книги / Тензорные алгебра и анализ
..pdfdf(x.h)= \m .— X +^ |
f< x > Х еЯ , |
|
(6ЛЗ) |
|||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
при этом |
отображение |
k - * d f(x ,k )e y |
называют вариацией |
no |
||||||
Лагранжу (или производной по направлению |
к е Х ). |
Если |
это |
|||||||
отображение |
линейно, |
то |
существует |
такой |
оператор |
Л, |
что |
|||
d f(х,к) = Л • к, и говорят, что/ |
дифференцируема по Гато в точке х еХ |
|||||||||
(или имеет в этой точке производную по Гато, обозначаемуюf,). |
|
|
||||||||
Пусть |
|
У& Я, x = f , |
h = ete ,. Тогда |
|
|
|
||||
|
|
J |
( f |
+ %ete , ) - f ( f ) |
|
|
|
|
||
df(T,eke,) = \an- |
|
|
X |
|
|
|
|
|
||
|
|
ХчЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim/ ( f " |
f u + X |
Т 33) - f ( f " |
f u Г 1) |
|
|
|||||
и в предположении дифференцируемости / |
как функции 9 переменных |
|||||||||
Т " ....Ти имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df(T .ete,) = 5 f(T " .....TU,...J 31) |
dT", |
tk ,l. |
(6.14) |
|||||||
|
|
|
|
ати |
|
7V—fir |
|
|
|
|
Если вместо k =ekef рассматривается направление h - dT, то |
|
|
||||||||
d f( T .d T ) = jL | |
|
. л * |
. |
Ik.I. |
|
|
(6.15) |
|||
|
|
T*»f9 |
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, |
для рассматриваемого случая оператор d T -* d f(TfdT) |
оказался линейным (см. (6.15)), и требование существования частных производных функции / по компонентам Т в любом базисе гарантирует
существование производной по Гато функции / в точке Г . Определяя тензор dT =dTiJeieJ и учитывая, что значения функции, а значит и
дифференциала этой функции, суть тензоры, фигурирующие в (6.15) частные производные по компонентам Ти согласно теореме об обратном тензорном признаке образуют тензор второго ранга
3 |
- df |
(6.16) |
ЛК = -8тае2 —*Vе |
||
В (6.16) частные производные V |
сопоставлены базису сопряженного |
пространства e V и потому являются ковариантными компонентами тензора / г . Проверим, что это именно так:
f r ° dT = |
8 / |
(6.17) |
V ° d T 'e ^ = t f f d T " |
Правая часть выражения (б. 17) соответствует (6.15), следовательно,
d f = f T °dT =f 7:dTT |
(6.18) |
Выражения (6.16) и (6.18) могут быть использованы для нахождения производной тензорной функции. Выражение (6.16) предполагает переход к координатам и функции координат. Выражение (6.18) предполагает
выделение линейной части dT |
в выражении d f вариации по Лагранжу. |
||
Пусть, например, f( T ) =C:T |
Тогда f( T ) = C „T\ |
а / |
PJC Т1 |
- ^ 1Г= |
~J‘ - С » , |
||
|
J |
дТ |
дТ |
/г - С леке1= С Г. Другим способом d f ~d(C :T) =d(C T <>Т)=С т°d T , и
f T - C T. Вторым способом удобнее находить производную, если доказать правила дифференцирования:
а) если Т т- Г, то f T = ( f T) r, |
|
|
|
|||
б ) |
( f +р)т=/т+Рт> |
|
|
|
|
|
в) (Jp)T=fTP +fPr> |
|
|
|
|
||
что предлагается сделать читателю. |
|
|
|
|||
Найдем производные от инвариантов: |
|
|
||||
4(Т )гш 1, |
|
|
|
|
|
|
Ji(T 2)т=2Тт |
|
|
|
|
||
J}(Т3)т=3(Тт)2, |
|
|
|
|
||
J2(T)T = I J ,( T ) - T t , |
|
|
|
|
||
JJ (T)T = *1}(Т)(Тт)~* |
|
|
|
|
||
Можно показать, что |
|
|
|
|
||
f T-i = Т Т *fT-TT |
|
|
|
|
||
Далее |
рассмотрим |
производную |
функции |
F |
||
Аналогичным способом можно показать, что |
|
|
||||
|
др- |
|
|
|
|
(6.19) |
d F ..= ^L d T u |
|
|
|
|||
или эквивалентно |
|
|
|
|
|
|
dF = FT о dT * Fr:dTTj |
|
|
|
(6.20) |
||
где dT =dTlieleJ, a FT есть тензор |
