книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

10.2. Постановка задачи для вязкой сжимаемой среды

Описание движения вязкой сжимаемой жидкости (газа) требует определения шести неизвестных функций: распределения трех компонент vx, vy и vz вектора скорости, давления p, плотности ρ и температуры T (для теплопроводной среды). Замкнутая система уравнений механики жидкости и газа в этом случае содержит пять уравнений в частных производных:

– уравнение неразрывности (8.2)

111

и одно нелинейное алгебраическое уравнение состояния – уравнение Менделеева – Клайперона (8.6)

p = β1 ρRT .

Всего используется шесть уравнений для шести искомых функций: компонент vx, vy и vz вектора скорости, давления p, плотности ρ и температуры Т. Получение единственного решения пространственной задачи о нахождении шести перечисленных функций в общем случае требует задания в каждой точке границы жидкости или газа различных комбинаций граничных условий:

– три кинематических условия на входной и выходной границах,

vx = Vx, vy = Vy, vz = Vz;

– условие для давления p, например на входной границе,

p= pГ;

–условие, например, первого рода для температуры на входной и выходной границах,

T= TГ;

–условие для плотности ρ, например на входной границе,

ρ = ρΓ ,

на непроницаемых границах – отсутствие потока плотности (условие второго рода):

∂ρ = 0 . ∂n

Записанные граничные условия дополняются начальными условиями, задаваемыми в каждой точке области:

112

После нахождения решения этой системы уравнений распределения искомых функций позволят при необходимости определить с помощью кинематических соотношений (7.4) компоненты тензора скорости деформации и далее с использованием выражений (7.5) – компоненты тензора напряжения для вязкой жидкости или газа.

10.3. Постановка задачи для вязкой несжимаемой среды

Несжимаемость жидкости (газа) означает, что объем жидкости (газа) при движении не изменяется и, следовательно, ее плотность ρ = const. Описание движения вязкой несжимаемой жидкости (газа) требует определения распределений пяти неизвестных функций: трех компонент vx, vy и vz вектора скорости, давления p и температуры T (для теплопроводной среды).

При dρdt = 0 из уравнения неразрывности (8.2) следует урав-

нение несжимаемости

∂vx + ∂vy + ∂vz = 0 . ∂x ∂y ∂z

Уравнения Навье – Стокса (10.1) упрощаются до формы уравнения Стокса:

113

Получение единственного решения пространственной задачи о нахождении пяти перечисленных функций требует в общем случае задания в каждой точке границы жидкости или газа различных комбинаций граничных условий:

– например, три кинематических условия на входной границе,

vx = Vx, vy = Vy, vz = Vz;

– три кинематических условия на выходной границе,

– условие для давления p, например на входной границе,

p= pГ;

–условие первого рода для температуры, например на входной границе,

T= TГ,

иусловие второго рода на выходной границе,

η∂∂Tx = Jx ,

где Jx – известное распределение теплового потока вдоль выходной границы;

– условие для плотности ρ, например на выходной границе,

∂ρ = 0 . ∂x

Записанные граничные условия дополняются начальными условиями, задаваемыми в каждой точке области:

114

10.4. Постановка задачи для невязкой сжимаемой среды

Жидкость (газ) является невязкой (идеальной), если для нее коэффициенты вязкости равны нулю: μ = 0 (ν = 0) и λ = 0. Описание движения невязкой сжимаемой жидкости (газа) требует определения распределений шести неизвестных функций: трех компонент vx, vy и vz вектора скорости, давления p, плотности ρ и температуры T (для теплопроводной среды). Замкнутая система уравнений механики жидкости и газа в этом случае содержит пять уравнений в частных производных:

– уравнение неразрывности (8.2)

– уравнения Навье – Стокса (10.1) в форме уравнений Эйлера54:

– уравнение теплопроводности (8.5)

и одно нелинейное алгебраическое уравнение состояния – уравнение Менделеева – Клайперона (8.6)

p = β1 ρRT .

54 Эйлер Леонард (04.04.1707–07.09.1783) – математик, механик, физик. Получил степень магистра искусств в Базельском университете. Член Петербургской, Берлинской и Парижской академий наук, Лондонского королевского общества.

