книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfДополнительным условием к (2.142) выступает ограничение на величину деформации е:
./У, + Ыу
В| [ + 2512 + 2
которое формулируется, исходя из критерия прочности (см. (2.104) или (2.128)).
В частном случае для нитяной модели ОК.М получим следую щие критерии оптимальности
ыХ М п Ч
л ^ = ^ГТ “ ’ Х л, с°5 ф ,
5 ) Л / 51П(р, С 05ф , |
(2.143) |
Ых + N у
Х А/
| > , = |
Ы х + Ы у |
|
а. |
||
|
Как следует из анализа (2.143), критерии оптимальности до пускают множество равноценных вариантов. Эти решения воз можны, если Мх и Л/>. одного знака; |Л(Ч| < 0,5|УУХ+ Ы}\. При = 0 структура многослойного пакета должна быть симметричной.
Пример 2.8
►Замкнутая цилиндрическая оболочка нагружена внутрен ним давлением и крутящим моментом М (рис. 2.49).
Рис. 2.49. Схема расчета оптимальной структуры цилиндричес кой оболочки
Стенка цилиндрической оболочки образована слоями коль цевой намотки (90°), слоями перекрестной намотки ±<р и слоями спиральной намотки ф. Требуется определить толшины указан ных слоев. Воспользуемся нитяной моделью ОКМ. Предел проч ности ОКМ вдоль армирования примем равным о,.
Напряженное состояние цилиндрической оболочки опреде ляется погонными усилиями:
М
Р * \ М у = рК;
2%К2 '
Обозначив толшины слоев, армированных под углами 90°, + Ф и ф , через А90, А', А" и А ^ А '+ А " , запишем уравнения (2.143):
|
Адр + Аф $1П~ ф |
2 Мху _ Аф 51П ф С05 ф |
|
|||||
|
Аф С 052 ф |
’ |
3 рК |
|
к)0 +Аф |
|
||
|
|
|
. |
, |
3 рК |
|
(2.144) |
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
к"= |
-------; |
|
к =~ |
——1; |
к^=^ -(2 -*б2ф)- |
|||
9 |
_а. 51П тсохт |
|
9 |
2 ^ |
С 0 5 " ф |
|
2о1 ' |
' |
|
О] 5Ш ф СОЗ ф |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а; = аф- |
|
/>* |
1 |
— |
. |
(2.145) |
|
|
а; = ^ |
— |
=— |
|||||
|
9 9 9 |
|
2 |
о1соз2ф |
о,5тфсозф |
|
||
Поскольку А' > 0, то из (2.145) получаем ограничение на мак симальное значение крутящего момента (М < рпЮ 1бф). ■
В заключение раздела рассмотрим определение параметров композиционных пластин по заданным мембранным жесткостям при замене однородных пластин на композиционные.
Требуется определить толщины слоев многослойной компо зиционной пластины, имеющей структуру [0°/90в/(±45°)]. Модуль О КМ вдоль направления армирования равен Ех. Искомые тол-
Рис. 2.50. Структура |
А |
|
многослойного пакета |
|
|
[0У90*/(±45-)] |
|
|
Йм |
|
|
шины слоев обозначим А0, |
А45 (рис. 2.50). Мембранные жест |
|
кости ортотроп ной пластины заданы: |
|
|
ЕХН |
’ , |
Е*к |
1“ |
||
(2.146)
ЕхИуух
> з з = < У * >
1 -И хуН у/
где Гт, Еу — модули упругости ортотропного материала при рас тяжении-сжатии вдоль направлений Ох, 0у; Сху — модуль сдви га; А — толщина пластины.
