книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии
..pdfгде величины п и К вычисляются по формулам |
(III.13) |
||
и (III.15). При этом |
в формуле |
(III.15) величины еШах и |
|
е/с вычисляются на |
основании |
равенства (1.4) |
и работ |
[34, 61]. В результате найдем, что для тонких пластин безразмерный параметр % необходимо представлять в таком виде:
, |
1 |
«Г |
|
K t c \ |
/о (Ло) (1— ё) ’ |
где g = (xuo^:1; оа— значение |
регулярной составляющей |
растягивающих напряжений на площадке етах; /0 (ri0) — ве
личина, которая |
определяется |
соотношением (1.12); Кг— |
||||
находится из равенства (III.17). |
размера |
трещины |
||||
Для установления |
критического |
|||||
rt= r(N 1t |
уравнение |
(III.23) |
в случае тонких пластин |
|||
запишется |
так: |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
cos1 ~2 |
, |
|
|
|
|
|
Л>(Ло)(1-В |
Г 1 |
cos т |
- Щ и sin -|*)2= Щ<? |
|||
|
|
|
|
|
|
(III.27) |
П р и м е р . Пусть |
бесконечная |
пластина, |
ослаблен |
ная сквозной прямолинейной трещиной первоначальной длины 2а, подвергнута растяжению — сжатию внешними напряжениями <7= psin(o£, приложенными в бесконечно удаленных точках пластины и направленными под уг
лом 6о к линии расположения трещины |
(рис. |
15). Необ |
|
ходимо |
определить долговечность пластины |
N = N *. |
|
На |
основании результатов работы |
[34] |
можно за |
ключить, что последующее распространение трещины близко к направлению, образующему прямой угол с линией действия внешних напряжений. Вместе с тем из логических соображений следует, что при достаточном удалении вершины усталостной трещины от ее первона чального положения направление ее роста будет тоже образовывать прямой угол с линией действия внешних напряжений. Поэтому можно предположить, что в процес се усталостного распространения трещина двигается все время перпендикулярно к линии действия внешних уси лий. Необходимо отметить, что на основании численно-
го анализа и результатов работы [34] можно |
прибли |
|
женно вычислить |
коэффициент интенсивности |
напря |
жений |
__ |
|
|
Ki — p\ я/, |
(III.28) |
где / — полудлина проекции усталостной трещины на ли нию, перпендикулярную к направлению действия внеш них усилий (см. рис. 15).
Тогда система уравнений (III.26) и (III.27) для этого
случая сведется к виду |
|
ф М - Ш = 1’ |
(H I.29) |
при начальных условиях |
|
/0 = а0Sin 0О; N = 0. |
(III.30) |
Аппроксимируя характеристическую функцию Ф(Х) соотношением (III.19), а также используя соотношения (III.28) — (III.30), для определения долговечности пла стины N=N* находим
N* — -^4 (/0 — /*) + |
|
2 (ДKfC mAU |
х |
|
|
Я/сО —т (2“ m)(1—P°7l) |
|||
х {(AKlc)l~m[(l - m) KfcV1 - |
pa -' + Kt] - |
(ДKQl~mx |
||
x |
[(l— m)K0+ K t]}, |
(H I.31) |
||
где |
|
|
|
|
K0 = p V n iQ\ |
AKlc = |
Klc( l - p o 7 ' ) - K l\ |
||
AK0 = K0 - K t; / # = |
^ £ - ( 1 ~ |
рат1) |
|
|
|
|
Л p z |
|
|
Если для данного материала най дены значения характеристик Л, ат,
т, Ко ^С/с> то по формуле (II 1.31) можно подсчитать для заданных а0, 0Ои р долговечность пластины, под вергнутой циклическому нагруже нию.
