книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной
..pdf
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 2x ln arcctg 4x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
y ; |
|
||
|
|
|
( |
+16x |
2 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
arcctg 4x 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y′ = |
2x ln arcctg 4x − |
|
|
|
|
|
|
(arcctg 4x)x . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(arcctg 4x)(1 +16x2 ) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Найти производную функции |
|
|
|
|
|||||||||
|
y = 4 |
(6x − 3) x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
− 5x |
2 )2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Применяя логарифмическое дифференцирование, последовательно находим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6x − 3) x3 |
1 |
|
|
(6x − 3) x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln y = ln 4 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 − 5x2 )2 |
4 |
|
(1 − 5x2 )2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
( |
6x − 3 |
) |
+ 3ln x |
− 2 ln |
( |
|
|
|
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
ln |
|
|
|
|
|
1− 5x |
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′ |
= |
1 |
|
6 |
|
|
+ |
3 |
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
(−10x) = |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
+ |
3 |
+ |
|
20x |
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
y 4 6x − 3 x 1 − 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2x −1 |
|
|
|
x 1 |
− 5x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
= |
1 |
|
|
−5x2 + 8x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4 x (2x −1)(1 − 5x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = − |
1 |
|
|
|
|
5x2 − 8x + 3 |
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
(2x −1)(1 − 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
1 |
|
|
|
|
5x2 − 8x + 3 |
|
|
|
4 |
|
(6x − 3) x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
2 )2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
(2x −1)(1 − 5x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161
§ 6. Производные высших порядков
Основные формулы |
Определения |
|||||||
|
и рисунки |
|
и замечания |
|||||
1. |
y′′ = ( y′)′ = f ′′( x) |
(3.62) |
Если y′ есть производная |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
от функции y = f ( x) , то произ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
водная от y′ |
называется второй |
|
|
|
|
|
|
|
производной, |
или производной |
|
|
|
|
|
|
|
второго порядка от первона- |
|
|
|
|
|
|
|
|
чальной функции y = f ( x). |
|
|
|
|
||||||
2. Обозначение второй про- |
Читается: |
|||||||
изводной: |
|
|
||||||
|
|
y′′ , |
|
|
«игрек с двумя штрихами», |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
f ′′( x), |
|
(3.63) |
«эф от икс с двумя штрихами», |
||||
|
|
d 2 y |
, |
|
|
«дэ два игрек по дэ икс квадрат», |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx2 |
|
|
|
|
||
|
|
d 2 f |
|
|
|
«дэ два эф по дэ икс квадрат» . |
||
|
|
dx2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y′′′ = ( y′′)′ |
|
(3.64) |
Производная от второй про- |
||||
|
изводной называется производ- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ной третьего порядка или треть- |
|
|
|
|
|
|
|
|
ей производной. |
|
4. Для обозначения произ- |
|
|
||||||
водной третьего порядка упот- |
|
|
||||||
ребляют один из |
следующих |
|
|
|||||
знаков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′′ , f ′′′( x), |
d 3 y |
(3.65) |
|
|
|||
|
dx3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y(n) = ( y(n−1) )′ |
(3.66) |
Производной n-го порядка |
|||||
(или n-й производной) называ- |
162
|
|
ется производная от производ- |
||||
|
|
ной (n −1) порядка. |
|
|||
|
|
|
Замечание 1 |
|
||
|
|
|
Производные порядка выше |
|||
|
|
первого |
называются производ- |
|||
|
|
ными высших порядков. |
|
|||
|
|
|
Замечание 2 |
|
||
|
|
|
Начиная с производной чет- |
|||
|
|
вертого |
порядка, производные |
|||
|
|
обозначают римскими цифрами |
||||
|
|
или числами в скобках ( yV |
или |
|||
|
|
y(5) |
– производная пятого |
по- |
||
|
|
рядка). |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 3 |
|
||
|
|
|
Порядок |
производной |
бе- |
|
|
|
рется в скобки для того, чтобы |
||||
|
|
его нельзя было принять за по- |
||||
|
|
казатель степени. |
|
|||
6. |
|
|
Замечание |
|
||
|
|
|
Производные второго и во- |
|||
|
|
обще высших порядков оказыва- |
||||
|
|
ются существенно необходимы- |
||||
|
|
ми для определения важных по- |
||||
|
|
нятий математики, механики, |
||||
|
|
физики и для более полного ис- |
||||
|
|
следования функций, чем то, ко- |
||||
|
|
торое можно выполнить, приме- |
||||
f ′′( x0 ) = a |
|
няялишьпервуюпроизводную. |
||||
