книги / Общая электротехника и электроника
..pdf
вод и является законом коммутации, который можно записать в виде
iL(t–) = iL(t+); uC(t–) = uC(t+), |
(4.2) |
где t – момент времени, в который произошла коммутация в цепи. Токи в индуктивных элементах iL(t–) и напряжения на емкостных элементах uC(t–) непосредственно перед коммутацией называются начальными условиями. Если токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах цепи в момент времени (t–) равны нулю, то эти условия называются нулевыми
начальными условиями.
4.4. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним емкостным элементом
4.4.1. Зарядка емкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент
Переходный процесс в цепи на рис. 4.1, а, б (переключатель в положении 1) описывается неоднородным дифференциальным уравнением на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома uR = Ri и соотношения между током зарядки и напряжением
в емкостном элементе i = С duC , т.е.
dt |
|
||
uR + uС = Ri + uС = R С |
duC |
+ uС = E. |
(4.3) |
|
|||
|
dt |
|
|
Общее решение уравнения (4.3) представляет собой сумму двух составляющих:
duC |
= u |
+ u |
Ссв |
. |
(4.4) |
|
|||||
|
Су |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
71
а |
б |
в |
Рис. 4.1. Переходный процесс: а – схема; б – график заряда; в – график разряда
Первая составляющая соответствует установившемуся режиму uСу = E, так как зарядка закончится, когда напряжение uС будет равно напряжению ЭДС.
Вторая составляющая соответствует свободному процессу, т.е. решению однородного дифференциального уравнения первого порядка
|
duC |
|
рt |
|
|
|
RC |
|
+ uС = 0 и равна |
uСсв = Ае |
, |
(4.5) |
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
гдер = –1/RC – кореньхарактеристическогоуравненияRCp + 1 = 0. Общее решение будет иметь вид
uС = uСу + uСсв = Е + Ае–t/RC. |
(4.6) |
До замыкания ключа, т.е. в момент времени t = 0, емкостной элемент не был заряжен:
uС (0) = 0 = uС(0+) = Е + А, откуда А = –Е. |
(4.7) |
Подставив значение постоянной А в выражение (4.6), найдем напряжение на емкостном элементе во время зарядки
(см. рис. 4.1, б):
uC = E(1− е−t / τ ), |
(4.8) |
72
где τ = RC, имеет размерность времени (Ом·Ф = Ом·А·с/В = с) и называется постоянной времени цепи. Она определяет скорость переходного процесса.
Соответственно,
iC = C |
dUC |
= |
E |
е−t / τ; uR = Ri = E е−t / τ. |
(4.9) |
dt |
|
||||
|
|
R |
|
||
В первый момент времени при замыкании ключа, т.е. при t = 0+, ток в цепи i(0+) = E/R.
При 0 ≤ t ≤ τ скорость изменения напряжения на емкост-
ном элементе можно считать постоянной: |
dUC |
|
= E/RC, |
|
|
│ |
|||
|
dt |
|
t =0+ |
|
|
|
|
|
|
а напряжение uC – пропорциональным интегралу напряжения
источника ЭДС Е, uC ≈ |
E |
t = |
1 |
t Edt. Следовательно, цепь |
|
RC |
|||
|
RC |
0 |
||
с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов при определенных условиях можно рассматривать как интегрирующую и дифференцирующую, что широко используется в радиотехнике.
В большинстве случаев процесс зарядки можно считать практически закончившимся через интервал времени, равным 3τ, который может быть достаточно большим (чем больше R и С), что используется в реле времени – устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени.
4.4.2. Разрядка емкостного элемента через резистивный элемент
В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энергия, за счет которой емкостной элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения uC = Е, к резистивному эле-
73
менту с сопротивлением R (рис. 4.1, в), переключатель находится в положении 2, ток в цепи будет обусловлен изменением заряда q емкостного элемента:
i = − |
dq |
= −C |
duC |
, |
(4.10) |
dt |
|
||||
|
|
dt |
|
||
где знак «минус» указывает на то, что i – это ток разрядки в контуре цепи, направленный навстречу напряжению на емкостном элементе.
Дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения (4.10) будет следующим:
uR – uC = Ri – uC = RC |
duC |
+ uC = 0. |
(4.11) |
|
|||
|
dt |
|
|
Поскольку в цепи разряда емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (4.11) однородное и его общее решение состоит только из свободной составляющей [см. формулу (4.5)]. Учитывая, что конденсатор был заряжен до напряжения источника питания, получится
uC = E е−t / τ, |
(4.12) |
где τ – постоянная времени цепи, τ = RC.
