книги / Остаточные напряжения теория и приложения

Соотношения (4.9) (или (4.13)) справедливы в любой ортого­

38]. Более широкие возможности применения МКЭ, вероятно, открывает использование метода Галеркина, [22, 139], не требую­ щего наличия соответствующих задаче вариационных принципов. Воспользуемся методом Галеркина для вывода разрешающих соотношений МКЭ применительно к задаче термоупругопластич-

в любой момент времени описывается следующими уравнения­

41

условиях. Заметим, что граничные условия могут иметь и дру­ гой вид, для вывода разрешающих соотношений МКЭ это не имеет

выбираем совпадающими с функциями формы, т. е. jV*Cj и 0. За­ метим, что функции N и 0 подбираются из условия удовлетворе­

Напомним, что функции формы в методе Галеркина определяются таким образом, что граничные условия (4.19) и (4.21) для самих искомых функций на частях границы Suи Гх соответственно выпол­ няются точно. В соответствии с этим будем взвешивающие функции N (х) и 0 (х) выбирать таким образом, чтобы они обращались в нуль на Su и Г2 (в противном случае система разрешающих урав­ нений будет переопределена). С учетом вышесказанного интегралы по Su и Гг в соотношениях (4.26), (4.27) и далее обращаются в нуль и в дальнейшем будут опущены.

Воспользовавшись известными соотношениями и теоремами тензорного анализа [2, 121] и учитывая предыдущие замечания,

42

‘$ {[cvT1(Т) e (x)] 0 (x) + [VO (x)] - [V0 (x)] XT (T)> dV = v

Заметим, что при пренебрежении конвективными составляю­ щими в полной производной по времени или использовании под­

совершен переход к их слабой форме (4.28), (4.30) [105]. Для ре­ шения полученной системы (4.28), (4.30) весьма удобным представ­ ляется использование МКЭ [22], причем решение будет определе­

Тг — температура узла г, № '>г (х), 0^ (х) — фупкции формы, ко­

43

ностью (ЗхЗгг), связывающая приращения перемещений в эле­

Заметим, что граничные условия (4.19), (4.21) удовлетворяют­ ся точно в процессе решения, при этом из матриц систем уравне­ ний (4.31), (4.32) удаляются соответствующие строки и столбцы.

Остановимся вкратце на методах решения связанной системы уравнений (4.31), (4.32). Решение связанной системы нелинейных уравнений (4.31), (4.32) осуществляется обычно итерационным путем. При этом на каждой итерации уравнения (4.31) и (4.32) решаются раздельно. Вначале, используя найденное на предыду­ щей итерации распределение температуры, решается задача упругопластичности. Затем по определенному полю напряжений и де­ формаций подсчитываются тепловые источники и решается задача теплопроводности (4.32). После этого процесс итерирования по­ вторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. В силу вышесказанного методы решения и построения расчетных схем для задач упругопластичности и теплопроводности можно рассматривать независимо друг от друга.

Система алгебраических уравнений (4.31), вообще говоря, ли­ нейна относительно бесконечно малых приращений перемещений нагрузок и температур. Однако при решении задачи на ЭВМ при­ ходится оперировать с конечными (хотя и достаточно малыми) приращениями нагрузок и искомых перемещений. Решение полу­

44

чающейся при этом нелинейной системы может быть осуществлено либо методом Иыотона, либо методом Ньютона—Канторовича [22, 50]. Отметим, что в механике деформируемого твердого тела линеаризация осуществляется обычно уже на стадии постановки. При этом метод, подобный методу Ньютона, называют методом переменных параметров упругости или методом переменной жест­ кости. В основе методов другой группы (методы упругих решепий, дополнительных деформаций, начальных напряжений, дополни­ тельных нагрузок) положена идея метода Ньютона—Канторовича. Подробное изложение методов обеих групп, их преимуществ и недостатков содержится в работах [8, 22, 51, 109, 135, 148, 150]. Следует заметить, что, несмотря па очевидную важность вопроса о выборе метода линеаризации исходных уравнений, в настоящее время отсутствуют сколько-нибудь универсальные рекомендации для его решения. Вследствие этого выбор метода линеаризации обычно осуществляется .отдельно для рассматриваемого класса задач, при этом важную роль играют численные эксперименты и сопоставление результатов расчета с экспериментальными дан­ ными.

