книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

Начальное состояние оболочки задано соотношениями (4.6.2) при Р =0. Это состояние определяет начальные значения 2 0, Т0 вектор-функций 2 и Г при X = 0, необходимые для интегрирования задачи Коши для уравнений (4.6.8):

Так же, как и для арок (§4.3), для интегрирования уравнений непрерыв­ ного продолжения (4.6.9) при проведении конкретных расчетов применял­ ся алгоритм модифицированного метода Эйлера (3.4.14)-(3.4.26).

Для упрощения формы уравнений дискретного продолжения введем обозначения, аналогичные использованным ранее для арок (4.3.13). При X = А* искомые функции текущего (/ + 1)-го приближения обозначим строчными буквами, а известные функции предыдущего /-го приближе­ ния —прописными:

(4.6.19)

В этих обозначениях уравнения дискретного продолжения, аналогичные уравнениям (3.2.6), (3.2.7), примут вид

г' = Ьг (2, Т, Р)х + Ьг (2, Т,Р)Г + рЬр (2, Г, Р) +

Здесь матрицы Ь г , Ь {, Ьр,Ь совпадают с выписанными выше. В расчетах с использованием этих уравнений реализован алгоритм (3.4.27) -(3.4,37).

При этом коэффициент выбирался по выражениям (3.4.32). Иными словами, для оболочки использован алгоритм, который во всех сущест­ венных моментах повторял алгоритм для арки (§4.3). При этом, конечно, учитывалось, что изменяемость решений для оболочек существенно выше.

чем для арок, что потребовало увеличения числа точек промежуточной ортогоналиэации фундаментальных решений при прогонке.

Рассматривалась панель в виде половины кругового тора с толщиной оболочки И, радиусом образующей окружности Я и расстоянием от оси тора до центра образующей окружности Я0. Панель нагружена наружным давлением ц, безразмерный параметр Р которого в соответствии с форму­ лами (4.5.22) определяется выражением

Просматривались различные условия закрепления краев панели при <р0 =

и<р =1т.При <р=<ро они имеют вид:

1.Шарнирное закрепление

3. Условие симметрии деформирования относительно плоскости симмет­ рии тора:

Результаты расчетов для полуторовой панели не зависели от условий за­ крепления, так как основная деформация происходила в вершине тора, которая далека от краев, закрепленных в зоне наиболее сильного затуха­ ния типа краевого эффекта. Различие в величинах прогиба IV0 в вершине тора при разных условиях закрепления не превышало 0,1 %.

Были просчитаны оболочки с Я/И = 100, 200, 300 при с! = Я0[Я = 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5. На рис. 4.32, 4.33 показаны зависимости безразмерного давления Р от относительного прогиба в вершине тора И'0 1Я. Здесь же показана последовательность деформированных форм вершины тора,

а=1,5

соответствующая пронумерованным на кривых Р(Ш0/К) точкам. На рис. 4.34-4.36 даны кривые Р(М01Я) для различных Л/Л и</ = Л„/Л. На рис. 437 показаны величины критических давлений Ркр, соответствующие максимальным давлениям на кривых Р (Й'о/Л) в зависимости от парамет­ ра 6 для различных Л/Л. Штриховая кривая соответствует результатам приведенным в работе [341] для осесимметричной потери устой­ чивости. Некоторое различие можно объяснить тем, что в этой работе использованы нелинейные уравнения в квадратичном приближении, кото­ рые менее точны по сравнению с принятыми здесь.

В этой же статье обсуждается поведение оболочки вблизи критичес­ кой точки, которая считается точкой бифуркации. Следует отметить, что докритическое осесимметричное напряженно-деформированное состояние тора с самого начала является моментным в окрестности вершин, где ме­ няет знак гауссова кривизна. Поэтому в вершине тора с ростом давления

а =1,5

постепенно развивается вмятина. Этот процесс показан на рнс. 4.38, где приведены кривые нормального прогиба №(<р)1 Н в окрестности вершины тора для последовательно возрастающих давлении. Значения давлений, соответствующие этим кривым, приведены в таблице. Причем предель­ ное давление Рки для этого случая равно 2,52. Таким образом, реальная

потеря устойчивости тора при осесимметричной деформации происходит путем перехода через предельную точку. В то же время если докритическое состояние определяется приближенно, то вблизи Рк р на кривой дефор­ мирования Р(И/0/Л) (кривые I, 2 на рис. 4.39) может появиться точка бифуркации, которой соответствует Рбиф* Тогда по отношению к такому решению точная кривая деформирования (3 на рис. 4.39) может быть рас­ смотрена как траектория особым образом возмущенного решения.

Неосесимметричная потеря устойчивости здесь не рассматривается. Но, как показало исследование, в широком диапазоне реальных параметров горообразных оболочек неосесимметричной потере устойчивости соответ­ ствуют более высокие критические давления.