Боспользовавшись нитяной моделью ОКМ (см. (2.92)), полу чим следующие выражения для мембранных жесткостей много слойной пластины [0в/90*/(±45в))
811=Г,(ЛЬ+А„1/4), |
|
||
В а - Е А Ъ + к ь Щ , |
(2.147) |
||
«и = В Д , |
1/4. |
||
|
|||
= |
1/4. |
|
|
Поскольку мембранные жесткости Ви считаются известными, для определения трех неизвестных А„, Аэд, А45 получены четыре уравнения. Такие задачи относятся к классу некорректно постав ленных задач, и для их решения разработаны специальные мето ды. Представим (2.147) в матричном виде:
1 |
0 |
1/4" |
V |
Вп |
0 |
1 |
1/4 |
_1_ в „ |
|
0 |
0 |
1/4 |
Ы |
А Ва |
0 0 1/4. . V |
В». |
или
АХ = В,
Построим вектор невязки Л = АХ - В,
квадрат нормы которого определим скалярным произведением
д= птт| = (АХ - В)т (АХ - В) = ХТАТАХ - ХТАТВ - ВТАХ + ВТВ =
=ХТС Х -2 Х ТБ + ВТВ,
С = АТА; Б = АТВ. |
(2.149) |
Минимизируя Д по х, получим
|^ - = 2 С Х -2 Б = 0,
дх
что дает для определения X уравнение:
сх = а
Для рассматриваемого случая согласно (2.148), (2.149) полу чаем систему уравнений (2.150) в виде
'1 |
0 |
1/41Г А0 "I |
Вп |
|
0 |
1 |
1/4 И,о = |
Вп |
. (2.150) |
.1/4 |
1/4 |
|
1 (Вп + Вп + В12 + В33)/4 |
|
Решением этой системы будет
(2.151)
Пример 2.10
►Определить выигрыш в массе при замене изотропной пла стинки, изготовленной из алюминиевого сплава Д 16, на углепла стиковую. При ^Д16 = 72 ГПа и 2Г, = 180 ГПа согласно (2.152) получим
, , 72 3
0,3Н\
к« ‘ к Ш Г 0 М '
и суммарная толщина углепластиковой пластины ку = 1,2к. При удельных массах рД16 = 2,7 т/м 2 и ркму = 1,5 т/м 3 получим следую щие значения погонных масс:
(р - А)д,6 = 2,7к; (р - к)КМУ = 1,5 • 1,2А = 1,8й.
Выигрыш по массе составит
( Р <0 д 1 < -(Р /,)кМУ |
I |
(Р '*)д |« |
3> |
хотя суммарная толщина пластины увеличится на 20 %. ■
Пример 2.11
►Определить изгибные жесткостные характеристики для пла стины КМ, имеющей эквивалентные по отношению к изотроп ной пластине мембранные жесткостные характеристики.
Для изотропного материала примем р = 1/3. Цилиндрическая жесткость
Екг
■ ц ( 1 - ц г)
где Е — модуль изотропного материала; И — толщина пластины. Тогда изгибные жесткостные характеристики изотропной плас тины
Д ля композитной пластины, имеющей структуру [0“/907(±450)], были определены толщины слоев по (2.152). Поскольку мемб ранные жесткости не зависят от порядка чередования слоев, представим, что эквивалентная композитная пластина имеет сим-
Рис. 2.51. Структура композитной пластины
метричную структуру [±45У90уов/90в/(±45°)] (рис. 2.51), где обозначено
. Е 3
' - " ц т
За координатную понерхность г = 0 примем срединную по верхность и вычислим изгибные жесткости такой пластины:
II |
II |
Г’ ч |
|
|
- |
с |
П 2 45 |
|
|
а |
и |
|
|
|
( у ?л) |
8 |
’ |
|
? УбЗ |
|
|
|
и |
|
|
|
и |
8 ’ |
|
|
|
Г г |
V 42 |
- * Ы т
з 7 6 ’
(2.153)
Для углепластика типа КМУ-4 Ех~ 180 ГПа и алюминиевого сплава типа Д16 Г, = 72 ГПа согласно (2.153) получим
Д*МУ = 0 0 ,9 ; 0 ^ = 0 1,26; 0*МУ = 0 , ^ у = Д-0,84.
Если предположить, что слоев ОКМ в многослойном пакете 10е/90е/ (±45®)] достаточно много и слои регулярно чередуются, образуя практически однородную изотропную структуру, то изгибная жесткость такого многослойного пакета
пи |
= |
ЕИ1 |
__ ЕН3 |
и \\ |
= 0 |
12(1-р2) |
|
|
|
12(1-ц2) |
или
Для выбранных материалов углепластика КМУ-4 и алюмини евого сплава типа Д16 получим Дкм « Д -1,73. Таким образом, при замене материала Д 16 на КМУ-4 из условия сохранения мемб ранных жесткостей получены выигрыш в массе на 1/3 и увеличе ние изгибной жесткости примерно на 73 %. ■
2.6.УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ многослойных ШАРНИРНО ОПЕРТЫХ ПЛАСТИН СИММЕТРИЧНОГО СТРОЕНИЯ ПРИ РАВНОМЕРНОМ СЖАТИИ
Здесь рассмотрим две простые расчетные схемы, которые до статочно часто применяют на практике при оценке местной ус тойчивости плоских полок удлиненных подкрепляющих элемен тов (например, стрингеров и лонжеронов).