Распространение трещины в одной плоскости трехмерного те ла. Если в трехмерном теле уста лостная трещина распространя ется в одной плоскости, система дифференциальных уравнений (III.17) вырождается в одно уравнение
1 1 f t M 1 1 1 t
| | | | |?| | | | |
Рис. 16
|
ф W W |
[р -2 ( ^ |
) + |
1 |
1 |
(41.32) |
при начальных условиях |
|
|
|
|
||
|
|
Р (0, а) = |
р0(а), |
|
(II 1.33) |
|
а критический |
размер |
трещины |
р (iV*, а) = |
р* (а) определя |
||
ется из равенства |
|
|
|
|
|
|
/(а*) К2и =0,2222К*С(1 — Л sin 2а*), |
(III.34) |
|||||
где Кп — значение коэффициента |
интенсивности |
напря |
||||
жений Ki для критического размера трещины. |
ослаб |
|||||
П р и м е р . |
Рассмотрим неограниченное тело, |
ленное дискообразной трещиной первоначального радиу са р0 (рис. 16). Принимаем, что такое тело подвергнуто растяжению — сжатию в неограниченно удаленных точ ках равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q, направленной перпендикулярно к плоскости располо жения трещины и изменяющейся по закону q=ps\r\(x)t. Необходимо определить долговечность тела JV = JV*. В этом случае трещина будет распространяться в одной плоскости, оставаясь все время круговой. Поэтому урав
нение (III.32) для описания кинетики |
распространения |
усталостной трещины примет вид |
|
ф (х>-аз5Г= 1- |
п и .35) |
Определяя для данного случая коэффициент интен сивности напряжений Ki по формуле (11.31) при m i= l,
а также пользуясь соотношениями (III.19), (III.34) и (III.35), для определения долговечности тела N =N „ найдем такую формулу:
N* = A (р* — Ро) + |
|
Э р ^ /к и д ^ с)" |
|
X |
|||||||
*,с(1 |
- т (2 — т |
1— раг 1sin 2а* |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
X \(АК1СУ |
(1 — 11 sin 2а*)1/2 |
0,4714K/ c ( i |
- |
m) |
|
||||||
» / к ! |
|
Kt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- ( Л К 10) 1_т[(1 - m ) K lQ+ |
Kt] |
|
(111.36) |
|||||
где |
KiQ= 2 p ]/ 9f - , |
|
|
0,4714/Cfc |
|
T]sin 2а*)1/2 — |
|||||
AKfC = —р -= = р (1 |
|||||||||||
Kt, |
A/CJO |
^ |
Kt, |
. |
0,1745^с ( 1 - 1 1 5 т 2 а * ) .^ = |
||||||
Kl0 |
p* |
|
р2Да*) |
’ ^ |
|||||||
= pa~{\ величины a*, f{а*) определены |
в |
параграфе 2 |
|||||||||
гл. |
I, |
а характеристики |
A, ar, m, Kt, К/с |
|
должны |
быть |
|||||
найдены из |
эксперимента |
для |
каждого конкретного |
вида |
|||||||
материала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Долговечность квазихрупкого тела с внутренней трещиной, близкой в плане к круговой, при пульсирующем растяжении
Постановка задачи и метод ее решения. Рассмотрим не ограниченное трехмерное тело, ослабленное начальной плоской изолированной макротрещиной So, ограничен ной контуром L0 (рис. 17). Введем цилиндрическую си стему координат г, у, z таким образом, чтобы плоскость So совпадала с плоскостью z = 0, а начало координат О — с центром окружности, которую можно описать око ло контура Ь0. Примем, что Ro{y) — радиус-вектор кон тура L0 (где у — полярный угол); а0 — радиус окруж ности, описанной около контура Ь0. Заметим, что по определению [34] плоская трещина называется близкой в плане к круговой, если максимальное значение функции
Е0{а) = а0 — Яо (7) |
(111.37) |
мало по сравннеию с радиусом ао (т. |
е. Ео(у)<£.ао). |
Предположим, что такое те |
?t |
f |
t t |
t t ! t |
|||||||
ло подвергнуто |
на бесконечно |
||||||||||
сти |
циклическому |
растяже |
|
|
|
|
|||||
нию — |
сжатию |
|
равномерно |
|
|
|
|
||||
распределенной |
нагрузкой |
ин |
|
|
|
|
|||||
тенсивностью |
q= ps\na)t |
(р<С |
|
|
|
|
|||||
< а т), |
перпендикулярной |
к |
|
|
|
|
|||||
плоскости трещины. Задача со |
|
|
|
|
|||||||
стоит |
в |
установлении законо |
^{ |
( |
| | | | || |
||||||
мерности распространения тре |
|||||||||||
щины Е(у, N) |
|
и определении |
|
|
Рис. |
17 |
|||||
времени t= t1l |
(количество цик |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
лов А^=2-1п“ 1со/*), |
при |
дости |
|
|
|
|
жении которого начальный контур трещины Ь0 подра стает до критического значения R = R ie(y)1т. е. хотя бы одна из точек этого контура придет в состояние подвиж ного равновесия.