Опыт авторов в решении задач термоупругопластичиости сви­ детельствует о лучшей сходимости и меньших затратах времени счета на ЭВМ при использовании методов типа Ньютона. В пользу последних говорит и то обстоятельство, что коэффициенты матрицы жесткости и вектора правых частей в (4.31) существеппо зависят от температуры, в силу чего шаг приращения нагрузки не может быть выбран большим (что является основным преимуществом ме­ тодов типа Ньютона—Канторовича). Поэтому при решении всех рассматриваемых в предлагаемой работе задач были использованът методы типа Ньютона, в частности метод переменной жесткости (МШК) [148, 149]. В соответствии с МПЖ весь интервал нагруженоя представляется суммой достаточно малых приращений на­ грузки (силовой или температурной), причем величина шага по нагрузке определяется автоматически из условия перехода на дан­ ном шаге в пластическое состояние только одного конечного эле­ мента из числа упругих.

Достоверность результатов, полученных с использованием метода переменной жесткости, была проверена экспериментально и обсуждается ниже при анализе остаточных напряжений.

Рассмотрим схему расчета температурных полей в рассматри­ ваемых ниже процессах прокатки и волочения [66]. Температур­ ный режим играет определяющую . роль практически во всех процессах обработки металлов давлением (ОМД). Важно отме­ тить, что для исследования интегральных характеристик процес­ сов ОМД достаточно, как правило, знать средние значения темпе­ ратуры во всей исследуемой области или в ее частях. Для изуче­ ния и управления уровнем остаточных напряжений необходимо знать не только среднюю температуру, но и ее распределение в области.

45

G математической точки зрения соответствующая краевая задача (2.46), (2.50)!, (2.51)3>4,бявляется весьма сложной. Мы имеем дело с нестационарным процессом в области сложной геометрии, изменяющей при деформации свою конфигурацию. При расчете поля температур следует учитывать лучеиспускание и взаимоизлучение элементов, естественную и вынужденную конвекцию, вы­ деление тепла от деформации и внешнего трения, принудительное охлаждение, теплообмен с деформирующим инструментом, нали­ чие фазовых превращений, зависимость теплофизических пара­ метров от температуры. Заметим, что для разных профилей и раз­ ных условий процесса меняется относительная роль тепловых факторов. Так, при прокатке крупных профилей (двутавровые балки, швеллеры и т. д.) при высоких температурах (1200—800° С) основную роль играет излучение и взаимоизлучение элементов, при остывании этих профилей до температуры, близкой к темпе­ ратуре окружающей среды, возрастает роль конвекции. При прокатке тонких листов с большими деформациями наиболее важ­ ными являются теплообмен с валками и источник от пластической деформации. При холодной прокатке (от комнатной температуры) и волочении наблюдается интенсивный разогрев от пластической деформации, так как в этом случае велико сопротивление дефор­ мации.

Ниже приводится краткий анализ основных тепловых фак­

где q — удельный тепловой поток; е — степень черноты тела (для углеродистых сталей обычно принимается е = 0,8); Т — темпера­ тура поверхности тела; Т„ — температура окружающей среды; С0 — константа Стефана. Соотношение (4.33) часто записывают в форме закона Ньютона

балок, следует учитывать взаимоизлучение элементов профиля

где Qi — количество тепла, излучаемое i-м элементом поверхно­ сти; Qu — часть Qi, падающая на /-й элемент поверхности.

Вообще говоря, следует учитывать эффект многократного от­ ражения между элементами профиля. Однако оценка этого эф­ фекта показывает, что вторичное излучение обычно дает поправки порядка нескольких процентов, которые не превышают точности

46

расчетов. Взаимоизлучение следует учитывать не только между элементами данного профиля, но и между элементами различных профилей, например, при остывании двутавровых балок на хо­ лодильнике.