IV ранга |
по теореме |
об обратном |
|||
тензорном признаке. С помощью (6.19) можно показать: |
|
|||||
a)(JF )r= F fT+ fF T, |
|
|
|
|
||
б) (F -P )T = F .P T +(F T:eleJ) |
Peie' |
|
|
|||
Для скалярозначной функции тензорного аргумента |
f: € ) - ¥ R’ |
|||||
рассматривают так называемый тензор Гессе |
|
|
||||
Л т |
- ( f r ) r |
= |
=- ф |
^ р е ' е ‘е‘е' • |
|
используемый при установлении свойств знакоопределенности функции/
7. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
7.1. Аффинное пространство
Аффинным (или точечным) пространством d l n называется
непустое множество, для элементов которого выполняются следующие аксиомы:
а) каждой упорядоченной паре элементов А,В е =rfa может быть
поставлен в соответствие единственный вектор х АВ еХ п (л-мерного
векторного пространства);
б) каждому элементу А е<А„ и вектору х <zXn может быть поставлен в соответствие единственный элемент В есАп, такой, что х АВ= х ;
в) для любых трех элементов А,В,С edl„ х АВ +х вс +хСА=0.
Элементы аффинного пространства называются точками.
Из данных аксиом следует, что если зафиксировать произвольную точку Л е erfп, то точки пространства с//„ и векторы пространства Хя
будут находиться во взаимно-однозначном соответствии, а точке А е -Ан
будет соответствовать нулевой элемент пространства Хп. В дальнейшем изложении будем рассматривать случай п - 3, чаще используемый в приложениях.
7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве
Выберем |
произвольные точку А |
и |
базис |
a( eX3,i = U J . |
Совокупность |
{A €crf3, a. eX 3,i = 1,2,3} |
(короче |
(A, aj)) называется |
|
координатным репером в с/13. Любой |
точке |
М е<А3 |
тогда можно |
|
сопоставить вектор х АМ пространства Х3, компоненты х м‘ |
этого вектора |
в базисе ап называются декартовыми (или прямолинейными) координатами точки М. Вектор х лм называют радиус-вектором точки М.
Зафиксировав какой-либо другой координатный репер (В, 6,) в А }1
можно поставить в соответствие той же самой точке М ed l3 другие
декартовы координаты хви = х '1. Из аксиом-а",-в"аффинного пространства следует, что векторы х АМ,хш ,хдл (и им противоположные) принадлежат
одному векторному пространству и |
х вм - |
= х ли. Раскладывая левую |
часть по базису 6/, а правую |
— по |
базису ап будем иметь |
x"b' - b b =xJdj. Раскладывая a} - b} |
окончательно получаем закон |
связи декартовых координат точки М е А 3 |
|
|
(™ ) |
где .матрица [Ъ.1] не вырождена по утверждению 1.1. |
|
Матрица [ Ь /] и вектор-столбец |
{Ь'} в (7.1), а значит и сам этот |
закон, не зависят от выбора точки M e A 3t а зависят только от выбора
пары координатных реперов (А, а) и (В, bt). По этой причине далее мы будем называть координатный репер декартовой системой координат в сА}. Преобразование (7.1) декартовых систем координат в сА3 называется
аффинным. Рассмотрим множество всех аффинных преобразований. |
|
Точка М в каком-либо третьем репере (С, с,) имеет координаты |
х " \ |
связанные с х' законом |
|
х"' = Cj,xJ + с ', |
(7.2) |
где [cf ‘ ] не вырождена. Обращая (7.1), получим |
|
х‘ = а /х ” +а‘, |
(7.3) |
где [ а / ]~ [bj *Г 1 (очевидно, невырожденная), а' = - а у ‘bJ. Подставляя
(7.3) в (7.2), получаем закон связи декартовых координат точки М при последовательном осуществлении двух аффинных преобразований,
х'" = d /x 'j +d‘, |
(7.4) |
где dj' =ск 'djк есть компоненты невырожденной матрицы, d' - су'aJ + с1.