Учитывая симметричность внешней нагрузки относи тельно плоскости трещины S0, а также соотношения
(III.32), |
(III.33), для определения кинетики усталостной |
||||||
трещины R(y, N) |
при начальных условиях |
R(y, 0) = |
|||||
=Ro(y) |
получаем |
следующее |
дифференциальное урав |
||||
нение в частных производных: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
> + \ £ ) 2 = 1 |
(*;-■£). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(111.38) |
где Ф(А,)— характеристическая функция |
усталостного |
||||||
разрушения, заданная в виде полинома |
(III.20), |
||||||
Ф ( Х ) = 2 А , Г |
|
|
|
4 = v « 1/ : |
|||
|
п=1 |
|
^ |
|
|
|
(111.39) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ki — максимальное |
значение |
коэффициента |
интенсив |
||||
ности напряжений; |
Kfc — характеристика |
циклической |
|||||
трещиностойкости |
|
материала; |
Ап — коэффициенты, ко |
||||
торые находятся |
экспериментально, цикл/мм. |
|
Критический размер трещины R*{y) —R(y, N*), не обходимый для определения долговечности тела N = N 1ly устанавливаем на основании критериального уравнения
к ,. - к 1с, |
(111.40) |
(1 — k)Ch |
da l |
£>2_____ £з_ 4 _ 3/13 Va |
\_ |
||||
/57 |
|
dN W a |
/a 7 |
2“* |
/ |
||
^ (Dl _ |
^ |
|
+ |
^ |
- |
л , ( ^ D |
= o ; 1 ( ' ' ‘ '43> |
(1 — k)dk |
d a D, |
D , |
_i,_ |
ЗА3 V a |
|
||
/5 7 |
|
V 2 /a |
/ 5 ; |
+ |
2a* |
|
|
/ |
|
/ a |
\i/2 |
_ a |
|
/ a \3/2\ |
|
-а г^ -^ Ы |
+°*^-4Ы H |
||||||
|
|
( f t= |
1, 2, 3 |
.); |
|
|
|
£ (yn, W) = 0 при (0 < Л Г < Л у , |
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
= Ai + Аг + |
Аз> |
D2= |
Ai + |
2Л2+ ЗЛ3; |
D3 = Л2 + ЗЛ3; |
а*—величина радиуса окружности, описанной около конту
ра /?* (у, Af*) = |
/?* (у); Уд — точки |
соприкосновения началь |
ного контура |
L0 с окружностью |
радиуса а0. |
После решения системы дифференциальных уравне ний (III.43) при начальном условии (III.37) долговеч ность тела определяется на основании соотношений
(III.40) — (111.42).
Определение долговечности тела в случае трещины, близкой в плане к эллиптической. Пусть неограниченное
квазихрупкое тело, ослабленное плоской трещиной, на чальный радиус-вектор контура которой /?0(у) = (Л0+ +В0)[2-\-2-1(Ао—5 0)cos2y]“ 1 (Л0> 5 0), подвергнуто рас тяжению— сжатию в бесконечно удаленных точках рав номерно распределенной нагрузкой интенсивности qy на правленной перпендикулярно к плоскости расположения трещины и изменяющейся по закону q=psm®t. Требу ется определить кинетику усталостной трещины и долго вечность тела N = N *.