Ниже приведены результаты расчета результирующего потока излучения qz с учетом взаимоизлучения элементов для цилиндри­ ческой полости, аппроксимируемой призматической поверхностью:

полусферического излучения единицы площади i-й грани; 6^ — символ Кронекера; М — число граней.

В практических расчетах для тел сложной конфигурации удобно вычисления согласно формуле (4.36) записать в виде подпрограммы на ЭВМ.

Тепловая конвекция может быть учтена с помощью коэффи­

где Nu — критерий Нуссельта; X — коэффициент теплопроводно­ сти воздуха; I — характерный размер тела.

Критерий Нуссельта определяется экспериментально отдельно для свободной и вынужденной конвекции, соответствующие эмпи­ рические формулы приведены в работе [60].

Теплообмен между профилем и инструментом существенно зависит от состояния контактирующих поверхностей. Наличие окалины, воздушных и паровых прослоек создает термическое сопротивление па границе металла. В этом случае удельный теплопоток через поверхность контакта обычно выражается зако­ ном Ньютона

где Т — температура поверхности инструмента в точке контакта. Многочисленные исследования (например, [146]) показывают, что при горячей прокатке значение коэффициента а лежит в пре­ делах 5000—40 000 Вт/(м2град) в зависимости от толщипы окали­ ны. При холодной прокатке толщина окалины уменьшается п потому а достигает значений в несколько сот тысяч Вт/(м2*град). Вследствие малого времени контакта (0,01-7-0,001 с) профиля с инструментом при этом заметно изменяется только температура

поверхностных слоев, а на расстоянии 2—3 мм от поверхности практически остается неизменной. Через несколько секунд после выхода из контакта температура поверхности за счет теплового потока изнутри .почти полностью восстанавливается.

47

Для оценки выделения тепла от пластической деформации вводится коэффициент выхода тепла, равный отношению количе­ ства энергии, превратившейся в тепло, к общему количеству энергии, затрачиваемой в процессе деформации [16]. Для стали этот коэффициент по данным различных авторов составляет 0,84—0,94, уменьшаясь при понижении температуры области. Принимая приближенно, что вся работа пластической деформа­ ции переходит в тепло, мощность теплового источника опреде­ ляется как

где Г, Я — интенсивность касательных напряжений и скоростей деформаций сдвига соответственно.

Мощность поверхностных тепловых источников за счет работы сил трения определяется формулой

(4,40)

в

где тк — касательные контактные напряжения; иск — модуль скорости скольжения металла относительно инструмента.

Существуют различные оценки доли тепла WVp, уходящего в металл. В работе [71] этот вопрос решен, по-видимому, наиболее корректно. С помощью преобразования Лапласа решена задача для системы трех тел: профиль, инструмент, окалина. Предпола­ галось, что тепловой источник от контактного трения действует в слое окалины. Решение показало, что соблюдается примерное равенство потоков тепла в металл и инструмент, т. е. Wx = 1/2W‘Tp.

В процессе прокатки и волочения широко применяется при­ нудительное охлаждение. Для учета последнего необходимы эмпи­ рические зависимости коэффициента теплоотдачи от температуры, расхода охлаждающей жидкости и других факторов.

При построении расчетной модели учтем, что градиент темпе­ ратуры в продольном (по отношению к ходу прокатки или воло­ чения) направлении значительно меньше, чем в поперечных направлениях. Поэтому решение будем вести в подвижной декар­ товой системе координат, связанной с поперечным сечением про­ филя [4, 72, 73]. Тогда в уравнении (2.46) вместо v следует ввести вектор деформационной скорости частиц w.

Разделим задачу на чередующуюся последовательность двух задач: задача А — теплообмен исследуемой области с инструмен­

том в течение времени контакта tx\ задача В — охлаждение об­ ласти на воздухе в течение времени паузы где s — номер пропуска.

Наибольшие трудности вызывает задача А, так как в течение

времени ^ вследствие деформации изменяется конфигурация исследуемой области. Несколько упростим постановку задачи А.

48