y(t) в конечную точку В (см. рис. 2.3) за меньшее число шагов, двигаясь
56 |
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений |
Рис. 2.3.
по параметру Л, чем при движении по параметру t. Другими словами, оно эффективно, если в каждой точке кривой y(t) выполняется неравенство
HxCosO^Ht, |
(2.17) |
где в — угол между касательной к кривой y(t) и осью t (рис. 2.3); Я(, Н\ — наименьшие шаги интегрирования по переменным t и А со ответственно, при которых итерационный процесс, описываемый явной формулой Эйлера, перестает сходиться. Если а — действительное число, то согласно (2.16) в точке Ат имеем
|
|
2(1 + /Д)3/2 |
|
|
|
#А = |
|
Так как |
|
|
|
cos в = 1+ |
|
= |
( 1 + / т Г ' /2) |
то получаем |
|
|
|
Н\ cos в |
1. |
||
|
Н, |
1 + / т > |
|
|
|
|
Это доказывает неравенство (2.17) и, следовательно, эффективность Л-преобразования для задачи (2.9).
Изучим теперь влияние Л-преобразования на устойчивость неявной схемы метода Эйлера. Для уравнения (2.9) она имеет вид
х т + 1 — х т +
1 = *m(l ~ h ,a ) 1.
Решение будет абсолютно устойчивым при выполнении условия
|(1 - ft(o)_1| < 1 или |1 - Л /а |> 1 .
Таким образом, на плоскости hta, ht/3 областью устойчивости будет внешность круга единичного радиуса с центром в точке (1,0) (рис. 2.4, а).
2.2. Некоторые свойства Л-преобразования |
57 |
Для уравнения (2.14) область устойчивости неявной схемы Эйлера определится неравенством
айд
(l + /m/m)3/2 > 1,
которое может быть преобразовано к виду
(/>3 /2 - « Л д) 2+ (Д Л д )2 > ( р 3/2) 2.
и определяет внешность круга радиуса р3/2 с центром в точке (р3/2, 0) (рис. 2.4,6).
Если а и функция f m — действительные числа, то неустойчивость неявной схемы Эйлера может возникнуть только при в > 0, и область неустойчивости для уравнений (2.9) и (2.14) определится неравенствами
а а
Таким образом, А-преобразование увеличивает область устойчивости явной и область неустойчивости неявной схемы Эйлера.
Отметим, что несмотря на уменьшение области устойчивости не явной схемы, она остается как Л-устойчивой в терминологии Далквиста [87], так и жесткоустойчивой в смысле Гира [93].
Исследуем теперь, как А-преобразование влияет на спектральные характеристики системы двух дифференциальных уравнений
<*1И |
- , V |
|
= Л Ы - |
(2. 18) |
||
ц |
= / |( »|). |
<и |
||||
|
||||||
Линеаризуем функции, стоящие в |
правой части системы (2.18), |
|||||
в окрестности значений yi = у\т, уг = Угт‘ |
|
|||||
f l ( y i ) = f l m + |
« l(y i - У1т), |
/ г ( й ) = /2m + <П(Уг |
~ У 2т ), |
|||
где f l m = / | (j/lm)> / 2т |
= |
f l i S l m ) , «I |
= d f i ( y i m ) / d y y , a2 = |
Й/г(У2т)М/2- |
58 Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений
Если ввести новые независимые переменные Ж|, * 2 по формулам
*1 = |
У| — У1т "Ь /|го/® Ь *2 = Й " |
У2т + /2т/®2» |
|
то получаем следующую тестовую систему двух уравнений |
|||
|
^ |
= а,а:ь |
(2Л9) |
Ясно, что, |
вообще |
говоря, комплексные |
числа «|, аг являются |
собственными значениями этой системы. После применения А-преобра- зования к уравнениям (2.18) получаем следующую систему
dy\ _ _h_ |
<}Уг _ |
_Л_ |
__ 1 |
|
dA д/Q ’ |
dA |
y/Q ' dA |
y/Q ’ |
(2.20) |
Q = 1 + / l / l + / 2 / 2 -
Определяющими здесь являются первые два уравнения, так как правая часть последнего уравнения является следствием первых двух. Рассмотрим поведение системы в малой окрестности точки (yim, у2т, tm) на интегральной кривой, соответствующей значению А = Ат . Тогда, сохраняя только линейную часть в разложениях по формуле Тейло ра функций, стоящих в правых частях уравнений, получаем следую щие соотношения, характеризующие поведение системы (2.20) в малой окрестности ТОЧКИ (У|т ,У 2 т,* т)