Видно, что (7.4) — также аффинное преобразование. Обратное преобразование (7.3) для любого аффинного преобразования (7.1) существует и также является аффинным. Тождественное преобразование
хи = х' является аффинным b‘ =0). Справедливость
ассоциативного закона для последовательного осуществления трех любых аффинных преобразований предлагается доказать читателю. Таким образом, множество всех преобразований декартовых систем координат пространства А 3 друг в друга представляет собой группу, называемую аффинной группой. Данное свойство делает любые декартовы системы координат в гА3 равноправными.
Определяемое фиксированной декартовой системой координат соответствие точек А 3 и упорядоченных троек чисел (элементов Я3)
является взаимно-однозначным. Таким образом, произвольная точка <А3
представляется упорядоченной тройкой действительных чисел (отнесенной к некоторой декартовой системе координат) с законом преобразования (7.1) при замене декартовой системы координат.
Сформулированное предложение составляет суть координатного определения аффинного пространства.
7.3.Криволинейные системы координат в аффинном пространстве
Ваффинном пространстве могут быть определены системы координат более общего типа, чем декартовы. Чтобы отчетливее понять различие тех и других систем координат и, не отвлекаясь на второстепенные детали, исследовать групповые свойства введенных, мы привлечем к рассмотрению систему намного более общую, чем аффинное пространство, — элементарное многообразие.
Элементарное многообразие М есть некоторое множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с элементами каждого из открытых множеств Юа,2)р|...с7?3 (рис. 7.1) с
точностью |
до |
допустимого |
Рис. 7.1. Связь множеств Da |
преобразования |
|
элементов |
|
|
|
а 'л 2£)**>*>
любой пары множеств
(7.5) где допустимость функций (7.5) подразумевает их непрерывную
дифференцируемость в области их определения |
|
vt(v J e C 'O D J |
(7.6) |
и отличие от нуля якобиана преобразования в этой области
(7.7)
Данные условия необходимы и достаточны для взаимной однозначности и непрерывности множества допустимых преобразований (взаимно однозначное непрерывное отображение называют гомеоморфизмом). Для другой допустимой тройки функций
x '- x 'f t U M |
S '; . |
(7.8) |
где |
условия (7.6) и (7.7) |
гарантируют существование |
обратного преобразования |
|
|
%=%‘(х‘.х’,х3) |
(7.9) |
в области Vy, являющегося непрерывно дифференцируемым и имеющего
отличный от нуля якобиан в этой области. Подставив (7.9) в (7.5), получим
n, =n'^Vx'.z-.xJ;.Vrx'.x’.zJA4J(,x'.z-.zJ;>=^Yx'.xJ.x3;- (7.10)
Поскольку функции (7.9) и (7.5) — непрерывно дифференцируемы, то и (7.10) — также непрерывно дифференцируемые функции
X 1(■,;■) еС 'О ),)
+ 0, (х'.Х3.Хл) е Ц ,
то есть преобразование (7.10) — допустимое. Тождественное
преобразование т\‘ = , очевидно, также допустимо. Несложно проверить
и справедливость ассоциативного закона для трех последовательных допустимых преобразований. Следовательно, допустимые преобразования элементов Ж образуют группу.