Разрядный ток находится исходя из формулы (4.10):
i = −C |
duC |
= |
E |
e(−t / τ) . |
(4.13) |
dt |
|
||||
|
|
R |
|
||
Ток разрядки изменяется скачком от нуля до значения i(0+) = E/R, а затем убывает по экспоненциальному закону.
74
ГЛАВА 5. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
5.1. Магнитное поле
Вокруг проводника с током возникает магнитное поле, которое проявляется во влиянии на магнитную стрелку компаса (два проводника взаимодействуют один с другим и т.д.). Силовое действие магнитного поля имеет и другие проявления. Согласно классической теории электромагнетизма источниками магнитного поля являются электрические макро- и микротоки. Фарадеем был введен термин «магнитное поле». Позже классическую теорию магнитного поля создал Максвелл, а в ХХ в. появилась его квантовая теория.
Наличие магнитного поля на схемах обозначают магнитными силовыми линиями. Их свойства следующие:
1.Всегда замкнуты в пространстве.
2.Их направление обозначают стрелками. Они исходят, как и магнитное поле планеты Земля, от полюса северного полушария N (норд, север) к полюсу южного полушария S (зюйд, юг). Это обозначение принято и для магнитов.
3.Интенсивность магнитного поля при необходимости отождествляют с плотностью силовых линий.
5.2. Элементы магнитной цепи
Магнитной цепью (магнитопроводом) называется совокупность различных электротехнических устройств из ферромагнитных и неферромагнитных частей (например, из электротехнической стали) для создания магнитных полей нужных конфигурации и интенсивности. В зависимости от принципа действия электротехнического устройства магнитное поле может возбуждаться либо постоянным магнитом, либо катушкой с током, расположенной в той или иной части магнитной цепи.
75
а |
б |
в |
Рис. 5.1. Магнитопроводы: а – тор; б – разветвленный;
в– с постоянным магнитом
Кпростейшим магнитным цепям относится тороид из однородного ферромагнитного материала, применяемого в многообмоточных трансформаторах, магнитных усилителях и других электротехнических устройствах (рис. 5.1, а).
На рис. 5.1, б изображена сложная магнитная цепь электротехнического устройства, подвижная часть которого втягивается в электромагнит при постоянном (или переменном) токе
вкатушке. Сила притяжения зависит от положения подвижной части магнитопровода.
На рис. 5.1, в изображена магнитная цепь, в которой магнитное поле возбуждается постоянным магнитом. Если подвижная катушка, расположенная на ферромагнитном цилиндре, включена в цепь постоянного тока, то на нее действует вращающий момент. Поворот катушки с током практически не влияет на магнитное поле магнитной цепи.
Магнитные цепи бывают неразветвленные (см. рис. 5.1, а, в),
вкоторых магнитный поток в любом сечении цепи одинаков,
и разветвленные (см. рис. 5.1, б), в которых магнитные потоки в различных сечениях цепи различны. В общем случае разветвленные магнитные цепи могут быть сложной конфигурации (например, в двигателях, генераторахи другихустройствах).
В большинстве случаев магнитную цепь следует считать нелинейной и лишь при определенных допущениях и определенных режимах работы ее можно считать линейной.
76
5.3. Закон полного тока для магнитной цепи
Закон полного тока получен на основании многочисленных опытов (рис. 5.2) (магнитное поле вокруг проводников). Он устанавливает, что интеграл от напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру (циркуляция вектора напряженности) равен алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром:
ŠHdl = I. |
(5.1) |
При этом положительными следует считать те токи, направление которых соответствует обходу контура по направлению движения часовой стрелки (правило буравчика), и отрицательным, если их направление не соответствует. В частности, если в пучке проводов из четырех цепей (см. рис. 5.2) для трех токи совпадают с направлением по правилу буравчика, а для одного не совпадают, то по закону полного тока
ŠHdl = I1 + I2 + I3 − I4 . |
(5.2) |
Величина I в формуле (5.1)
называется магнитодвижущей силой
(МДС). Основной единицей МДС в СИ является ампер (А). Основная единица напряженности Н магнитного поля в СИ – ампер на метр (А/м) – особого названия не имеет. Часто применяется также единица, кратная основной единице напряжен-
ности магнитного поля, – ампер на сантиметр (1 А/см = 100 А/м). Магнитную цепь большинства электротехнических устройств можно представить состоящей из совокупности участ-
77
ков, в пределах каждого из которых можно считать магнитное поле однородным, т.е. с постоянной напряженностью, равной напряженности магнитного поля Hk вдоль средней линии участка длиной lk. Для таких магнитных цепей можно заменить интегрирование в формуле (5.1) суммированием.