(3.67) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если x – время, y = f ( x) – |
|||
|
|
координата точки, движущейся |
||||
|
|
по |
прямой, |
в момент x, |
то |
|
|
|
f ′′( x0 ) |
– ускорение (a) этой |
|||
|
|
точки в момент времени x0. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
163
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом заключается меха- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нический смысл второй произ- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
Первая производная неявной |
|||||||||
7. Вторая производная |
y |
|
функции, |
заданной равенством |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
от неявной функции: |
|
|
|
dx |
|
F ( x, y ) = 0 , выражается форму- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
лой (3.52) §4. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
d 2 y |
|
dφ( x, y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
= |
|
|
|
|
вторую производную |
|
d 2 y |
от |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
неявной |
функции |
получим, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцируя функцию φ( x, y) |
|||||||||||||||||
|
|
|
= F x, y, |
|
|
|
(3.68) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по переменной x и помня при |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этом, что y есть функция от x. |
|
|||||||||||
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя в формуле (3.68) |
||||||||||
|
= F x, y, φ( x, y ) |
= |
|
|
|
|
dy |
|
через φ( x, y ) , |
получим вы- |
||||||||||||||||
|
dx2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
второй |
производной |
||||||||||
|
|
|
|
= ψ( x, y ) |
|
|
(3.69) |
ражение |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
через x и y. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично и |
все высшие |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производные от неявной функ- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции можно выразить только че- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рез x и y: каждый раз, когда при |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцировании появляется |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производная |
dy |
, её следует за- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менять через φ( x, y ) . |
|
|
|
|
|
|||||||
8. Пусть функция y = f ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
задана параметрическими урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
нениями |
x |
= x (t ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= y (t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( y′x )′t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично получаем про- |
|||||||||||||||||
y′′ |
= ( y′ )′ |
|
|
, |
(3.70) |
изводные |
четвертого |
|
и более |
||||||||||||||||||||||||||||||
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
высокого порядка. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y′′′ |
|
|
|
= |
( y′′ |
|
)′ |
|
|
|
|
|
|
(3.71) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
xxx |
|
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 1. Найти y′′ |
|
|
для следующих функций: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) y = x5 − 7x3 + 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) |
y = |
|
|
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
( |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
6 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
y = |
1 |
ln2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) Дифференцируя функцию y, получим y′ = 5x4 − 21x2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дифференцируя |
|
производную |
|
y′ , |
получим |
( y′)′ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= y′′ = 20x3 − 42x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) Найдем y′ и y′′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y′ |
= |
|
1 x +1 − x |
= |
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6 |
( |
x |
)2 |
|
|
6 |
( |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
( |
)−2 ′ |
|
1 |
( |
|
)−3 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
y′′ |
= |
|
6 |
|
|
( |
x |
)2 |
|
|
= |
|
6 |
|
|
x +1 |
|
= − |
3 |
|
x +1 |
= − |
|
( |
|
)3 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x +1 |
|||||
в) Найдем y′ и y′′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y′ = |
1 |
2ln x |
1 |
= |
ln x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165
1 |
x − ln x |
|
1 − ln x |
|
||
y′′ = |
x |
= |
. |
|||
|
||||||
|
x2 |
|
||||
|
|
|
x2 |
Задача 2. Найти производную n-го порядка функции y = e2 x .
Решение
y′ = (e2 x )′ = e2 x 2 ,
y′′ = ( y′)′ = (2e2 x )′ = 2(e2 x )′ = 2 e2 x 2 = 22 e2 x , y′′′ = ( y′′)′ = (22 e2 x )′ = 22 e2 x 2 = 23 e2 x ,
yIV = ( y′′′)′ = (23 e2 x )′ = 23 e2 x 2 = 24 e2 x ,
……………………………………………………….
y( n) = ( yn−1 )′ = 2n e2 x .
