книги / Моделирование химико-технологических процессов
..pdf
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
Результаты параллельных опытов |
|||
•^оп |
1 |
2 |
3 |
4 |
X |
0 |
0 |
0 |
0 |
y°j |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
1,3 |
Требуется проверить полученное уравнение на адекватность. Решение Подставив значения фактора х в уравнение регрессии, определим
расчетные значения параметра оптимизации: :(—0,4; 0,4; 1,2; 2,0; 2,8).
По формуле (2.17) определим среднее значение параметра оптими зации в параллельных опытах,
2>у'
У° = — — - = 1 ,
т
где т количество параллельных опытов, равное четырем.
По формулам (2.15) вычислим значения дисперсий адекватности и воспроизводимости:
i f r v * )
|
ст2 |
= м |
■= 0,1. |
иЛПГа 2 |
= 0,047, |
|
и ад |
Уаг |
|
Л , |
|
|
|
|
|||
где |
—я / |
1 —3 , |
Ув0С —/я 1 |
3 , л |
5,/ 1. |
По формуле (2.14) определим расчетное значение критерия Фишера и сравним его с критическим значением, взятым по таблице в приложе нии 5 для /ад = 3; /вое = 3 и 5 %-го уровня значимости, принимаемого в хи мико-технологических расчетах.
F = ( 4 / « & .= 2,14 < F Kp= 9,3.
Вывод - уравнение регрессии адекватно описывает процесс.
3.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОТОКА
ВАППАРАТЕ - ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
Известно, что гидродинамическая структура потока в аппарате су щественно определяет эффективность и завершенность химико технологических процессов. При этом математическая модель структуры потока является основой, на которой строится математическое описание всего химико-технологического процесса. Однако поведение потока в ап парате является настолько сложным, что в большинстве случаев не подда ется строгому математическому описанию. Следовательно, необходимо найти такой параметр оценки структуры потока, который, не вдаваясь в математические подробности, позволил бы качественно его охарактеризо вать. Одним из таких параметров является функция распределения по вре мени пребывания (РВП ) частиц потока в аппарате рис. 3.1.
Рис. 3.1. Функция распределения по времени пребывания частиц потока в аппарате
Функция РВП отражает время пребывания различных долей потока в аппарате и, следовательно, характеризует длительность взаимодействия компонентов реакционной смеси.
Если известен явный вид функции РВП и кинетические закономер ности процесса, то, составив математическую модель, легче определить оптимальные условия его протекания.
Характер функции РВП определяется неравномерностью потока в аппарате, имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распределением.
Наиболее существенными источниками неравномерности потока яв ляются:
-неравномерность профиля скоростей;
-турбулизация потока;
-наличие застойных зон;
-каналообразование, перекрестные и байпасные токи;
-температурные градиенты движущихся сред;
-тепло- и массообмен между фазами и т.д.
Рассмотрим наиболее распространенные экспериментальные методы исследования структуры потоков.
3.1. Методы исследования структуры потоков
Сущность указанных методов заключается в том, что на входе пото ка в аппарат вводят индикатор, а на выходе измеряют его концентрацию как функцию времени. Полученная выходная кривая называется функцией отклика системы на типовое возмущение по составу потока. В качестве индикаторов обычно используются красители, растворы солей и кислот, изотопы и др. вещества.
Индикатор должен соответствовать следующим требованиям:
-поведение частиц индикатора в аппарате должно быть подобно по ведению частиц потока;
-индикатор не должен взаимодействовать со средой;
-должен легко измеряться.
Взависимости от способа подачи индикатора различают три основ ных метода исследования структуры потоков: импульсный; ступенчатый; циклический.
Импульсный метод
В соответствии с импульсным методом на входе потока в аппарат, практически мгновенно, в виде дельта функции, вводят определенное ко личество индикатора. Тогда возмущающий сигнал и кривая отклика будут иметь следующий вид (рис. 3.2).
Если обозначить объемный расход потока через V , а эксперимен тальную функцию отклика, представляющую собой концентрацию инди катора на выходе потока из аппарата как функцию времени t через Сэ(г), то количество индикатора, время пребывания которого в аппарате изменяет
ся от / до t + dt, составит |
|
dG = VC3{t)dt, |
(3.1) |
а отношение dG ко всему количеству индикатора G выразит долю индика тора, вышедшего из аппарата за то же самое время:
отклик
Рис. 3.2. Кривая отклика на импульсное возмущение
_dG VC,(t)dt
G |
G |
(3.2) |
|
||
где G можно определить как |
|
|
G = v ]c ,(t)d t. |
(3.3) |
|
0 |
|
|
Тогда, подставив значение G из уравнения (3.3) в уравнение (3.2), |
||
получим |
|
|
dR = C,(t)dt |
= C (t)dt> |
(3 4) |
] c 3(t)dt |
|
|
о |
|
|
где выражение |
|
|
С (0 = ^ |
|
(3.5) |
/С Э(/)Л
0
задает нормированную С-кривую.