Г Л А В А 5

МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, ФОРМА КОТОРЫХ ОТОБРАЖАЕТСЯ НА КАНОНИЧЕСКУЮ

Задачи о собственных колебаниях и устойчивости для мембран, пластин и оболочек, имеющих в плане неканоническую форму (параллелограмм,

При решении методом возмущений неканоническая область должна быть близка к канонической (прямоугольник, круг и тл.). Тогда решение строится в виде разложения в ряды Тейлора по степеням параметра, харак­ теризующего отклонение неканонической области от канонической. Как правило, удается построить такие ряды только до второй степени парамет­ ра. Попытки использовать более высокие приближения приводят обычно к громоздким выкладкам. В § 5.5 такие трудности удалось преодолеть, но построенное там решение оказалось практически нереализуемым из-за плохой сходимости рядов.

В то же время при наличии преобразования, отображающего неканони­ ческую область на каноническую, метод продолжения по параметру позво­ ляет получить решение при сильном отклонении неканонической области от канонической. Ниже рассматривается обобщенная формулировка этого метода в задачах на собственные значения для эллиптических уравнений, к которым приводятся задачи о собственных колебаниях и устойчивости пластин и оболочек.

Известно, что для ширнирно-опертых пластин и пологих сферических панелей (однородных или трехслойных) существует мембранная аналогия, позволяющая свести задачи их собственных колебаний и некоторые за­ дачи устойчивости к задаче о колебаниях мембран такой же формы в плане.

Поэтому подробно рассмотрены задачи для параллелограммной и трапе­ циевидной в плане мембран. А в § 5.4приведены формулы мембранной аналогии.

В § 5.5. решение построено методом возмущений и проведено ею иссле­ дование и сравнение с методом продолжения.

5.1. О бщ ая ф о р м у л и р о в ка м етода п родолж ени я п о п арам етру в задачах н а собственны е значения

Пусть на координатной плоскости х, у задано однопараметрическое мно­ жество М неканонических областей V с границами Г (X), форма которых непрерывно зависит от параметра X. Пусть также имеется невырожденное преобразование

формы с границей Г0 на плоскости $, 77. Пусть также преобразование

Ниже примем Х0 = 0, что, конечно, не ограничивает общности.

Рассмотрим задачу на собственные значения для линейного оператора

условия на контуре Г (X) области Д

С помощью преобразования (5.1.1) задача (5.1.3) сводится к следующей

часто используется метод возмущений в форме Рэлея —Шредингера [410, 464]. Процедура этого метода состоит в разложении собственной функции Й/ и собственного значения Л в ряды Тейлора по параметру X. Это приводит к рекуррентной системе краевых задач, соответствующих различным степеням в разложении Тейлора. При практической рсалйзации метода сложность рекуррентных систем существенно возрастает по мере увеличе­ ния степени X. Поэтому обычно ограничиваются удержанием в ряде Тейло­ ра членов до X2 (изредка до X3) включительно. Эти же обстоятельства затрудняют оценку области сходимости ряда и установление области удов­ летворительной точности полученного решения. Все это ограничивает пределы применения метода малыми величинами параметра X, что соот­ ветствует небольшим отклонениям областей И от канонической области Д>.

Применим к задаче .(5.1.4) метод непрерывного продолжения по парамет­ ру X. Пусть для некоторого X известны различные собственные значения

Здесь 5// —символ Кронекера.

изменении параметра X, а отсюда следует условие

( / И* (Ю0) = <*Х I),

Раскрывая это соотношение, получаем с учетом обозначений (5.1.7) выра­ жение

/ Щ <Ю0 = я .

Подставим сюда разложение (5.1.11) и используем условие ортонормированности собственных функции (5.1.6). Приходим к соотношению

Таким образом, определение собственных чисел и собственных функций задачи (5.1.3) для областей В е М состоит в определении и И'/0* для канонической области и интегрировании задачи Коши (5.1.7), для которой Я /0* и являются начальными условиями. Правые части уравнений продолжения (5.1.7) для каждого значения параметра явля­ ются решением задачи (5.1.8). Поскольку в процессе продолжения по параметру для каждого значения X известны собственные функции IV,.(X) и собственные значения П/(Х), то решение задачи (5.1.5) сводится к вычи­ слениям интегралов в соотношениях (5.1.12)-(5.1.14) и суммированию (5.1.11).

Сравнивая этот процесс с методом возмущений, отметим, что задача (5.1.8) совпадает с задачей первого приближения метода возмущений. В то же время интегрирование задачи Коши методами типа Эйлера, РунгеКутта, предиктор-корректор и тл . позволяет при соответствующем шаге по параметру X строить решения для больших значений X (т.е. при значи­ тельных отклонениях области В от канонической области Д>) с заранее заданной погрешностью.

Выше был рассмотрен процесс продолжения по параметру для случая, когда собственные значения различны. Но как в задаче для канонической области, так и в процессе продолжения по параметру X собственные значе­ ния могут стать кратными. Рассмотрим этот случай подробнее.

Пусть известные для некоторого значения параметра X собственные значе­ ния задачи (5.1.3) < 122 < ... < 12, < ... имеют кратности &(/). Тогда собственные функции, соответствующие собственному значению П,, при­