Задача 3. Показать, что функция y = C1e− x + C2e−2 x при любых постоянных C1 и C2 удовлетворяетуравнению y′′ + 3y′ + 2 y = 0.
Решение
Найдем y′ и y′′ :
y′ = −C1e− x − 2C2e−2 x ,
y′′ = C1e− x + 4C2e−2 x .
Подставляем y , y′ и y′′ влевуючастьуравнения, получаем
C1e− x + 4C2e−2 x + 3(−C1e− x − 2C2e−2 x ) + 2(C1e− x + C2e−2 x ) = = C1e− x + 4C2e−2 x − 3C1e− x − 6C2e−2 x + 2C1e− x + 2C2e−2 x =
= e− x (C1 − 3C1 + 2C1 ) + e−2 x (4C2 − 6C2 + 2C2 ) = e− x 0 + e−2 x 0 = 0,
0 ≡ 0 , что и требовалось показать.
166
Задача 4. Найти y′′ для функции y от x, заданной равенст-
вом x2 + y2 − 4x +10 y + 4 = 0.
Решение
Данная функция задана неявно. Дифференцируем по x обе части равенства, где y есть функция от x, получаем
2x + 2 yy′ − 4 +10 y′ = 0.
Отсюда найдем y′ :
y′(2 y +10) = 4 − 2x,
|
|
|
|
y′ = |
4 − 2x |
, или y′ = |
2 − x |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 y +10 |
|
|
y + 5 |
|
|
|
|||
Найдем y′′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 − x ′ |
|
−1( y + 5) − (2 − x) y′ |
|
y + 5 + (2 − x) y′ |
|||||||||
y′′ = |
|
|
= |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
. |
||
|
|
( y + 5) |
2 |
|
( y + 5) |
2 |
||||||||
|
y + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем в правую часть найденную производную
y′ = 2 − x , получаем: y + 5
|
( y + 5) + (2 − x) |
2 − x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
( y + |
5) |
+ (2 |
− x) |
||||||||||
|
|
|
|
y + 5 |
|
|
|
|
||||||||
y′′ = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
= |
( y + 5) |
|
|
|
|
|
( y + 5) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= − |
y2 |
+ x2 +10 y − 4x + 29 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( y + |
5)3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что x2 + y2 = 4x −10 y − 4 , получаем:
y′′ = − 4x −10 y − 4 + 10 y − 4x + 29 , или
( y + 5)3
167
|
y′′ = − |
|
|
25 |
. |
|
|
( y + 5)3 |
|||||
Задача 5. Найти |
d 2 y |
при |
|
t = 0 , если функция y от x задана |
||
dx2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
параметрически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2t, |
|
|
|
x = t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y = ln (t +1).
Решение
Находим производные x и y по параметру t:
dx = xt′ = 2t + 2 , dt
dy |
= y′ = |
1 |
. |
|
|
||
dt |
t |
t +1 |
|
|
Тогда, по формуле (3.56) § 4 получаем
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dy |
|
= |
|
= |
|
|
1 |
= |
1 |
(t +1)−2 . |
||
= y′ |
|
t +1 |
|
|
|
|||||||
dx |
|
|
|
|
( |
)2 |
|
|||||
x |
|
2t + 2 |
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
Далее находим производную от y′x по t:
( y′ )′ |
= |
1 |
(−2)(t +1)−3 = − |
|
1 |
. |
|
( |
)3 |
||||
x t |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
t +1 |
Согласно формуле (3.70), получаем
|
|
|
( y′x )′ |
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
( |
)3 |
|
|
|
1 |
|
||
|
= y′′ |
= |
t |
= |
|
|
t +1 |
= − |
|
|
|
, |
dx2 |
x′ |
2(t +1) |
|
( |
)4 |
|||||||
xx |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
y′′ (t = 0) = − 1 .
xx
2
168
§7. Дифференциал функции
Спонятием производной теснейшим образом связано другое фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.
