книги / Надёжность систем автоматизации
..pdfВ принципе, «вложенность» дробей может быть большая, но парируется дополнительных отказов не более n. Считаем, что повторно отказавшие элементы не восстанавливаются (хотя в ряде случаев это может быть возможно, например переход из трехэлементного базиса в двухэлементный).
Получаем ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
r |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m; |
v = |
; |
v |
|
= |
r |
|
; v |
= |
|
|
|
|
… |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
r |
|
|
3 |
|
|
r |
|
|
|
|||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это не |
что |
|
иное, |
|
как |
геометрическая |
прогрессия, но |
с выделением целой части:
∑vi =u ≤ n.
Эта сумма показывает дополнительное число парируемых отказов без учета «остатков».
Если учитывать «остатки», то
|
|
m |
|
m |
|
|||
|
|
|
+m |
−r |
|
|
||
v |
= |
r |
|
r |
|
|||
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(1−r) +m |
|
|||
v |
= |
r |
|
|
; |
|||
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
(1−r) +m |
||
m; v |
= |
; v |
|
= |
r |
|
; |
|||
|
|
2 |
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
r |
|
|||
|
|
r |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(1−r) + m |
m |
|
|
|
(1−r) +m |
||||
|
|
|
r |
|
|
(1−r) + m −r |
r |
|
|
|||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r |
|
|
r |
||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 1-м приближении (для восстановления из m отказавших) получаем для v1
n+m
( )n+m−i
PСССВР (t ) = ∑Cni +me−iλt 1−e−λt e−λпуt +
i=n
mr
m+ j
+ ∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt ) e−λпуt .
j=1
Вслучае дополнительных затрат на восстановление отказавших λв получаем
( ) n+m n+m−i −λ t PСССВР t = ∑Cni +me–iλt (1−e−λt ) e пу +
i=n
mr
+ ∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt )m+ j e−(λпу+λв)t . j=1
132
Если дополнительные затраты имеют вид
PСССВР (t ) |
n+m |
|
|
= ∑Cni +me–iλt (1−e−λt )n+m−i + |
|||
|
|
i=n |
|
|
m |
|
|
|
r |
|
|
+ |
∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt )m+ j e−(λпу+λв)t |
, |
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
тогда необходимо определить условия получения выигрыша δР за счет восстановления отказавших элементов при введении дополнительной общей избыточности λв.
Пусть задано значение выигрыша δРтр, тогда
δPтр = |
n+m |
∑Cni +me–iλt (1−e−λt )n+m−i + |
|
i=n |
mr
+ ∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt )m+ j e−(λпу+λв)t − j=1
n+m
( )n+m−i
− ∑Cni +me–iλt 1−e−λt e−λпуt .
i=n
Формула моделируется для расчетов в СКМ MathCad. На рис. 4.28–4.34 представлены некоторые результаты
расчетов выигрыша в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при различных параметрах СССРВ (рис. 4.35).
133
Рис. 4.28. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 100, m = 20, r = 4: – δР 0 ; – δР 1 ; – δР 2 ;
– δР 3 ; – δР 4
Рис. 4.29. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 100, m = 10, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28
134
Рис. 4.30. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 100, m = 8, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28
Рис. 4.31. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 10, m = 8, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28
135
Рис. 4.32. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 20, m = 8, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28
Рис. 4.33. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 200, m = 8, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28
136
Рис. 4.34. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 20, m = 10, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28
Рис. 4.35. Расчетные параметры СССВР ПЛИС-ФПТ
137
Таким образом, выигрыш в ВБР при определенных значениях параметров и основной интенсивности отказов может достигать нескольких десятков процентов. Для конкретных значений параметров предлагаемая математическая модель обеспечивает оценку возможного выигрыша.
Можно определить при заданном λв возможность выигрыша:
n+m |
n+m−i |
δPтр + ∑Cni +me–iλt (1−e−λt ) |
e−λпуt = |
i=n |
|
n+m
=∑Cni +me–iλt (1−e−λt )n+m−i +i=n
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt )m+ j e−(λпу+λв)t . |
|
|
|||||||
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Выполним деление левой части выражения на выраже- |
|||||||||
ние правой части без члена, учитывающего λв: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
δPтр + |
|
|
|
|
||
|
|
n+m |
+me–iλt (1−e−λt ) |
n+m−i |
|
|
|
|||
|
|
∑Cni |
e−λпуt |
|
|
|
||||
+ |
|
i=n |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+m |
|
n+m−i |
|
|
|
m+ j |
|
||
|
|
r |
|
|
) |
|
||||
|
∑Cni +me–iλt (1−e−λt ) |
|
+∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt |
e−λпуt |
|
|||||
|
i=n |
|
|
j=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e−λвt .
138
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+m |
|
|
|
(1−e−λt ) |
n+m−i |
−λ |
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
δPтр + ∑Cni +me–iλt |
|
e |
|
пу |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
i=n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n+m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m+ j |
|
|
||
|
|
|
|
–iλt |
(1 |
|
−λt |
) |
n+m−i |
r |
|
−(n− j)λt |
(1−e |
−λt |
) |
−λпуt |
|
|||||||||
|
|
|
i |
−e |
|
|
m+ j |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
∑Cn+me |
|
|
|
+∑Cn+m e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i=n |
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −λв.
Рис. 4.36. Пассивно-активная отказоустойчивость – мажоритарное скользящее резервирование КБ с восстановлением на основе ФПТ-элементов
Вводим дополнительный предложенный метод пассив- но-активной отказоустойчивости – мажоритарное скользящее резервирование с восстановлением на основе ФПТ-элементов
(рис. 4.36).
139
5. НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
Все системы, рассматриваемые в теории надежности, разделяются на восстанавливаемые, допускающие перерыв в работе для восстановления и ремонта (repair), и невосстанавливаемые, работоспособность которых в случае отказа не подлежит восстановлению. Большинство устройств и СА являются восстанавливаемыми [4].
Динамические модели надежности в отличие от ранее рассмотренных учитывают как процессы отказов, так и процессы восстановлений. Эти модели основаны на Марковских процессах.
5.1. Марковские процессы
Андрей Андреевич Марков – выдающийся русский математик, внесший большой вклад в теорию вероятности, математический анализ и теорию чисел (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Андрей Андреевич |
Рис. 5.2. Андрей Андреевич |
Марков (1856–1922) |
Марков-младший (1903–1979), |
|
сын |
|
140 |