dyI _ |
f\m |
® |Q JlmJlm) |
(У1 - |
УХm) ~ a2fXmJlv (У2 ~ У1т), |
|||
dA “ |
QW + |
Q3/2 |
|
|
Q3/2 |
|
|
dy2 |
Jim |
a\flmf\ |
/ |
\ |
, |
®2(1 "1 fXmfxm}, |
i |
dA ” |
Q'/2 “ |
QV2 |
(УХ ~ УХm) + |
------ дЩ-------” |
У2го)> |
||
При выводе этих соотношений использовались равенства |
|||||||
|
|
/lm®l = |
a l/lm> |
/2т®2 = a l J l m i |
|
вытекающие из вещественности функций yi, У2, £ 1, £2-
Последняя система линейных неоднородных ОДУ может быть пре образована к однородной системе, если ввести новые функции
* = У.-Н.-, * = 1 ,2 ,
где числа 6,- являются действительными корнями системы линейных алгебраических уравнений
« 11*1 + ® 12$2 = &!, «21*1 + «22*2 = *2,
2.2. Некоторые свойства Л-преобразования |
59 |
||||
коэффициенты которой вычисляются по формулам |
|
||||
«И = « l(l +/2m /2m ). |
®12 = -«г/ы /гш , |
|
|||
®21 = —«1f 2тFirm |
«22 = «2(1 + |
(2.21) |
|||
|
fXmQ ~ вЩМго “ « 12У2тj |
|
= fomQ ~ «2l/lm “ |
||
&1 = |
h |
<*22У2т- |
|||
Тогда |
в |
некоторой окрестности |
точки (у\т, y im, t m) |
первые два |
|
уравнения системы ОДУ (2.20) можно представить в вице |
|
||||
|
dzt |
d i2 |
(2 2 2 ) |
||
|
— |
= д (вц 2 | + « 1 2 *2), |
|
= fl(«2 l*l + «2 2*2). |
где q = < r 3/2.
Спектр собственных значений системы (2.22) состоит из корней
характеристического уравнения |
|
«11 — |
«12 |
® |
г = 0, |
«21 ®22 - -
которые вычисляются по формулам
*"1,2 —|(<*11 +«22±\/(в 11 - e22)2 + 4«i2«2l )-
Введем параметр е = «2 / « i , тогда
q |
( |
, / |
\ / 1 1 |
^aXa2fXmfxmf2mfln |
|
г.,2 = 5 |
I «,, + е д ± («,, - «22>у 1+ |
( а и _ ои)2 |
|||
/ |
|
|
|
|
|
«11 + «22 ±(«11 “ «22) |
1 + £ |
|
|
||
V |
|
|
|
N |
|
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
1 |
£2 |
|
_ /lm/lm _ |
£2 |
е, = |
ilmllm |
Ilmjlm |
®1 |
||
|
Jxmfxm |
|
60 |
Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений |
|
тогда |
|
|
П,2 = j |
, |
47 |
«11 +«22 ± («11 ” «22) 1 + £ |
2 |
Пусть |в|| > |аг|, т.е. величина е мала по модулю, а величины ej, €2, 7 являются конечными числами, тогда справедливы следующие оценки
|
Г, Я 9<ч(1 + /2m/2m) |
|
’ |
||
|
Г2««•>(> + /ш Гш ) ( | - |
|
( | + „ y i + f t ) ) • |
||
Оценим влияние Л-преобразования на спектральное число обуслов- |
|||||
.. |
Irmaxl |
|
|
|
|
ленности К = г----- |
|
|
|
|
|
|
Fminl |
|
|
|
|
Для непреобразованной системы |
|
(2.19) оно равно Kt = |
|||
|
|
|
|
|
1*21 |
Для преобразованной системы (2.22) имеет место равенство |
|||||
тг _ Ы |
|
( |
|
\ |
|
Kt |
1 + f 2 m f i n |
|
1 |
||
Л |
|г2| |
1 + f l m f l t r |
|
||
|
1 |
||||
|
|
|
|
- |
(1 +£i)(l + £ 2)
Другой важной спектральной характеристикой является размах спек тра S = тах|г, - г ; |. Если для системы (2.19) размах равен St = |aj -аг1,
то для системы (2.22) он равен
1
5 Л = |Г1 - Г2 1 Я 9 5 (1 ^ —-^(1 + f 2 m f 2 m ) r - у ^ ( 1 + /lm /lm ) l «
& qSt{1 + hmhm)-
Таким образом, спектральное число обусловленности может изме няться по-разному, а размах спектра всегда уменьшается.
Используем теперь результаты работы Брауэра [76] и Гершгорина [15] для оценки собственных значений матрицы системы (2.22), когда 1<Ч I > 1«2|. но не обязательно |a| | > [02IБрауэр показал, что наибольшее собственное значение Грмх должно удовлетворять условию
kmaxl < тт(Д ,Г ),