книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

Величины rj/t даны на рис. 36 отдельно для симмет­ ричных (а) и обратносимметричных колебаний (б).

Для расчета складок целесообразно применить так называемый полуаиалитический вариант МКЭ.

ГЛАВА 6

КОНСТРУКЦИИ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

6.1.Расчетная схема задачи

Вусловиях плоской задачи упругое основание и расположенное на нем сооружение заменяют общей дискретной системой конечных элементов той или иной

конфигурации. Эти элементы соединены между собой в узлах. Распределенные объемные силы и распределен­ ная масса каждого элемента заменяются силами и мас­ сами, сосредоточенными в узлах. Наиболее удачно для этой задачи использование треугольных конечных эле­ ментов; прямоугольные элементы применяются тоже. Примеры разделения сооружений и упругого основания показаны на рис. 37.

Во всех точках нанесенной на профиль сетки пред­ полагаются стержни, которые препятствуют смещениям. В качестве основного конечного элемента принимается

треугольник (см. п. 3.1), изображенный на рис. 38.. Принимается, что перемещения вершин треугольника являются линейными функциями координат:

Щ= сц + а д + а д ; uk = ax + azxh + сад;

где и*, и* и t»„ i>*. t/j— соответственно горизонтальные и верти­ кальныеперемещенияузлов; <Х|—ос—численныекоэффициенты, опре­ деляемые из единичных состояний; ж<, хн, Xf, Уи Ун, yj — координаты соответствующих точек.

Для определения сц рассматриваются шесть единич­ ных состояний. Например, пусть И£=1, а все остальные перемещения узлов треугольника равны нулю; это бу­ дет первое единичное состояние. Шесть коэффициентов Of, соответствующих этому единичному состоянию, оп­ ределяются из следующей системы уравнений:

Решая эти уравнения для и*=1, получим = а4= а6= ав = 0;

е* = «г___________Ук—У1___________

(*а — (Vi — Ус) — (*/— *с) (у а — у д

__ Ук — У1 .

(6.2)

Спомощью вычисленных относительных деформаций

ех , 8 у и у*1/ найдем напряжения по формулам:

Для удобства использования Машинного счета за­ пись всех операций составим в матричной форме: [5] —

Для каждого узла составляется уравнение равенства нулю реакций, возникающих в добавленных связях:

(6.3) можно вычислить все напряжения.

Этот расчет позволяет определить предельную несу­ щую способность элементов, которые образуют всю си­ стему. Это можно выполнить благодаря тому, что в формулах для единичных реакций участвует модуль упругости узла сетки. При переходе за предел упруго­ сти модуль снижается, что может быть учтено при со­ ставлении программы счета.

Рассмотренные формулы относятся к случаю плос­ кой задачи теории упругости, их можно, однако, рас­ пространить на более общий случай, когда в состав си­ стемы входят стержневые элементы в виде стоек и ри­ гелей рам. В этом случае при составлении матрицы жесткости и матрицы реакций необходимо учесть осо­ бенности, относящиеся к рамным системам. В узлы ос­ новной системы кроме связей, препятствующих линей­ ным смещениям, добавляются еще заделки, исключа­ ющие повороты узлов. При составлении основных уравнений равновесия для каждого узла используются три уравнения равновесия, т. е. равенство нулю суммы проекций всех реактивных сил, приложенных к узлу, на оси X и У, а также равенство нулю реактивных момен­ тов, возникающих в заделке. В этом смысле наиболее удачными элементами, на которые делится заданная система, расположенная на упругом основании, являют­ ся треугольные элементы для плрской задачи и тетра­ эдры для пространственной задачи.

Чтобы определить предельную несущую способность основания, целесообразно использовать метод последо­ вательных приближений, и для описания физических свойств упругопластического основания принимается билинейная диаграмма, связывающая напряжения и де­ формации. В этом случае пластический участок диаг­ раммы отличается от упругого тем, что модуль дефор­ мации на нем становится значительно меньше упругого модуля, в предельном случае пластический участок диаграммы становится горизонтальным и соответствует модулю, равному нулю. Билинейная диаграмма удобна в том смысле, что можно получить решение задачи в общем виде и использовать его для обоих участков ди­ аграммы. Однако для каждого участка следует прини­ мать разные модули упругости. Границу пластической области в упругопластическом основании можно опре­ делить из условий контакта и эквивалентности переме­ щений на границе между пластической и упругой обла­ стью. Чтобы определить оптимальное соотношение между жесткостями упругопластического основания и сооружения, следует использовать условие одновремен­ ного исчерпания несущей способности сооружения и ос­ нования.

