книги / Сборник задач по общей физике

– в релятивистском случае

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул – (4) или (5) – следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона W, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, находится следующим образом: W = eU.

В первом случае W1 = eU1 = 51 эВ = 0, 51 10–4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е0 = m0с2 = 0, 51 МэВ. Следова-

151

мулу (5). Учитывая, что W2 = 0, 51 МэВ = meс2, по формуле (5) найдем

λ2 2,433 1,4 пм.

№3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка W = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Р е ш е н и е.

Соотношение неопределенностей для координаты и импуль-

са имеет вид x p , где x – неопределенность координаты

частицы (в данном случае электрона); р – неопределенность импульса частицы (электрона); – постоянная Планка, деленная на 2 .

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде 2l p , откуда

152

Физически разумная неопределенность импульса р во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р,

т.е. р р.

Импульс р связан с кинетической энергией W соотношением p 2mW . Заменим р на 2mW (такая замена не увеличит l).

2 .

2mW

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

№ 4. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 73 Li . Р е ш е н и е.

Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра m и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); mр, mn, m – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах, как правило, даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса М нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих нейтральную оболочку атома: М = m + Zme, откуда m = М – Zme.

153

Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле,

получим m = Ζmp + (A – Ζ)mn – M + Ζme, или m = Ζ (mp + me) + + (A – Ζ)mn – M.

Замечая, что mе + mp = MH, где MH – масса атома водорода, окончательно получим

Подставив в выражение (2) числовые значения масс (из справочных таблиц), получим

m = [3 · 1,00783 + (7 – 3) · 1,00867 – 7,01601] = 0,04216 а.е.м.

Энергией связи Е ядра называется энергия, которая в той или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.

Всоответствии с соотношением пропорциональности массы

иэнергии

или с2 = Е/ m = 9 · 1016 Дж/кг. Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с2 = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (3) примет вид

Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра

вформулу (4), получим

Е= 931 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

№5. При соударении -частицы с ядром бора 105 B произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых яд-

ра. Одно из них – ядро атома водорода 11H . Определить порядко-

вый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

154

Р е ш е н и е.

Обозначим неизвестное ядро символом ZАX. Поскольку-частица представляет собой ядро гелия 42 He, запись реакции

имеет вид 42 He 105 B 11H ZA X.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4 + 10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 + Z, откуда Z = 6.

Следовательно, неизвестное ядро является ядром изотопа атома углерода 136 C.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле Q = 931[(mHe + mB) – (mH + mC)]. Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов, взятые из справочной таблицы, в расчетную формулу, получим

Q = 931[(4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335)] МэВ =

=4,06 МэВ.

№6. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния 27Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А

через время t = 6 ч. Период полураспада T1/2 магния считать известным.

155

Р е ш е н и е.

Активность а изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и равняется числу ядер, распадающихся в единицу времени:

a ddNt , где dN – число ядер, распавшихся за время dt. Согласно основному закону радиоактивного распада

ddNt λN, где – постоянная радиоактивного распада. Посколь-

ку N N0e λt , где N0 – число нераспавшихся ядер в момент време-

Начальную активность определим по формуле (1). Входящая в эту формулу постоянная радиоактивного распада может быть выражена через период полураспада соотношением

= ln2/T1/2 = 0,693/T1/2.

Для 27Mg период полураспада T1/2 = 10 мин = 600 с. Следова-

тельно, = 0,693/600 с–1 = 1,15 · 10–3 с–1.

Число радиоактивных атомов N0, содержащихся в изотопе, равно произведению числа Авогадро NA на количество вещества

данного изотопа: N0 νNA mμ NA , где m – масса изотопа;

156

а0 = 5,13 ТБк.

Активность через 6 ч (6 ч = 2,16 104 с) получим по формуле (2):

а а0e λt 5,13 1012 е 1,15 10 3 2,16 104 81,3 Бк.

157

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Модуль 1. КИНЕМАТИКА. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Вариант 1

1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид х = А + + Bt + Ct3 м (А = 4 м, В = 2 м/с, С = 0,2 м/с3). Найдите среднюю

скорость за промежуток времени от 2 до 5 с.

2.Скорость поезда, при торможении двигающегося равнозамедленно, уменьшается в течение 1 мин от 40 до 28 км/ч. Найдите ускорение поезда и расстояние, пройденное им за время торможения.

3.Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость

угловой координаты от времени дается уравнением= (1 + 2t + t3), рад. Для точек, лежащих на ободе колеса, найдите нормальное, тангенциальное и полное ускорения через 2 с после начала вращения.

4.Диск равноускоренно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора угловой скорости точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5.Маховик получил начальную угло-

вую скорость 2 рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился. Найдите угловое ускорение маховика, считая его

постоянным.

6.Найдите силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1 м/с2. Угол наклона горы 30°. Вес автомобиля 104 Н. Коэффициент трения равен 0,1.

7.Тело массой 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью 1 м/с, догоняет второе тело массой 0,5 кг и неупруго сталкивается

сним. Какую скорость получат тела, если: 1) второе тело стояло

158

неподвижно; 2) второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в том же направлении, что и первое; 3) второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в противоположном направлении?

8.Танк весом 147,2 кН равномерно поднимается по уклону

в30° и развивает мощность 368 кВт. С какой максимальной скоростью движется танк на подъеме?

9.Брошенное вертикально вверх тело массой 200 г упало на

землю спустя 1,44 с. Найдите потенциальную энергию тела

вверхней точке траектории.

10.Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается абсолютно неупруго с телом массой 3 кг, движущимся со скоростью 1 м/с. Определите скорости тел после удара и количество выделившегося при ударе тепла, если тела движутся навстречу друг другу.

Модуль 1. Кинематика. Динамика поступательного движения

Вариант 2

1.График зависимости координаты тела х имеет вид, указанный на рисунке. Найдите зависимость х = х(t) и укажите, какое это движение.

2.Поезд движется со скоростью 36 км/ч. Если выключить ток, то поезд, двигаясь равнозамедленно, останавливается через 20 с. Найдите: а) ускорение поезда; б) на ка-

ком расстоянии до остановки надо выключить ток.

3.Точка движется по окружности радиусом R = 0,1 м с постоянным тангенциальным ускорением. Найдите нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если известно, что

кконцу 5-го оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 см/с.

159

4.Диск равноускоренно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора углового ускорения точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

5.Вентилятор вращается со ско-

ростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об.

Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?

6.На автомобиль массой 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найдите силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

7.Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями

v1 = 5 м/с и v2 = 7 м/с. Определите скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: 1) большой шар догоняет меньший;

2)шары движутся навстречу друг другу.

8.Какой кинетической энергией обладает тело массой 1 кг, падающее без начальной скорости, спустя 5 с после начала падения?

9.Подъемный кран за время 7 ч поднимает массу 3000 т строительных материалов на высоту 10 м. Какова мощность двигателя крана, если КПД крана 0,6?

10.Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Прочность шнура на разрыв 550 Н.

160