книги / Надежность электрических машин
..pdf61
Нижняя и верхняя квартили равны соответственно 25-й и 75-й
процентилям распределения. 25-я процентиль переменной – это значение, ниже которого располагается 25 % значений переменной; 75-я процентиль равна значению, ниже которого расположено 75 % значений переменной. Итак, три точки – нижняя квартиль, медиана и верхняя квартиль – делят выборку на четыре равные части: 1
4 наблюдений лежит между минимальным значени-
ем и нижней квартилью, 1
4 – между нижней квартилью и медианой, 1
4 – между медианой и верхней квартилью, 1
4 – между
верхней квартилью и максимальным значением выборки. Квартильный размах переменных (термин был впервые ис-
пользован Гальтоном в 1882 г.) равен разности 75-й процентили и 25-й процентили. Таким образом, это интервал, содержащий медиану, в который попадает 50 % наблюдений.
Мода (термин был впервые введён К. Пирсоном в 1894 г.) – это максимально часто встречающееся (наиболее модное) значение переменной. Например, популярная передача, модный цвет или марка товара, типичная реакция водителей на сигнал светофора о прекращении движения, выбор цвета обоев и т. д. хорошо описываются модой.
Если распределение имеет несколько мод, то оно мультимодально или многомодально (при двух или более максимально часто встречающихся значениях переменной). Мультимодальность распределения даёт важную информацию о природе исследуемой переменной. Она также служит индикатором того, что выборка не является однородной и наблюдения, возможно, порождены двумя или более «наложенными» распределениями.
Квантиль выборки (термин был впервые использован Э. Кендаллом в 1940 г.) представляет собой число хр, ниже которого находится р-я часть (доля) выборки. Например, квантиль 0,25 для некоторой переменной – это такое значение (хр), ниже которого находится 25 % значений переменной; квантиль 0,75 – это такое значение, ниже которого попадают 75 % значений выборки.
62
Асимметрия, или коэффициент асимметрии (термин впер-
вые введён Пирсоном в 1885 г.), является мерой несимметричности распределения. Если этот коэффициент значительно отличается от нуля, распределение является асимметричным.
Эксцесс, или коэффициент эксцесса (термин впервые введён Пирсоном в 1905 г.), измеряет остроту пика распределения.
Знание представленных понятий необходимо всем изучающим и использующим основы теории вероятностей.
Кривая плотности нормального распределения (знаменитая колоколообразная кривая) известна в литературе под различными названиями:
–нормальный закон,
–кривая Гаусса,
–кривая Лапласа.
Они |
все соответствуют |
|
одной и |
той же зависимости |
||||
(см. формулу (16)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (T ) = |
|
1 |
|
e− |
( x−x )2 |
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
, |
|||
|
σ |
2π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
где σ – |
среднее квадратичное отклонение случайных величин; |
|||||||
x – независимая переменная; |
x |
– среднее значение нормального |
||||||
распределения, или математическое ожидание.
Нормальный закон с параметрами x = 0 и σ2 = 1 называется
стандартным.
Основными характеристиками нормального закона являются: среднее, мода, медиана, дисперсия, асимметрия, эксцесс, центральные моменты и др.
Частота отказов a(t) (или плотность вероятности f(t)) для нормального распределения определяется уравнением
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(t−Tр )2 |
|
|
|
а(t) = f (t) = |
|
|
π |
|
|
e |
− |
, |
|
|||
|
|
|
|
2σ2 |
(20) |
|||||||
|
|
|
Tр |
|
|
|
|
|||||
|
σ 1 |
+ Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
σ |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
63
где Тр – среднее значение долговечности устройства; σ – квадратичное отклонение времени между отказами при нормальном
распределении; |
|
Tр |
|
– интеграл вероятности вида |
||||||
Ф |
|
|
||||||||
σ 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф(x) |
= |
2 |
|
∫x e−x2 dx , определяемый по табл. П.1 прил. 1 для зна- |
||||||
π |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
чения |
х = |
|
Tр |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
σ 2 |
|
|
|
|
|||
На основании уравнений (4), (6), (9), (17), с учётом уравнения (20), можно получить следующие уравнения:
|
t − Tр |
|
|
||||
|
1− Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
|
||
Р(t) = |
|
|
|
, |
Q(t)=1 – P(t), |
||
|
|
Tр |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
1+ Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
(21)
|
|
2 |
e |
− |
(t−Tр )2 |
|
|
|
||
|
|
2σ2 |
|
|
|
|||||
λ(t) = |
|
|
π |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
t − Tр |
|||||||
|
σ 1 |
− Ф |
|
|
|
|
||||
|
|
σ 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
σ |
|
2 |
|
|
|
|
Tр2 |
|
Tср = Tр + |
|
|
π |
|
|
e− |
||||
|
|
|
|
|
2σ2 |
, |
||||
|
|
|
Tр |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
+ Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
t − Tр |
– интеграл вероятности, аналогичный представ- |
||||
Ф |
|
|
|
|||
σ |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
ленному выше в формуле (20), определяемый также по табл. П.1 прил. 1 для х = tσ− T2р .
