книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

макродеформаций ej. Сопротивление элементарных макрообъ­ емов деформированию определяет связь макронапряжений и макро­ деформаций.

Введем оператор осреднения по элементарному макрообъему.

п

г=1

характеристика среды со случайной структурой. Среда называется статистически однородной, если а (г) — случайная однородная функция [9], т. е. плотности вероятностей hv (гь . . ., rv) и моментные функции Mv (гь . . ., rv) инвариантны относительно парал­ лельного переноса осей координат

где p — произвольный радиус-вектор.

Связь между моментными функциями и плотностями вероятно­ стей

оо

в частном случае при v = 1 приводит к выражению для математи­ ческого ожидания функции а (г)

оо

Переходя к осреднению по элементарному макрообъему, заме­ ним несобственный интеграл в формуле (1.3.1) интегралом по объ­ ему v и, считая hi (р) равномерной плотностью, удовлетворяющей условию нормирования

§ /ji(p )d p = 1,

V

Аналогичным образом осуществляется переход для вычисления моментных функций высших порядков.

Материальные случайные скалярные и тензорные поля, харак­ теризующие структурные свойства среды, по определению являют­ ся однородными, поэтому их моментные функции не зависят от того, вокруг какой точки тела V выделен макрообъем v. Полевые слу­ чайные тензоры (тензор микронапряжений и тензор микродеформаций) при общих условиях нагружения тела V не являются одно-

11

которые учитывают как когезионное, так и адгезионное разрушение.

Уравнения (1.3.6) отражают не только деформационные свой­ ства элементов структуры, но и их разрушение в процессе дефор­ мирования и разрушения структурно неоднородных тел. Критиче­ ское число разрушенных элементов структуры и адгезионных слоев, соответствующее макроразрушению (разделению на части макро­ объема), учитывается в уравнении (1.3.7).

1.4.Упругие свойства анизотропных композитов

Проблема вычисления макроскопических свойств является од­ ной из центральных в механике структурно неоднородных сред. Для того чтобы проиллюстрировать многообразие имеющихся здесь подходов и методов, а следовательно, и получаемых результатов, приведем некоторые аналитические выражения для эффективных модулей упругости и коэффициентов теплового расширения ком­ позиционных материалов, одноосно армированных непрерывными волокнами.

Пусть ось Ог3 совпадает с направлением армирования компо­ зита с изотропными волокнами и матрицей. Число независимых констант тензора макромодулей С* определяется характером рас­ положения волокон в плоскости гхОг2, перпендикулярной направ­ лению армирования. Если волокна круглого сечения образуют регулярную гексагональную или случайную однородную струк­ туру» т0 riOr2 — плоскость изотропии и число независимых упру­ гих констант равно пяти. Если же волокна круглого или квадрат­ ного сечений образуют тетрагональную структуру, то независи­ мых констант шесть, так как плоскость гхОг2 не является в этом случае плоскостью изотропии.

Уравнения, связывающие нормальные напряжения и линейные деформации, содержат четыре упругие константы и имеют вид

13

Кроме того, имеются два модуля сдвига С?* и G* , причем оХ2 —

Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости ri0r2 при

растяжении в направлении Or3; — коэффициент Пуассона, ха­ рактеризующий сокращение в плоскости гхОг2 при растяжении в этой же плоскости.

—(^пп — ^lm)-

Вработе [120] Р. Хиллом получены некоторые точные выраже­

ния, связывающие макроскопические модули композита с упру­

гими свойствами и объемным содержанием элементов структуры.

>|i>

Например, если известно значение величин К *, то для модуля Е ц и коэффициента Пуассона v* у имеем

ного сжатия и коэффициенты Пуассона матрицы и волокон соот­ ветственно; vm и vf — объемные доли матрицы и волокон (vm +

+ Vf = 1).

14

В этой же работе для величины К* приведены такие оценки (при Gf Gm)

где Gm и Gf — модули сдвига матрицы и волокон. Оценки для дру­ гих макроскопических констант можно найти из (1.4.4) с исполь­ зованием точных соотношений (1.4.3).

Вилки Хашина—Штрикмана [139, 140] являются неулучшаемыми границами, которые можно получить, не рассматривая гео­ метрии структурно неоднородной среды

К т +

Известны примеры построения вариационных границ и с учетом геометрических факторов. Так, в работе [164] границы приведены для композита, структура которого в плоскости ггОг2 характери­ зуется ячейкой «квадрат в квадрате»

15

Из решения стохастической задачи теории упругости микронеоднородных сред со случайной структурой получены формулы обобщенного сингулярного приближения [122]

общности, так как из них вытекают и оценки Фойгта и Рейсса, и вариационные границы, и результаты самосогласованной моде­

t = K m, будем иметь верхнюю и нижнюю вариационные границы

приближению по схеме Рейсса. Наконец, принимая в (1.4.13)—

в плоскости riOr2) и коэффициентом объемного теплового расши­

16

Как правило, при прогнозировании коэффициентов a ± и ay предварительно необходимо определить макроскопические упру­ гие постоянные. Например, формулы [92]

i?ll и трансверсальный 2?^ макроскопические модули упругости.