Если при этом магнитное поле возбуждается катушкой с током I, у которой w витков, то для контура магнитной цепи, сцепленного с витками и состоящего из n участков, вместо выражения (5.1) можно записать
n |
|
Hk lk = Iw. |
(5.3) |
k =1
Если контур сцеплен с несколькими m катушек с витками и токами, то
n |
m |
m |
|
Hk lk |
= I p wp |
= Fp , |
(5.4) |
k =1 |
p=1 |
p=1 |
|
где Fp = Ipwp = МДС.
Согласно закону полного тока МДС F равна сумме произведений напряженностей магнитного поля на длины соответствующих участков для контура магнитной цепи. Произведение Hklk = Uмk часто называют магнитным напряжением участка магнитной цепи.
5.4. Свойства магнитных материалов
Магнитное состояние любой точки изотропной среды, т.е. среды с одинаковыми свойствами во всех направлениях, вполне определяется вектором напряженности магнитного поля Н и вектором магнитной индукции В, которые совпадают друг с другом по направлению (рис. 5.3, а).
Основная единица магнитной индукции в СИ – тесла (Тл), 1 Тл = 1 Вб/м2 = 1 В·с/м2. Это индукция такого однородного
78
магнитного поля, в котором магнитный поток Ф через поверхность площадью 1 м2, перпендикулярную направлению магнитных линий поля, равен одному веберу, или В = Ф/S, где S – площадь поперечного сечения магнитопровода.
В вакууме индукция и напряженность магнитного поля связаны соотношением В = μ0Н, где μ0 – магнитная постоянная для вакуума, μ0 = 4π·10–7 Гн/м. Для магнитных материалов зависимость индукции от напряженности магнитного поля В(Н) в общем случае нелинейная.
На рис. 5.3, а представлена типовая кривая намагничивания для ферромагнитного материала (например, тороида с обмоткой намагничивания c числом витков w).
а |
б |
Рис. 5.3. Петля гистерезиса: а – полная; б – частичная
Можно считать, что в тороиде из ферромагнитного изотропного материала с плотно намотанными витками все магнитные линии – окружности, а векторы напряженности и индукции магнитного поля направлены по касательной к соответствующей окружности (см. рис. 5.3, а).
При расчете напряженности и индукции магнитного поля в тонкостенном тороиде можно считать, что все магнитные линии имеют одинаковую длину, равную длине средней линии 2πr.
79
Каждому значению напряженности Н магнитного поля в тонкостенном тороиде соответствует определенная намагниченность ферромагнитного материала, а следовательно, и значение магнитной индукции В.
Начальное магнитное состояние материала характеризуется значениями Н = 0, В = 0. При плавном нарастании тока получим нелинейную зависимость В(Н), которая называется кривой перво-
начального намагничивания (на рис. 5.3, а штриховая линия).
Начиная с некоторых значений напряженности Н магнитного поля, индукция В практически перестанет увеличиваться и останется равной Вmax. Эта область зависимости В(Н) называется обла-
стью технического насыщения.
Если при достижении насыщения начать плавно уменьшать напряженность поля до нуля, то индукция начнет уменьшаться, но зависимость В(Н) уже не совпадет с кривой первоначального намагничивания. Если изменить направление напряженности, при значительных отрицательных его значениях снова наступит техническое насыщение материала. После нескольких циклов перемагничивания будет получена симметричная кривая (сплошная линия на рис. 5.3, а). Этот замкнутый цикл
В(Н) называется предельной статической петлей гистерезиса,
или предельным статическим циклом гистерезиса магнитного материала. Если во время симметричного перемагничивания область технического насыщения не достигается, то симметрич-
ная кривая В(Н) называется симметричной частной петлей гистерезиса ферромагнитного материала (рис. 5.3, б).
Предельный статистический цикл гистерезиса материалов характеризуется следующими параметрами: Нс – коэрцитивная сила; Вr – остаточная индукция; k□ – коэффициент прямоуголь-
ности, k□ = Br/Bмах.
По значению параметра Нс предельного статического цикла гистерезиса материалы делят на группы:
1) магнитные материалы с малыми значениями коэрцитивной силы (Нс < 0,05–0,01 А/м) называются магнитно-мягкими (узкая петля);
80