книги / Нечёткое, нейронное и гибридное управление

Пример 1.6. Пусть А – нечеткое множество «от 5 до 8» и В – нечеткое множество «около 4» заданы на рис. 1.4. Необходимо показать пересечение, объединение и дополнение множеств.

Рис. 1.3. Графическое представление операций над нечеткими множествами

Рис. 1.4. Представление операций над нечеткими множествами

Пример 1.7. Пусть X R, где R – множество действительных

чисел, тогда множество действительных чисел, «близких числу 7», можно определить функцией принадлежности вида

21

A (x) 1 (x1 7)2 ,

анечеткое множество действительных чисел, «близких к 7», описывается выражением

Пример 1.8. Пусть температура воды в море задана множеством X = X 15 , ... 25 . Выразить с помощью нечетких множеств

оценку температуры воды в море.

Первый отдыхающий, лучше всего чувствующий себя при температуре 21 ºС, определил для себя нечеткое множество

A 0,115 0,317 0,518 0,819 0,9520 211 0,922 0,823 0,7524 0,725 .

Второй отдыхающий, предпочитающий температуру 20 ºС, определил для себя следующее:

B 0,115 0,216 0,718 0,919 201 0,921 0,8522 0,823 0,7524 0,725 .

С помощью нечетких множеств A и B показано неточное определение температуры купания в море.

1.2.2. Свойства операций пересечения и объединения

Пусть А, В и С – нечеткие множества. Им свойственно следующее:

A B B A

1) – коммутативность;

A B B A

22

A (B C) (A B) (A C)

4)– дистрибутивность;

A (B C) (A B) (A C)

5)A A, где – пустое множество, т.е. (x) 0 x E

A ;

6) A E A, где Е – универсальное множество,

A E E;

A B B A

7) – теоремы де Моргана.

A B B A

Замечание. Введенные выше операции (пересечение и объединение) над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

1.3. Лингвистическая переменная. Функции принадлежности. Классификация. Нечеткие числа

1.3.1. Лингвистическая переменная

Принимает значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного языка. Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений. Формально лингвистическая переменная описывается следующей пятеркой:

23

x, T , E,G, M ,

где х – имя переменной; T – терм-множество, каждый элемент которого задается нечетким множеством на универсальном множестве Е; G – синтаксические правила, порождающие названия значений переменной или задающие функции принадлежности термов; М – семантические правила, задающие физический смысл функции принадлежности термов.

Пример 1.9. Рассмотреть с помощью лингвистической переменной x «температура в комнате» через терм-множество.

Температуру в комнате можно выразить через универсальное множество Е с терм-множеством Т ={«холодно», «комфортно», «жарко»} с такими, например, функциями принадлежности:

Синтаксические правила G порождают новые термы с использованием квантификаторов: НЕ, ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ-МЕНЕЕ и т.д.

Семантические правила М, заданы в табл. 1.1.

1.3.2. Функции принадлежности

ФП – важнейшая характеристика нечеткого множества. Если в классической теории множеств понятие характеристическая функция играла второстепенную роль, для нечеткого множества ФП является единственным средством описания как количественной, так и качественной информации.

Существуют разные варианты высказыванийо ФПв литературе.

1.ФП нечеткого множества А приписывает каждому элементу

хХ степень принадлежности к нечетному множеству А [6].

24

2. ФП указывает степень принадлежности элементов x подмножеству А [7].

3.Функцией принадлежности называется функция, позволяющая для произвольного элемента х универсального множества Х вычислить степень его принадлежности нечеткому множеству [8].

4.В теории нечетких множеств характеристическая функция

называется функцией принадлежности, а её значение µA(x) степенью принадлежности элемента х нечеткому множеству А [9].

5.Непрерывная ФП может принимать любые промежуточные значения между 0 и 1 и устанавливает для каждого значения х степень его принадлежности нечеткому множеству М [10].

6.Функция принадлежности определяет характер термы. Численное значение ФП– степень принадлежности элемента х Х.

7.Функция принадлежности используется для представления лингвистических переменных в виде нечетких универсальных множеств.

Функции принадлежности можно строить по результатам экспертных данных.

Пример 1.10. Построить ФП термов «низкий», «средний», «высокий», используемых для лингвистической оценки переменной «рост мужчины» [8]. Результаты опроса пяти экспертов сведены в табл. 1.2.

25

Таблица 1.2

Рост мужчины

Результаты обработки экспертных мнений сведены в табл. 1.3. ГрафикиФП показаны на рис. 1.5.

Таблица 1.3 Обработка результатов экспертных мнений

26

Функции принадлежности полностью описывают нечеткие множества и определяют степень принадлежности элемента x нечеткому множеству, называемому в форме числовых значений в диапазоне [0, 1].

Рис. 1.5. ФП нечетких множеств

Функции принадлежности лингвистических переменных, как правило, перекрывают друг друга, поэтому для одной и той же лингвистической переменной эти функции могут сообщать различные степени принадлежности лингвистических термов, отличающихся от нуля.

Классификация ФП приведена на рис. 1.6. ФП бывают линейные и нелинейные. В табл. 1.4. приведены линейные ФП.

Линейные функции принадлежности

Окончание табл. 1.4

ментное множество; одиночная ФП; унимодальное нечеткое множество на одном x E ; четкая пара (x, x где (x) 1.

28

Рис. 1.6. Классификация ФП

Нелинейные функции принадлежности [55]

Нелинейные ФП включают в себя: сигмоидальные, гауссовские и полиномиальные.

Сигмоидальные ФП включают асимметричные, симметричные, двойные асимметричные и произведение асимметричных ФП.

Асимметричная сигмоидальная ФП (рис. 1.7)

Сигмоидальная ФП может быть применена как в фаззификаторе, так и в качестве активационной функции в нейронах ввиду дифференцируемости на всей области своего определения и имеет следующее математическое описание:

где d1 0,5 – точка центра симметрии ФП; d2 – коэффициент пологости, определяющий наклон кривой.

29

Рис. 1.7. Асимметричная сигмоидальная ФП

Симметричная сигмоидальная функция (рис. 1.8)

(x) 1 e kx .

1 e kx

Рис. 1.8. Симметричная сигмоидальная ФП

30