115

Получение единственного решения пространственной задачи о нахождении шести перечисленных функций требует в общем случае задания в каждой точке границы жидкости или газа различных комбинаций граничных условий:

– три кинематических условия, например на входной границе, vx = Vx, vy = Vy, vz = Vz;

– условие для давления p, например на входной границе,

p= pГ;

–условие первого рода для температуры, например на входной границе,

T= TГ,

иусловие третьего рода для температуры на выходной границе,

η∂∂Tx = −α (T − Tср ),

где α – коэффициент теплоотдачи в окружающую среду с температурой Тср;

– условие для плотности ρ, например на входной или выходной границе,

ρ = ρΓ .

Постановка задачи дополняется начальными условиями, задаваемыми в каждой точке области:

10.5. Постановка задачи для невязкой несжимаемой среды

Как уже отмечалось, для невязкой жидкости (газа) коэффициенты вязкости равны нулю: μ = 0 (ν = 0) и λ = 0; несжимаемость жидкости (газа) означает, что объем жидкости при движении не изменяется, то есть ее плотность ρ = const.

116

Описание движения невязкой несжимаемой жидкости (газа) требует определения пяти неизвестных функций распределения трех компонент vx, vy и vz вектора скорости, давления p и температуры T (для теплопроводной среды). Замкнутая система уравнений механики жидкости и газа в этом случае содержит пять уравнений в частных производных:

– уравнение неразрывности (8.2) для несжимаемой среды, то есть уравнение несжимаемости

∂vx + ∂vy + ∂vz = 0 ; ∂x ∂y ∂z

– уравнения Навье – Стокса (10.1) в форме уравнений Эйлера:

Получение единственного решения пространственной задачи о нахождении шести перечисленных функций требует в общем случае задания в каждой точке границы жидкости или газа различных комбинаций граничных условий:

– три кинематических условия, например на выходной границе,

117

– условие для давления p, например на входной границе,

p= pГ;

–условие первого рода для температуры, например на входной границе,

T= TГ,

–условие второго рода для температуры на выходной границе,

η∂∂Tx = Jx .

Постановка задачи дополняется начальными условиями, задаваемыми в каждой точке области:

118

11. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ МАТЕРИАЛОВ

В случае если для сформулированных краевых задач механики деформируемого твердого тела, жидкости и газа, то есть систем, содержащих линейные и нелинейные алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных с соответствующими краевыми условиями, невозможно получить точное решение, используются соответствующие методы приближенного или численного решения с использованием вычислительной техники.

Основная идея численного решения краевой задачи численными методами заключается в сведении исходной дифференциальной задачи к системам алгебраических (линейных или нелинейных) уравнений. В связи с этим возникает необходимость в решении получаемых систем алгебраических уравнений высокого порядка (тысячи и миллионы алгебраических уравнений). Исходя из этого, далее рассматриваются некоторые подходы к решению задач вычислительной математики [4, 7, 12, 21]: прямые и итерационные методы решения линейных и нелинейных алгебраических уравнений и их систем. Для построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются эволюционные алгоритмы методов Эйлера и Рунге – Кутты. Приводятся сведения о методах численного интегрирования и способах аппроксимации функций полиномами Ньютона и Лагранжа, методом наименьших квадратов.

При использовании вычислительных методов решения инженерных задач необходимо уделять пристальное внимание вопросам аппроксимации дифференциальных и интегральных соотношений разностными схемами, устойчивости используемых вычислительных схем, оценкам их погрешностей, условиям сходимости получаемых численных решений к точным решениям поставленных задач.

Подробно рассматривается метод стержневых конечных элементов, как простейший вариант метода конечных элементов. Приводятся

119

сведения о процедуре ансамблирования конечных элементов для аппроксимации области, занятой исследуемым телом (деталью, узлом, агрегатом строительно-дорожной машины). Приводится пример оценки погрешности решения прикладной задачи методом конечных элементовпутем сравненияс точным решениемтойже задачи.

11.1. Система линейных алгебраических уравнений

Система m линейных алгебраических уравнений с m неизвестными величинами представляется в виде