6.2.Свойства моделей основания

Железобетонные сооружения обычно имеют фунда­ менты в виде сплошных железобетонных плит, располо­ женных на естественных основаниях. Распределение усилий в конструкциях сооружения и общая их осадка существенно зависят от свойств основания и сил взаимо­ действия, возникающих между фундаментом и основа­ нием. Установлено, что гипотеза пропорциональности между реакциями основания и осадкой (так называе­ мая гипотеза Винклера) не соответствует действитель­ ной картине распределения реакций оснований. В 1936 г. появилось знаменитое решение Б. Н. Жемочкина [6], в котором основание рассматривалось как упругое изотропное полупространство. Эта модель ос­ нования позволила установить совершенно новые неиз­ вестные до этого времени свойства основания, которые вызывали концентрацию реакций к краю фундамента и таким путем увеличивали нагрузку, передающуюся от фундамента на крайние колонны подсилосного помеще-

ния. Эта модель усовершенствована в 1937 г. А. П. Си­ ницыным при расчете фундаментов новосибирского эле­ ватора, который был расположен, как теперь принято называть, на двухслойном основании. Верхний слой основания толщиной около 15 м состоял из песка сред­ ней крупности и располагался на плотном скальном ос­ новании, которое можно было рассматривать как упру­ гое изотропное полупространство. Так появилась комбинированная модель, верхний слой которой (огра­ ниченной толщины) подчиняется гипотезе Винклера и расположен на упругом полупространстве. В этой мо­ дели эффект концентрации реакции к краю фундамента был меньше и это позволило точнее учесть реальные свойства основания, соответствующие данной строи­ тельной площадке. Эта расчетная модель была вклю­ чена в «Инструкцию по определению реакций упругого основания», выпущенную Промзернопроектом в 1938 г. В пп. 8 и 9 Инструкции сказано: «При наличии сыпу­ чих грунтов учитывается влияние сдвигов, происходя­ щих на границе фундамента, на распределение реакций основания; сдвиги объясняются тем, что сооружение как бы вдавливается в грунт и слои грунта, находящие­ ся непосредственно под подошвой фундамента, отделя­ ются от остальной массы, образуя упругую прокладку между сооружением и основанием. Влияние упругой прокладки учитывается в расчетной схеме тем, что фик­ тивные нерастяжимые стерженьки заменяются растя­ жимыми пружинами». Сопоставление указанных выше двух моделей основания свидетельствует о том, что рас­ пределение усилий в конструкциях силосных корпусов, расположенных на сплошных фундаментных плитах, су­ щественно зависит от слоистого строения основания, которое определяется инженерно-геологическим профи­ лем данной строительной площадки. Дальнейшее усо­ вершенствование модели основания' приводит к учету влияния упругого слоя переменной толщины, располо­ женного на упругом полупространстве [6]. Для этой

модели получается перераспределение реакций основа­ ния с увеличением концентрации со стороны меньшей толщины слоя и уменьшением концентраций со стороны большей толщины слоя. Этот случай характерен тем, что центр жесткости основания не совпадает с центром тяжести сооружения. Отдельные виды грунтов имеют нелинейные свойства, в результате этого расчет фунда*

ментов на нелинейном основании выполняется методом последовательных приближений и распределение реак­ ций основания изменяется в зависимости от графика, характеризующего нелинейные свойства основания. Для выпуклой кривой нелинейности основания концентрация реакций снижается к краю фундамента. При вогнутой

больших значений, то деформации основания выходят за предел упругости и для основания принимается мо­ дель упругопластического слоя. В таком слое происхо­ дит перераспределение реакций. Такая модель еще мало изучена. Таким образом, от того, в какой мере правиль­ но выбрана модель основания, зависит распределение реакций по площади фундаментной плиты и силы, ко­