Так как поведение индикатора в аппарате идентично поведению ос новного потока, то выражения (3.2) и (3.4) представляют собой долю по тока, время пребывания которого изменяется от / до / + dt.
Одной из основных характеристик кривой распределения является среднее время пребывания потока в аппарате,
i = \dR. |
(3.6) |
о
С учетом формул (3.4) - (3.6) получим
t=*\tC(t)dt. (3.7)
о
Использование полученной функции отклика в натуральных значе ниях координат Сэ(/) - t не всегда бывает удобным для расчетов, поэтому кривую отклика обычно приводят к безразмерному виду С (0 )-0 и назы вают С-кривой.
Здесь 0 - безразмерное время,
|
0 = ///; |
(3.8) |
а С (0 )- безразмерная концентрация, |
|
|
|
с(е )= с э(/)/с э°, |
(3.9) |
где С ° - |
начальная концентрация индикатора в потоке, |
|
|
С° = G/V, |
(3.10) |
здесь V- |
объем аппарата. |
|
Среднее время пребывания потока в аппарате можно также предста вить в виде отношения объема аппарата Vк объемному расходу потока,
t - VIV |
(3.11) |
Установим связь между dR и С(0). Для этого умножим и разделим правую часть уравнения (3.2) на С,7 и с учетом уравнений (3.8) - (3.11) получим
А - |
С* t |
|
= С (0 )Л , |
(3.12) |
GCyf |
G V |
|
||
где |
dQ = d t / t . |
|
|
(3.13) |
|
|
|
||
Таким образом |
сЖ = С(в)с®. |
|
(3.14) |
|
|
|
|||
Теперь найдем связь между С(0),С(/) |
и |
t . На основании уравнений |
||
( 3 .4 - 3 .1 4 ) имеем |
|
|
|
|
C(Q)dQ = C(t)dl -> C (Q )j = C(l)dt -> C(0) =FC(f). |
(3-15) |
Если построить экспериментальную кривую в нормированных коор динатах, то доля потока, пребывающего в аппарате в течение времени от О до 0, будет определяться по формуле
0 |
|
|С(0)</0 |
(3.16) |
о |
|
естественно, что |
|
°JC(0)dB = l. |
(3.17) |
о |
|
Таким образом, С-кривая является характеристикой распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате.
Ступенчатый метод
В соответствии со ступенчатым методом концентрацию индикатора на входе потока в аппарат меняют скачкообразно от нуля до некоторого значения (или от некоторого значения до нуля) и в дальнейшем оставляют неизменной.
Кривая отклика при этом имеет вид, представленный на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Кривая отклика на ступенчатое возмущение
Если выразить данную зависимость в безразмерных координатах F ( 0 ) - 0 , то она будет называться F -кривой, где
F (0 ) = F (O /F (o o ). |
(3.18) |
В данном случае доля элементов потока, время пребывания которых находится в пределах от 0 до 0 + </0, составит
|
ЙР(0) = С (0 )Л , |
(3.19) |
а доля элементов потока со временем пребывания от 0 до 0 |
|
|
|
0 |
|
|
F (0 ) = JC (0)d 0. |
(3.20) |
|
о |
|
Так как сумма всех долей жидкости в аппарате равна 1, то площадь |
||
под С-кривой равна 1 и F (0 ) |
1 при 0 -> оо, т.е. |
|
1 |
« |
|
Jd F (0)= JC(0)dB = l. |
(3.21) |
|
о |
о |
|
Среднее время пребывания потока в аппарате
t= ™\tC(t)dt = *\tdF = -\ td {\ -F ). |
(3.22) |
||
0 |
0 |
0 |
|
Проинтегрировав полученное выражение по частям, получим |
|
||
H i - П |
= [r(l - |
F) = 0 ] - ](1 - F)dt. |
(3.23) |
о |
|
о |
|
Окончательно среднее время пребывания потока выразится через |
|||
функцию F следующим образом: |
|
|
|
|
t= \ \ -F )d t. |
(3.24) |
|
|
|
о |
|
Геометрически среднее время пребывания потока соответствует пло щади над кривой F(t).