Первая схема соответствует удлиненной пластине, шарнирно
опертой по контуру и сжатой в направлении длинной стороны (рис. 2.52).
Предположим, что нормальный прогиб при потере устойчивости
Н' = Ж$т/ях$шлу, |
(2.154) |
|
_ тп |
пк |
|
т = — ; |
Ь ’ |
|
а |
|
|
т, п — числа полуволн в направлении осей Ох и 0у соответ ственно; а, Ь — габаритные размеры пластины; IV— амплитуда
прогиба.
|
|
Рис. 2.52. Расчетная схема |
0 |
а |
шарнирно опертой пласти- |
ны при одноосном сжатии |
Кривизны и крутку пластины при потере устойчивости вы
числим следующим образом: |
|
|
|
||
.= - |
= ш2Ж 5\птх 8Ш пу, |
|
|
||
|
Эх" |
|
|
|
|
|
Э2И> |
. |
_ . |
|
(2.155) |
----- =- = Й'Ж 81П ШХ81 |
|
||||
|
ду2 |
|
|
|
|
|
Э2и> |
_ |
_ |
_ |
|
= - 2 — — = -2 тп№ С08/ихсоз пу. |
|
||||
|
дхду |
|
|
|
|
Угол со, поворота нормали в плоскости хОг |
|
|
|||
|
.. = - ^ |
= -т IV соз тх $щпу. |
(2.156) |
||
|
Эх |
|
|
|
|
Соотношения упругости при изгибе тонких пластин симмет |
|||||
ричного (относительно срединной плоскости) строения |
|
||||
|
М х = />п ае,+Д2аея |
|
|
||
|
М у = 0,,эеА.+/)22аея |
|
(2.157) |
||
|
М ху = АзХл,, |
|
|
||
где Мх, Му, Мху — внутренние погонные моменты; Ду — коэффи циенты изгибных жесткостей, вычисленные относительно сре динной плоскости.
Для решения задачи устойчивости воспользуемся вариацион ной формулировкой:
а Ь
11(Мх8 х х+М).8Ху+Мху8хХ}. + Я? 8гх)с!хс1у = 0, (2.158) 00
где 5ае,, бгвя 8%ху — любые возможные кривизны и крутка; /V® — начальное погонное сжимающее усилие, Мх = -Г; 8е, — возмож ные мембранные деформации второго порядка малости,
51, = 5 (со2/2) = со,8со,. |
(2.159) |
Зададим возможный прогиб 8м/ в виде, аналогичном (2.154), т. е.
5IV = 8 IV $штх з т пу.
Тогда получим:
5аЛ.=т ~Ь\У 51/йхз1
бае..= п 2б IV |
з т тх з т пу, |
_ ■ |
_ „ |
__ |
_ |
(2.160) |
бхЛТ= -2тпЬ IV соз тх соз пу,
5о)х = -тдРУ соз тх зш пу.
Подставив (2.155)—(2.157) и (2.159), (2.160) в вариационную формулировку задачи (2.158), с учетом того, что
а Ь |
аЬ |
11 зш2 тх з т 2 пубхбу = | | соз2 тх соз2 пудхйу =
0 0 |
00 |
=соз2 тх з1п2 пуйхду =
00 |
^ |
получим |
|
т № ^ [ О п т+24 й п т 2п 2 + И22п 4 + Щ 2т 2п 2 77л2]- |
= 0. |
Отсюда |
|
Г = Х>и/л2 + 2)22 4 т + 2(2)р + 2П33)й 2. |
(2.161) |
т~ |
|
Из полученного выражения (2.161) видно, что минимальное значение Г соответствует наименьшему значению л, т. е. следует положить
Ь ’
что соответствует образованию одной полуволны в направлении оси Оу. Тогда вместо (2.161) получим
г = Р ' [ д ' 17 ” ’ + 0г27 7 *2 (л ,!+ 2 /> и )] ' <2л62)
Критическое значение сжимающего усилия вычисляется по (2.162) как наименьшее значение по числу полуволн т. Обычно это делают простым перебором значений т (рис. 2.53).