книги / Нефтегазовая гидромеханика

2.5.Простейшие фильтрационные потоки

2.5.1.Установившееся одномерное движение несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации

Рассмотрим движение несжимаемой жидкости, имеющей вязкость μ, в однородном горизонтальном пласте постоянной толщины h в направлении от контура питания к галерее стока (рис. 2.12). Давление на контуре питания Рк, на галерее стока Рг. Длина пласта L, ширина а. Движение жидкости предполагается установившимся одномерным; закон фильтрации – линейный.

Рис. 2.12. Вертикальное сечение пласта и линия распределения давления в условиях одномерного потока (линия Рк – Рг)

В рамках решения первой задачи определим расход жидкости. Для этого запишем формулу линейного закона фильтрации (в дифференциальном виде):

Знаяскоростьфильтрации, можноопределитьрасходжидкости:

где F – площадь живого (нормального к направлению линий тока) сечения потока. В случае одномерного движения нормальным сечением является прямоугольник площадью F = ah (см. рис. 2.12).

Уравнение (2.17) является формулой расхода жидкости в дифференциальном виде. Для его решения необходимо разделить переменные и проинтегрировать в выбранных пределах.

Для установления закона распределения давления в пласте вернемся к уравнению (2.18). Выберем в пласте произвольное сечение на расстоянии Х (рис. 2.13). Требуется определить давление Р в этом сечении (и в любой точке пласта в пределах от 0 до L).

Для этого проинтегрируем уравнение (2.18) в пределах по давлению от Рк до Р и по расстоянию от 0 до Х:

52

Рис. 2.13. Распределение давления в пласте

В формулу (2.25) подставим ранее полученное выражение для расхода жидкости (2.23):

Формула (2.28) является законом распределения давления в пласте при установившемся одномерном движении несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации. Из этого уравнения видно, что распределение давления в пласте линейное (рис. 2.14).

Формулу распределения давления можно получить в несколько ином виде, проинтегрировав уравнение (2.18) в пределах по давлению от Р до Рг и по расстоянию от Х до L:

Рис. 2.14. Линейное распределение давления в пласте

Уравнение (2.32) также является законом распределения давления в пласте.

2.5.2. Установившееся плоскорадиальное движение несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации

Рассмотрим движение несжимаемой жидкости, имеющей вязкость μ, в однородном горизонтальном пласте постоянной толщины h в направлении от контура питания к скважине. Давление на контуре питания Рк, в скважине – Рс. Радиус контура питания rк, скважины – rс. Движение жидкости предполагается установившимся плоскорадиальным; закон фильтрации – линейный (рис. 2.15).

Решается первая задача, т.е. определяется расход жидкости (дебит скважины) ивыводитсязаконраспределениядавлениявпласте.

Закон фильтрации

54

Рис. 2.15. Плоскорадиальное движение жидкости

Расход жидкости (дебит скважины)

Для решения данного дифференциального уравнения задаемся пределами интегрирования. Давление изменяется от Рк до Рс, радиус – от rc до rк.

rc

Уравнение (2.38) является формулой для определения расхода жидкости (дебита скважины) при установившемся плоскорадиальном движении несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации, также оно называется формулой Дюпюи. В этой формуле разницу P = Pк − Pc называют депрессией.

55

Для вывода закона распределения давления в пласте выберем произвольное сечение радиусом r (rc ≤ r ≤ rк – обязательное условие), давление в котором Р (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Распределение давления в пласте

Проинтегрируем уравнение (2.35) в пределах по давлению от Рк до Р, по радиусу – от r до rк:

в пласте при установившемся плоскорадиальном движении несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации. Очевидно, что распределение давления в пласте логарифмическое (рис. 2.17). Геометрическое тело, образованное вращением этой кривой вокруг оси скважины, называется воронкой депрессии.

56

Рис. 2.17. Логарифмическое распределение давления в пласте

Формулу распределения давления также можно получить, рассматривая при интегрировании другую часть пласта (по аналогии с одномерным движением), тогда она будет выглядеть следующим образом:

Количество жидкости, добываемое скважиной за единицу времени при единичной депрессии, называется коэффициентом продуктивности, т.е. коэффициент продуктивности – это отношение дебита скважины к депрессии, при которой этот дебит получен.

Из формулы (2.38) следует (при kh / μ = const):

c

График зависимости дебита от депрессии называется индикаторной диаграммой (рис. 2.18).

57