В монографии [122] для коэффициентов линейного расшире­ ния трансверсально-изотропных композитов двумя различными методами найдены точные выражения

Известны также и формулы, одновременно содержащие вели­ чины а*± и a*j [17]:

т

Приведенные здесь результаты теоретических исследований по прогнозированию макросвойств композитов неоднократно сравни­ вались с различными экспериментальными данными, а также с ре­ зультатами численного решения периодических задач теории упру­ гости и термоупругости [49, 53, 92, 117]. Анализ этих сравнений показывает, что удовлетворительное совпадение имеет место, когда значения упругих констант элементов структуры отличаются друг от друга примерно на . порядок. При более существенной раз­ нице упругих свойств волокон и матрицы вариационные границы и уточняющие их аналитические выражения, полученные при­ ближенными методами, становятся мало пригодными для практи­ ческой оценки макросвойств.

17

1.5.Краевая задача механики структурно неоднородных тел

Вкачестве исходной рассмотрим статическую краевую задачу для структурно неоднородного тела V с границей Г, состоящую из

замкнутой системы уравнений

вектор поверхностных сил.

Кроме того, выражениями (1.2.5) и (1.2.6) заданы условия раз­ рушения элементов структуры и адгезионных слоев. Напряжения и перемещения системы (1.5.1) на поверхности раздела элементов структуры удовлетворяют условиям контакта.

Конечная цель исследования: оценить работоспособность тела У, е. рассчитать надежность его безотказной работы при данных условиях нагружения.

Непосредственное достижение этой цели схематично можно представить следующим образом. Решается краевая задача

туры и адгезионные слои, в которых действующие напряжения пре­ вышают допустимые. Вновь, но уже с учетом разрушенных зон, решается краевая задача для тела V и устанавливается, приводит ли перераспределение напряжений к последовательному разру­ шению элементов структуры или действующая нагрузка недоста­ точна для разрушения тела. Указанную процедуру необходимо проделать множество раз для получения представительной выборки реализаций структуры тела V. Затем, осредняя по ансамблю реа­

опытов.

Безусловно, такой путь не является реальным, поскольку даже современные численные методы не могут здесь помочь (шаг сетки должен быть хотя бы в несколько раз меньше размера элементов структуры).

Двухступенчатая иерархия исследуемых моделей в рамках структурно-феноменологического подхода, основанная на введе-

18

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ИСХОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

5

Сц

О

6 X

Я

«

cd

t t

§

5

К

Я

К0

3

<D

О*

1

н

Г)

нии элементарных микро- и макрообъемов, позволяет существенно упростить решение исходной задачи, разделив ее навряд последо­ вательных этапов (см. схему).

ния, осреднение можно проводить в предположении об однородно­ сти средних напряжений и деформаций.

Методы вычисления макроскопических (эффективных) свойств для сред со случайной и регулярной структурами, опирающиеся на решение стохастических и периодических задач, будут рас­ смотрены во второй и третьей главе.

19

Второй этап заключается в определении макроскопических налряжзний и деформаций, удовлетворяющих уравнениям

4 , i (?) = 0.

4 (?)= 4~ [ 4 } (?) + «* i (О]

и граничным условиям

Поскольку на втором этапе структурно неоднородная среда, за­ полняющая область V, заменяется эквивалентной однородной сре­ дой, то для решения краевой задачи (1.5.4), (1.5.5) можно приме­ нять любые современные методы механики однородных тел [81].

Краевая задача (1.5.4), (1.5.5) может быть и стохастической, если функции (г) и St (г) есть случайные функции. В четвертой главе приведены постановки и методы решения краевых задач теории вязкоупругости при случайных нагрузках.

Отыскание полей микронапряжений и микродеформаций, осу­ ществляемое на третьем этапе, неразрывно связано с проблемой прогнозирования макросвойств. Пусть в некоторой точке М (г)

тела V известны макронапряжения а* = stj. Тогда в элементар­ ном макрообъеме у, выделенном вокруг точки М (г), структурные поля деформирования удовлетворяют уравнениям (1.5.1) и гранич­ ным условиям

Существует гипотеза [49], согласно которой решения краевых задач (1.5.1), (1.5.6) и (1.5.1), (1.5.7) совпадают. Очевидно, что эти решения не зависят от геометрии поверхности макрообъема и, поэтому можно исследовать любое тело с кусочно-гладкой поверх­ ностью, находящееся в условиях однородного напряженного или деформированного состояния.

Подчеркнем, что если при определении структурных полей де­ формирования тензоры s и е строго соответствуют макронапряже­ ниям и макродеформациям, действующим в точке М (г), то при прогнозировании макросврйств среды компоненты этих тензоров могут быть заданы произвольным образом.

Следующим, четвертым по счету этапом решения исходной крае­ вой задачи является определение микроповрежденности тела V.

20