книги / Автоматизация научных исследований

Если центр плана находится в точке х° = 0, то величина <jju) за­

висит лишь от расстояния точки х до центра плана.

Выбор критерия оптимальности плана осуществляется, исходя из конкретного содержания решаемой задачи. Часто бывает нецелесооб­ разно отказываться от таких полезных свойств планов, как ортого­ нальность или ротатабельность. Действительно, потеря ортогонально­ сти приводит к существенным усложнениям вычислений, в то время как повышение точности за счет перехода к неортогональному плану может оказаться незначительным.

6.4.Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка

6.4.1. Вид модели

Здесь будут рассмотрены планы, предназначенные для построе­ ния линейных моделей исследуемого объекта вида

у(а, x) = a0+axxi +... +апхп. (6.29) Обозначим через F матрицу

6.4.2. Полные факторные планы

Мы здесь ограничимся рассмотрением планов, в которых каждый фактор х, принимает значения только на двух уровнях. Без ограниче­

ния общности можно считать, что эти значения суть + 1 и - 1 . Множество всех точек в «-мерном пространстве, координаты ко­

торых являются + 1 или - 1 , называется полным факторным планом

Матрица планирования Х„+, факторного плана 2"+| может быть получена с помощью матрицы Х„ плана 2 " по формуле

Хя

Х„+1 = X. (6.34)

где I определяется уравнением (6.31).

6.4.3. Дробные факторные планы

Число опытов N = 2П полных факторных планов быстро растет с увеличением размерности факторного пространства п, так что при больших п эти планы оказываются практически неприемлемыми. При этом из множества точек факторных планов 2 " может быть отобрана некоторая часть, представляющая дробный факторный план и содер­ жащая подходящее число опытов.

Для построения дробного факторного плана типа 2"~п из множе­ ства п отбирают n - р основных факторов, для которых строят полный факторный план с матрицей X . Этот план дополняют затем р

столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Каждый из этих р столбцов получается как результат поэлементного перемноже­ ния не менее двух и не более п - р определенных столбцов, соответ­ ствующих основным факторам. Для определения способа образова­ ния каждого из р столбцов дробного факторного плана вводится по­ нятие генератора плана.

Генератор представляет собой произведение основных факторов, определяющее значение элементов каждого из дополнительных р столбцов матрицы плана. Очевидно, что в случае плана типа 2П' Р должно иметься р генераторов.

Построим дробный факторный план для п = 3. Исходим из фак­ торного плана 2 2 для основных факторов х} и х2, и дополняем этот план столбцом значений третьего фактора, элементы которого явля­ ются произведением соответствующих элементов первого и второго столбцов (здесь это единственная возможность определения столбца для фактора х ,) (табл. 6 .1 ).

Выражение х3 = х,х2 является генератором плана. Преимущест­ вом этого плана является меньшее число опытов ( 2 3"1 = 4 ) по сравне­ нию с числом опытов полного факторного плана (23 = 8 ). Получен­ ный дробный план является полурепликой факторного плана 2 3

Рассмотрим задачу построения дробных факторных планов для п —4; 5; 6 ; 7. Для этих размерностей факторного пространства можно построить дробные планы, содержащие 8 опытов. Исходим из полного факторного плана 2 3 для факторов х,,х2 и х3 и дополняем его столб­ цами, образованными поэлементными произведениями столбцов плана 23: х1х2,х|х3,х2х3,х,х2х3. Эти произведения могут являться генератора­ ми для дробных планов. Используя один из четырех возможных гене­ раторов, можно построить четыре дробных плана типа 2 41:

х,х2,

х,х3,

х4 =

х2х3,

х,х2х3.

По сравнению с 24 =16 опытами полного факторного плана получен­

ный дробный план состоит из 2 4' 1 = 8 опытов.

При п —5 для построения дробного плана типа 25-2 имеется воз­ можность выбрать два любых из четырех возможных генераторов для образования столбцов факторов х4 и х5. Очевидно, что возможно по-

Еще шесть дробных планов можно получить, если поменять местами столбцы для факторов х4 и х5.

Для пяти факторов дробный план типа 25”2 содержит восемь опы­

тов по сравнению с 25 = 32 опытами полного факторами плана.

При п = 6 для построения дробного плана 2 6-3 необходимо вы­ брать три из четырех возможных генераторов для получения столбцов

факторов х4,х5,х6.Возможны следующие комбинации:

Рассматривая возможные перестановки трех полученных столбцов, получим 24 варианта дробных планов типа 26-3

Для шести факторов дробный план типа 26-3 содержит восемь опытов по сравнению с 2б = 64 опытами полного факторного плана.

Дробный план типа 27' 4 для п = 7 приведен в табл. 6.2.

Для семи факторов дробный план типа 2,7 - 4’ содержит восемь опытов по сравнению с 2 7 = 128 опытами полного факторного плана.

При построении дробных факторных планов для и от 5 до 15 ис­ ходим из факторного плана 2 4 и дополняем его всевозможными по­ элементными произведениями столбцов плана 2 4:

х,х2,х,х3,х,х4,х2х3,х,х4,х3х4,х,х,х3,Х хХ 2 Х 4 ,х,х3х4,х2х3х4,х,х,х3х4.

Выбирая необходимое число генераторов для оставшихся факторов, строим дробные планы типа 2 5Ч,2 6' 2,2 7' 3,2 8“4,2 9' 5,...,2 |5‘П, каждый из

которых содержит 16 опытов. Заметим, что полный факторный план

215 требует поставки 32 768 экспериментов. Преимущества дробных планов с точки зрения числа опытов очевидны.

6.4.4.Формулы для вычислений и свойства полных

идробных факторных планов для линейных моделей

Матрица F для плана типа 2" р (при р = 0 имеем полный фактор­ ный план) и линейной модели вида (6.29) содержит n + 1 столбцов и JV = 2"~р строк. Например, для плана 23| имеем

Первый столбец соответствует фиктивной переменной х0 при сво­

бодном члене уравнения модели, которая во всех опытах принимает значение, равное единице. Легко убедиться в том, что информацион­ ная матрица плана 2”~р для модели (6.29) имеет вид

Из (6.37) с учетом (6.3) следуют простые формулы для оценок коэф­ фициентов

(6 .3 9 ) следует, что оценки всех коэффициентов имеют одну и ту же дисперсию.

Вид выражений (6.36) и (6.37) определяет ортогональность плана

2!'~г для модели (6.29). План для модели (6.29) является также рота­ табельным. Полные и дробные факторные планы для линейных моде­ лей вида (6.29) в случае, когда область планирования - гиперкуб с ко­ ординатами вершин +1 и - 1 , являются также D-,A-,G-оптимальными планами. Это означает, что для данного частного вида области плани­ рования и числа опытов N —2"~р рассмотренные планы обеспечива­ ют максимально возможную точность оценок коэффициентов и всей модели в целом.

Перечисленные свойства факторных планов объясняют, почему эти планы находят широкое применение при построении линейных моделей исследуемого объекта.

Пример 6.3. При изучении возможностей повышения выхода од­ ной из производных пиперазина рассматривались факторы, приведен­ ные в табл. 6.3.

Предполагался линейный вид зависимости между выходом и ука­ занными факторами. Был использован дробный факторный план типа