Система уравнений (111.43) с точностью до величин порядка о [£ 2/Ло2] в этом случае запишется так:
C0 (N) = - С2 (N) = Сон) ( D X - D 2Y ^ - +
На основании соотношений (III.40), (III.41) и (III.46) долговечность тела JV* выразится такой формулой:
N* = |
a* |а (1 - т ) -----D2(1 - Vms) + |
|
||
+ -^ (1 — т2 — -^р(1 — |
I 'm6)] + С£° (Dx — D2 Vm + |
|||
+ D3m — A3Г m3 - 1[2DJ)2(1 - V m ) — (pl + |
2DXD3 x |
|||
X (1 - m) + |
2 (DXA3+ D2D3 (1 - |
Vm3 - (D\ + |
2Ц,Л3) x |
|
X (1 — т 2) |
+ 2Ц Д (1 — |
m3 |
- A l { \ - m 3 l |
(III.47) |
где m = a 0/a*.
Таким образом, если известны величины Ло, 5 0, Кю (или a*), Ai, А2 и Л3, то долговечность неограниченного тела с трещиной, близкой в плане к эллиптической, уста навливается на основании формулы (III.47). Отметим также, что в случае С0(н)= 0 соотношения (III.46) и (III.47) определяют соответственно кинетику распро странения круговой трещины и долговечность тела с та кой трещиной.
П р и м е р . |
Рассмотрим неограниченное тело, изго |
|||
товленное из |
стали 40Х (закалка 850° С, |
отпуск 400° С, |
||
/С/с = 140 |
кГ/мм3/2; Л1=25 000 |
цикл/мм; |
Л2= — 180 000 |
|
цикл/мм; |
Л3 = |
694 000 цикл/мм), |
ослабленное трещиной |
указанной выше конфигурации с начальными парамет рами В0= 12 мм и Л0= 2 0 мм (т. е. £ 0М о=0,6) и под
вергнутое циклическому нагружению |
с параметром |
р = |
|
= 17,6 кГ/мм2 (или, что то же, а* = |
50 |
мм). Кинетику |
|
усталостного распространения трещины |
определяем |
на |
|
основании соотношений (III.46) при |
указанных началь- |
69
Рис. 18 |
Рис. 19 |
ных геометрических параметрах трещины и значении пульсирующего нагружения. На рис. 18 графически изо бражена кинетика распространения такой трещины в зависимости от числа циклов N. Кривые 1—3 представ ляют контур трещины R(y, N) в моменты Ni=Ot N2 = = 128 157 циклов; 7V3 = 193 931 цикл, принимающий, в частности, следующие значения:
R (JL , = 12 мм и R (0, Ny) = 20 мм;
R N2j = 21,14 мм и R (0, N2) = 25 мм;
R ( j - , N3 = 34,15 мм и R (0, N3 = 35 мм.
|
|
|
ТС |
Кривая 4 изображает круг, радиус которого R(-^-,Nt) = |
|||
= R ( 0, N *)= 50 мм является критическим |
для данного |
||
нагружения. При этом |
долговечность N* |
определяется |
|
на основании |
формулы |
(III.47) и составляет для рас |
|
сматриваемого |
случая |
N*=212 542 циклов. На рис. 19 |
представлена графическая зависимость радиуса-вектора
R(У, N) от количества циклов |
(кривая |
1 при у = 0 , |
кри |
|
вая 2 при у=п/2) |
и круговой трещины |
(кривая 3) |
с на |
|
чальным радиусом |
N = 20 мм |
при том |
же нагружении. |
Как видно из рисунка, замена трещины рассматривае мой конфигурации на круговую с радиусом, равным большей полуоси, приводит к ошибке результата око ло 36%.