Вернемся к аффинному пространству. Зафиксируем произвольную декартову систему координат в сА3. Рассмотрим тройку функций,
осуществляющих однозначное отображение точек области ТА с
представленных декартовыми координатами (х‘, |
,х3), на точки области |
= |
(7.11) |
удовлетворяющих условиям гомеоморфности, то есть непрерывной дифференцируемости и отличия якобиана преобразования от нуля. Набор функций (7.11) задает так называемую криволинейную систему
координат в ^ с |
. Последняя делает возможным представление любой |
|
точки Л/еЖ криволинейными координатами |
,§3). Вслед за |
введением одной криволинейной системы координат на Ж с <А3 мы можем ввести и другие, связанные с первой допустимыми преобразованиями. Поэтому рассматриваемая область аффинного пространства вместе с криволинейными системами координат будет представлять собой по крайней мере элементарное многообразие, а преобразования криволинейных систем координат — образовывать группу по доказанному ранее. Групповые свойства множества всех криволинейных систем координат в области аффинного пространства делают эти системы равноправными.
Итак, более общее определение системы координат на открытом множестве Ж с сА3 подразумевает всякое гомеоморфное отображение
этого множества в декартово трехмерное пространство К3 Декартова система координат является частным случаем системы координат в
аффинном пространстве. Важность декартовых систем координат заключается в том, что все их множество можно ввести только в аффинном пространстве и нельзя ввести на элементарном многообразии*. Невозможность введения декартовой системы координат в последнем не позволяет определить понятия прямой и плоскости, поэтому (7.5) и называют криволинейными координатами на многообразии М.
Выясним геометрический смысл криволинейных координат. Рассмотрим уравнение
2.х3) =£„, |
(7.12) |
при фиксированном /. Это уравнение определяет поверхность в Я3.
Изменение параметра порождает семейство непересекающихся
поверхностей, так как их пересечение означало бы нарушение
гомеоморфности отображения (7.11). Говорят, что (7.12) при £'Л,е Я
задает семейство координатных поверхностей. Взяв другой индекс ie{I,2,3}, получаем согласно (7.12) другое семейство координатных поверхностей. Каждая пара координатных поверхностей разных семейств, пересекаясь, образует координатную линию данной системы координат.
Уравнение координатной линии |
(например, j = 2), проходящей через |
точку М с координатами |
А имеет вид |
* * = * * < & £ '& ) |
(7.13) |
или, натянутое на реперные векторы,
(7.13') На рис. 7.2 показаны координатные поверхности и координатные линии, проходящие через точку M e сЛ3.
Рис. 7.2. Координатные линии, проходящие через точку
* а также в пространствах аффинной н метрической связностирнмановом пространстве, изучаемыхв курсе дифференциальной геометрии
Рассмотрим примеры систем координат в <А3.
1.Цилиндрическая система координат в положительном
октанте. |
Рассмотрим |
набор |
функций |
|
= р =((х г)2 +(х2У ) l \ |
s<^ = arctg^7 , |
£>3 = z= x3y |
заданных в. |
|
положительном |
октанте |
сА3 z> 'М= {(х1,х2,х3)\ х 1>0,х2 > 0.x3 >0}. |
Предлагается проверить, что данные функции задают систему координат в рассматриваемом подмножестве <А3. Область изменения криволинейных координат (0,+оо) х (0,% / 2 )х (0,+оо) .
Если декартова система координат ортонормированием, (будет определена в п. 7.6), то записанный набор функций в 7Л задает так называемую цилиндрическую систему координат (рис. 7.3£). В данном случае координатные поверхности р = р м, ф = фд,, z - z M представляют собой соответственно бесконечный круговой цилиндр радиуса р д/,
плоскость, параллельную образующей этого цилиндра и проходящей через его ось и точку М, и плоскость, перпендикулярную образующей цилиндра и проходящей через точку М. Координатными линиями будут окружность
x =x (p M,$,zK ) и пара прямых х =х ( р |
х = х ( р xff$ 4,z). Обратная |
|||
связь координат запишется в виде х' = рсоБф, |
х 2= рБшф. х3 = z. |
|||
Цилиндрической системой |
координат |
можно покрыть все |
Л 3 за |
|
исключением оси р = 0, на |
которой |
не |
удовлетворяются |
условия |
допустимости (проверить). |
|
|
|
|
Рис. 7.3. Цилиндрическая и сферическая системы координат
2.Сферическая система координат в положительном октанте.