Основные формулы |
|
|
|
Определения |
||||
|
и рисунки |
|
|
|
|
и замечания |
||
1. ∆ y= f ′( x)∆ +x ∆ε |
x (3.72) |
|
Равенство |
(3.72) получено |
||||
– |
приращение |
функции |
из |
определения |
производной |
|||
y = f ( x) |
|
lim |
∆ y |
= f ′( x) |
и теоремы освя- |
|||
|
||||||||
|
|
|
∆ x→ |
0 |
∆ x |
|
|
|
|
|
|
зи функции с её пределом (гла- |
|||||
|
|
|
ва 2, §4, формула 2.45), |
|||||
|
|
|
|
∆ y – приращение функции |
||||
|
|
|
y = f ( x) , |
|
|
|||
|
|
|
|
∆ |
x – приращение аргумента, |
|||
|
|
|
|
ε |
– бесконечно малая вели- |
|||
|
|
|
чина при ∆ x→ |
0 . |
||||
|
|
|
|
Замечание |
|
|
||
|
|
|
|
Величина ε |
зависит от ∆ x |
|||
|
|
|
и притом так, |
что при ∆ x→ 0 |
||||
|
|
|
она |
|
также стремится к нулю, |
|||
|
|
|
а в таком случае произведение |
|||||
|
|
|
ε ∆ |
x будет бесконечно малой |
||||
|
|
|
более высокого порядка, чем |
|||||
|
|
|
бесконечно малая ∆ x (глава 2, |
|||||
|
|
|
§4, формула 2.44). |
|||||
2. |
f ′( x )∆ x |
(3.73) |
|
|
|
|
|
|
– главная часть приращения ∆ y |
|
|
|
|
|
|
||
функции y = f ( x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. dy или df ( x) |
(3.74) |
|
Замечание |
|
|
|||
– обозначение дифференциала |
|
Термин «дифференциал» |
||||||
происходит от латинского слова |
||||||||
функции y = f ( x), |
|
differentia, означающего «раз- |
||||||
|
|
|
169
|
|
|
|
|
ность», и был введен Лейбни- |
|||
|
|
|
|
|
цем по предложению его учени- |
|||
|
dy = f ′( x) ∆ x |
|
|
ка И. Бернулли*. |
|
|
||
|
(3.75) |
Следует запомнить: |
||||||
|
|
|
|
|
Дифференциалом (первого |
|||
|
|
|
|
|
порядка) функции |
y = f ( x ) |
||
|
|
|
|
|
[при f ′( x ) ≠ 0 ] называется глав- |
|||
|
|
|
|
|
ная часть приращения, линей- |
|||
|
|
|
|
|
ная относительно ∆ x. |
|
||
4. Если y = x , то |
|
|
Следует запомнить: |
|||||
|
dy = dx = ∆ x |
(3.76) |
дифференциал dx |
независимой |
||||
|
переменной x совпадает с её |
|||||||
|
|
|
|
|
приращением ∆ |
x. |
|
|
5. |
dy = f ′( x) dx . |
(3.77) |
Следует запомнить: |
|||||
|
|
|
|
|
чтобы найти дифференциал ка- |
|||
|
|
|
|
|
кой-либо функции, надо найти |
|||
|
|
|
|
|
производную этой функции и |
|||
|
|
|
|
|
умножить её на дифференциал |
|||
|
|
dy |
|
|
независимой переменной. |
|||
y′ = f ′( x) = |
(3.78) |
Замечание |
|
|
|
|||
dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Из формулы (3.77) следует, |
||||
|
|
|
|
|
что производную функции мож- |
|||
|
|
|
|
|
но рассматривать как отноше- |
|||
|
|
|
|
|
ние дифференциала |
функции |
||
|
|
|
|
|
к дифференциалу аргумента. |
|||
|
|
|
|
|
Обозначением |
(3.78) |
мы уже |
|
|
|
|
|
|
пользовались |
в |
предыдущих |
|
|
|
|
|
|
параграфах. |
|
|
|
6. Рассмотрим график функ- |
|
|
|
|
||||
ции y = f ( x) , имеющий в точ- |
|
|
|
|
||||
ке M ( x, y ) с координатами x и |
|
|
|
|
||||
y = f ( x) |
конечную производ- |
|
|
|
|
|||
ную y′ (рис. 3.9). |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
* Смотри историческую справку |
|
|
|
|
170