На рис. 7 представлены количественные характеристики по уравнениям (21).
64
P(t) |
Q(t) |
Пример3.2. |
|
Определить P(t), Tср до пер- |
|||
αa(t) |
λ(t) |
вого отказа трехфазного асин- |
|
1 |
P(t) |
||
хронного двигателя малой мощ- |
|||
|
|
||
|
|
ности типа АОЛ-22-2 к концу |
|
|
λ(t) |
периода нормальной эксплуата- |
|
|
αa(tt)) |
ции его (t = Tи = 6000 ч), если |
|
|
|
λ ≈15·10–6 1/ч. Вычислить также |
|
|
Q(t) |
t P(t), λ(t) и Тср до первого отказа |
|
0 |
|
в период износа для трёх проме- |
|
|
|
жутков времени его работы, счи- |
Рис. 7. Количественные характеристи- тая от начала периода нормаль-
ки надёжности устройства по нормаль- ной эксплуатации: t = 8000, |
|||||||||||
ному закону распределения |
|
|
10 000, 12 000 ч, еслиТр = 12 000 ч |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
и σ = 2000 ч. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Tср = |
1 |
= |
106 = |
6,667 104 ч. |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
λ |
15 |
|
|
|
||||
Находим P(t) к концу периода нормальной эксплуатации по |
|||||||||||
− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
формуле Р(t) = e |
Tср : |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
|
6000 |
|
|
|
|
Р(6000) = e |
|
6,66 104 |
= e−0,09 |
= 0,918. |
|||||||
С увеличением времени работы двигателя в период износа |
|||||||||||
его надёжность понижается: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− |
|
|
8000 |
|
|
|
|
P(8000) = e |
|
6,66 104 |
= e−0,12 |
= 0,890, |
|||||||
|
|
|
|
|
− |
10 000 |
|
|
|||
P(10 000) = e |
6,66 104 |
= e−0,15 |
= 0,860, |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
− |
12 000 |
|
|
|||
P(12 000) = e |
6,66 104 |
= e−0,18 = 0,840. |
|||||||||
|
|
||||||||||
65
Вероятность безотказной работы в период износа по первому уравнению в системе (21) для трёх промежутков времени после периода нормальной эксплуатации также снижается:
|
|
1− |
Ф |
8000 −12 000 |
|||||||
|
|
|
2000 |
2 |
|
||||||
Pи (8000) = |
|
|
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
12 000 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
+ Ф |
|
|
|
||||||
|
2000 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
1−Ф(−1,41) |
|
= |
1+ 0,9523 |
= 0,970, |
||||||
|
1+ Ф(4,26) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
где по табл. П.1 прил. 1: Ф(–1,41) = – 0,9523; Ф(4,26) = 1.
|
|
|
|
1− |
|
|
10 000 −12 000 |
|
||||
|
|
|
|
Ф |
2000 2 |
|
||||||
Ри (10 000) = |
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
1+ Ф(4,26) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
1−Ф(−0,707) |
= |
1+ 0,6778 |
= 0,838, |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
где по табл. П.1 прил. 1: Ф (–0,707) = – 0,6778. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1− |
|
|
12 000 −12 000 |
|
||||
|
|
|
|
Ф |
2000 2 |
|
||||||
Ри (12 000) = |
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
1+ Ф(4,26) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
1−Ф(0) |
= |
1−0 |
= 0,500. |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общая вероятность Pо(t) в период износа для трёх промежутков времени будет равна произведению вероятностей надёжности в периоды нормальной работы Р(t) и износа Ри(t):
Ро(8000) = Р(8000)·Ри (8000) = 0,890·0,970 = 0,863;
Ро(10 000) = Р(10 000)·Ри (10 000) = 0,860·0,838 = 0,720;
Ро(12 000) = Р(12 000)·Ри (12 000) = 0,840·0,500 = 0,420.
66
Общая вероятность безотказной работы снижается, и к концу последнего отрезка времени вероятность отказов двигателей достигнет более 50 %:
Q(12 000) = 1 – Pо(12 000) = 0,58 (58 %).