Циклический метод
При циклическом методе концентрацию индикатора на входе потока в аппарат изменяют по синусоидальному закону. В этом случае функция отклика тоже представляет собой синусоиду, но имеющую другую ампли туду и сдвинутую по фазе (рис. 3.4).
С помощью циклического метода можно определить коэффициент обратного перемешивания потока. Организовать подачу индикатора по добным образом сложнее, поэтому данный метод менее распространен.
Рис. 3.4. Кривая отклика на циклическое возмущение
3.2. Основные характеристики функции распределения потока по времени пребывания в аппарате
Основными характеристиками распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате являются моменты С-кривой. В зави симости от начала отсчета случайной величины различают начальные и центральные моменты.
Начальные моменты
Общий вид начальных моментов
|
Щ = |
(3.25) |
|
о |
|
где Р - |
номер момента; |
|
- нулевой момент - площадь под кривой, |
|
|
|
А * 0 = ]'°С (/)< * ; |
(3.26) |
|
О |
|
|
|
|
- |
первый момент характеризует среднее время пребывания или ма |
|
тематическое ожидание случайной величины времени пребывания, |
|
|
|
Л/| = Jf'C (/ )A . |
(3.27) |
|
о |
|
Случайные величины, отсчитываемые от математического ожида ния, называются центрированными. Моменты центрированной величины называются центральными.
Центральные моменты
Общий вид центральных моментов
Ир = \ t - i f c { t ) d t . |
(3.28) |
О |
|
Нулевой и первый центральные моменты соответственно равны:
|10=Л^о; |
H i=0. |
Второй центральный момент характеризует рассеяние случайной ве личины относительно среднего времени пребывания и называется диспер сией.
Й2 = \ t - i ) 2C(t)dt. |
(3.29) |
О |
|
Третий центральный момент характеризует асимметрию распреде ления.
ц3 = ](Г - / )3С(О Л . |
(3.30) |
о |
|
Четвертый центральный момент определяет островершинность рас пределения.
ц4 = ] ( г - 0 4С(/)Л. |
(3.31) |
о |
|
4.ТИ П О ВЫ Е МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ ПОТОКА
Сложный характер взаимодействия фаз в аппаратах вынуждает нас прибегать к приближенному представлению о внутренней структуре пото ка на уровне типовых гидродинамических моделей: идеального переме шивания (ИП), идеального вытеснения (ИВ), ячеечной модели (ЯМ), яче ечной модели с рециркуляцией (ЯМР), диффузионной модели (ДМ) и др. Эти модели являются простыми и носят полуэмпирический характер. Тем не менее они позволяют получать математическое описание, достаточно точно отражающее физическую сущность реальных процессов, и адекват ное объекту моделирования.
Требования к моделям:
-отражение физической сущности реального потока при достаточно простом математическом описании;
-простота определения параметров экспериментальным или расчет
ным путем; -удобство для использования при расчетах конкретных химико
технологических процессов.
Типовые модели подразделяются на два класса: идеальные и реаль
ные.
К первому классу относятся модели ИП и ИВ, они предполагают идеальную структуру потока и не всегда адекватны реальным процессам. Для описания реальных объектов чаще применяют модели второго класса, среди них наиболее распространены: ЯМ ; ЯМР и ДМ.
4.1. Модель идеального перемешивания
Модель ИП представляет теоретическую модель с идеализированной структурой потока. В соответствии с ней принимается, что поступающий в аппарат поток, вследствие полного перемешивания частиц среды, мгно венно распределяется по всему объему. При этом концентрация распреде ленного вещества во всех точках аппарата одинакова и равна концентра ции на выходе. Схематично данную модель можно представить следую щим образом:
|
скачок |
Свх |
^ С = Свых |
где Свх и С = Свьк концентрации вещества на входе в аппарат и выходе цз аппарата соответственно.
Модель ИП наиболее адекватно воспроизводит структуру потока в аппаратах с мешалками (рис. 4.1), имеющими эллиптические или полу сферические днища, соотношение высоты и диаметра корпуса близкое к единице, и снабженными отражательными перегородками.
Получим модель ИП исходя из уравнения материального баланса. В соответствии с материальным балансом в стационарных условиях и при отсутствии химических превращений приход равен расходу, т.е.
й свх ~ У С . Но при изменении концентрации на входе, или при наличии превращений, изменение количества вещества в аппарате в единицу вре
мени будет равно разнице между приходом и расходом |
|
|
v ^ - = V(Cn ~ c ) |
^ = |
(4-1) |
где t = V/V - среднее время пребывания потока в аппарате.