показывает, что критерием правильно выбранной моде­ ли является ее полное соответствие с действительными характеристиками инженерно-геологического разреза строительной площадки. По глубине, как правило, этот разрез имеет многослойное строение, которое в рассмот­ ренных моделях путем усреднения заменялось однослой­ ным или двухслойным основанием, и поэтому получен­ ное распределение усилий в сооружении не точно соот­ ветствовало истинному. Чтобы получить оптимальную модель основания, строго соответствующую многослой­ ному инженерно-геологическому разрезу, необходимо решить несколько контактных задач как между фунда­ ментом и основанием, так и между отдельными слоями, из которых состоит основание. Рассмотренные выше методы позволяют сделать такой расчет, однако объем вычислений получается настолько велик, что практиче­ ское его выполнение стало возможным только благода­ ря использованию ЭВМ. Для выполнения расчетов на ЭВМ наиболее удачен метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются перемещения, и для их опре­ деления составляются уравнения равновесия реакций и внешних сил в тех точках, где были добавлены связи. Сооружение и основание заменяют системой дискрет­ ных элементрв той или иной конфигурации, соединенных между собой в отдельных точках (рис. 39).

После решения системы уравнений (6.8) получим значения перемещений щ и Vi для всех узлов, и по формулам (6.3) можно вычислить все напряжения. Рассмотренный порядок расчета позволяет определить также предельную несущую способность элементов, ко­ торые образуют всю систему. Это можно выполнить,

благодаря тому, что в формулах для единич­ ных реакций участвует модуль упругости узла сетки. При переходе за предел упругости мо­ дуль снижается и это может быть учтено при составлении программы счета. Рассмотренные формулы относятся к случаю плоской задачи теории упругости, одна­ ко их можно распростра­ нить на более общий случай, когда в состав рассматриваемой систе­ мы входят стержневые элементы в виде стен и

ригелей рам. В этом случае при составлении матрицы жесткости и матрицы реакций необходимо учесть осо­ бенности, относящиеся к рамным^ системам.

В узлах основной системы, кроме связей, препятст­ вующих линейным смещениям, добавляются еще за­ делки, исключающие повороты узлов. При составлении основных уравнений равновесия для каждого узла ис­ пользуются три уравнения равновесия, т. е. равенство н.улю суммы проекций всех реактивных сил, приложен­ ных к узлу, на оси X и У, а также равенство нулю реактивных моментов, возникающих в заделке.

6.3. Высокая фундаментная балка

Рассмотрим совместную работу высокой фундамент­ ной балки и упругого основания. Чтобы решить эту за­ дачу, используем расчетную схему (рис. 40). Изучим сначала независимо деформированное состояние балки, затем упругого основания и, решив контактную задачу,

учтем их совместную работу. Существенный практиче­ ский интерес представляет определение несущей способ­ ности балки за пределом упругости, так как у высокой балки распределение напряжений в ее поперечном сече­ нии не будет линейным, и поэтому за пределом упруго­ сти потекут волокна только части поперечного сечения

и пластический момент должен быть определен допол­ нительно. Сначала используем метод конечных элемен­

на симметрия системы. Вычисления выполнены соглас­ но блок-схеме применительно к общей схеме, описан­ ной в п. 6.1. Перемещения вычислены на ЭВМ «М-220а» по программе, составленной канд. техн. на­ ук В. В. Самариным на языке АЛГОЛ-60. После реше­ ния получены величины вертикальных и горизонтальных смещений узлов сетки. По этим смещениям вычислены напряжения ах, av и %ху, эпюры которых показаны на рис. 42. Из рассмотрения эпюр напряжений ах вытека­

часть балки толщиной rk h будет оставаться в упругой стадии, поэтому предельный момент

(6.9)

где а — численный коэффициент, учитывающий наличие упругого яд­ ра; для прямоугольного сечения а = 5 /6 = 0 ,8 3 .

Пластические области в основании определим, ре­ шая вторую вспомогательную задачу о распределении реакций основания.

Значения вертикальных перемещений и* и горизон­ тальных перемещений щ узла i:

по