Пусть в положительном октанте задаются следующие функции: |
4 |
s p = tfjc '/ +(х3)3 + (х3)3)2. *<p= arctg~ . $3s 0 = arctg ((x1)3 +(x3)*)J
В декартовой ортонормироеанной системе координат записанные
выражения |
определяют |
сферическую |
систему |
координат в |
|||
положительном октанте (рис. 7.^6). Обратные соотношения |
имеют вид |
||||||
х г= psin6sinq>, |
х 2 ~ psin0cosq>, |
xJ = pcos0, |
а область |
изменения |
|||
криволинейных координат (0,+ ао)х(0,п/2)х(0,к/2). |
|
|
|
||||
Сферической системой координат можно покрыть |
все |
за |
|||||
исключением |
точки р = 0, |
в |
которой не |
удовлетворяются |
условия |
допустимости (проверить).
Целый класс систем координат (вообще говоря, ортогональных — см. п. 7.6) может быть введен при помощи аналитических функций комплексной переменной [12], включающий кроме уже рассмотренных цилиндрической (полярной цилиндрической) и сферической систем координат эллиптическую и биполярную цилиндрические, тороидальную системы координат. Использование тех или иных криволинейных систем координат определяется соображениями симметрии решаемой задачи.
В механике сплошной среды с целью записи закона движения
деформируемой среды отождествляют координатные линии |
с |
||||
некоторыми |
материальными |
линиями |
в |
начальный |
момент |
деформирования, а координатные линии г\‘ — с их образами в текущий момент деформирования. Полагая, что пара систем координат, связанных с одними и теми же материальными частицами деформируемого сплошного тела в начальном и деформированном состоянии связаны гомеоморфным законом (7.8) (или обратным ему, (7.11)), с помощью данных законов можно ввести меры деформации малой окрестности любой материальной точки такой среды.
7.4. Поля в аффинном пространстве. Локальный базис
Функция, заданная на области Ы аффинного пространства //i; называется полем. Конечно, точки МеМ могут быть представлены своими декартовыми (х',х2,х3) или криволинейными (% нЛ н £ и) координатами. Значениями данной функциимогут быть скаляры (скалярное поле), векторы (векторное поле), тензоры из %рг (тензорное поле).
Операции над тензорными полями одного ранга (только скалярными, только векторными, и т. д.) и композиции тензорных полей, заданные на одной и той же области аффинного пространства выполняются поточечно. Все, что в предыдущих главах относилось к тензорам, естественным образом переносится на тензорные поля и имеет
место в тензорном пространстве значений поля в каждой точке аффинного пространства.
Втеории упругости механики сплошной среды для каждой точки деформируемого тела, занимающего область трехмерного аффинного пространства, определены тензоры напряжений и деформаций, а также тензорная функция, их связывающая.
Вчастном случае векторного поля в векторном пространстве значений поля можно определить особый базис, связанный с системой координат в аффинном пространстве и зависящий от точки поля (т.е. локальный). Введем этот базис.
Рассмотрим координатные линии некоторой криволинейной системы координат, проходящие через некоторую точку М с
координатами |
Согласно (7.13') уравнение координатной |
линии %2 имеет вид дг=д
Требование (7.6) позволяет нам взять производную от этой векторной функции по в точке М (векторы репера at еХ„ от не зависят), что даст в результате вектор е2, касательный к координатной линии
Рис. 7.4. Смысл вектора локального базиса
Для произвольной координатной линии
|
дх |
|
(7.Н ) |
е. = — |
|
||
В декартовой системе координат х =х‘а(, |
= х ' и выражение (7.14) |
||
принимает вид |
|
|
|
е |
дх' |
|
(7.15) |
= -----а = а . |
|||
' |
дх' ' |
' |
|