Интенсивность отказов λ(t) по третьему уравнению в системе (21) для трёх промежутков времени в период износа растёт:
|
|
|
|
2 |
e− |
(8000−12 000)2 |
|
|
2 |
e−2 |
|
||
|
|
|
|
2 (2000)2 |
|
|
|
||||||
λ(8000) = |
|
|
|
π |
|
= |
|
π |
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− |
8000 −12 000 |
|
2000[1− Ф(−1,41)] |
||||||||
|
2000 |
1 |
Ф |
2000 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
0,1085 10−3 |
= 2,7810−5 1/ ч. |
|
|
|
|
|
|
|||||
2(1+ 0,9523) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично определяют интенсивность отказов для двух других промежутков. Получают следующие результаты:
λ(10 000) = 14,2·10–5 1/ч и λ(12 000) = 39,8·10–5 1/ч.
Средняя наработка до первого отказа по последнему уравнению в системе (21)
|
|
2000 |
2 |
|
|
|
1 |
12 000 |
2 |
|
||
|
|
π |
|
− |
|
|||||||
|
= 12 000 + |
|
|
|
|
|
|
|
≈ 12 000. |
|||
T |
|
|
|
|
e |
2 |
2000 |
|
||||
|
12 000 |
|
|
|||||||||
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1+ Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2000 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, к концу срока долговечности (Тр = 12 000 ч) вероятность выхода из строя в соответствии со вторым уравнением в системе (21) составляет 580 двигателей из 1000 (58 %), т. е. больше половины двигателей к этому сроку откажут в работе.
Возрастание интенсивности отказов λ(t) в период износа указывает на ускорение износа при приближении к установленному сроку долговечности.
67
3.3. Распределение Рэлея
Частота отказов а(t) технического устройства или плотность вероятности отказов f(t) определяется так:
|
t |
e− |
t2 |
|
||
a(t) = f (t) = |
2σ12 |
, |
(22) |
|||
σ2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
где σ1 – параметр распределения Рэлея.
На основании (4), (6), (9) и (17), с учётом (22), имеем следующие уравнения и соответствующие зависимости на рис. 8:
− |
t2 |
|
|
|
|
2 |
, Q(t) |
= 1− P(t), |
|||
Р(t) = e |
2σ1 |
||||
|
t |
|
π |
(23) |
|
λ(t) = |
, T = |
σ . |
|||
σ2 |
2 |
||||
|
ср |
1 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
Пример 3.3.
Определить P(t), λ(t) и Тср до первого отказа, распределение которых во времени подчиняется закону распределения Рэлея, для трёх промежутков времени работы технического устройст-
ва: t = 200, 1000, 3000 ч (при σ1 = 1500 ч).
P(t) Q(t)
αa(t) λ(t)
1
P(t)
σ1λ(t)
σ1αa(tt))
t Q(t) σ1
0
Рис. 8. Количественные характеристики надёжности по закону распределения Рэлея
Решение.
Находим P(t) по первому уравнению в системе (23) для данных промежутков времени:
− |
1 |
200 |
2 |
|
|
|
|
|
|
= e−0,0089 = 0,990, |
|
|
|
||||
P(200) = e |
2 |
|
1500 |
|
|
68
− |
1 |
|
1000 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= e−0,222 = 0,800, |
||
P(1000) = e |
2 |
|
1500 |
|
|||
|
− |
1 |
3000 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
= e−2 = 0,135. |
||
P(3000) = e |
|
2 |
1500 |
|
|||
Интенсивность отказов λ(t) по третьему уравнению в системе (23) для тех же промежутков времени растёт:
λ(200) = 15002002 = 0,89 10−4 1/ч,
λ(1000) = 150010002 = 4,4510−4 1/ч,
λ(3000) = 150030002 =13,3310−4 1/ч.
Средняя наработка до первого отказа по последнему уравнению в системе (23)
T = π |
σ = π |
1500 =1880 ч. |
||
ср |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||
Результаты расчёта показывают, что технические устройства с отказами во времени по закону распределения Рэлея целесообразно использовать только в течение небольших промежутков времени работы.
3.4. Гамма-распределение
Частота отказов а(t) технического устройства или плотность вероятности f(t) определяется следующим образом:
a(t ) = f (t ) = λ0 |
(λ0 t )k − 1 |
e−λ0 t , |
(24) |
|
(k −1)! |
|
|
где λ0 – параметр гамма-распределения.
69
При целом и положительном k на основании уравнений (4), (6), (9), (17), с учётом (24), имеем уравнения:
P(t) = e−λ0 |
t ∑ (λ0 t ) |
i |
|
|
|
|
|
, Q(t) = 1− P(t) , |
|||||||
|
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
i=0 i! |
|
|
|
|
|
λ(t) = |
|
λ0 (λ0 t )k−1 |
, T |
= |
k |
(25) |
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
k−1 (λ0 t )i |
ср |
|
λ0 |
|
|
|
(k −1)!∑ |
i! |
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
Параметр k характеризует асимметрию и выход величин за пределы гамма-распределения. При его изменении существенно изменяется вид количественных характеристик надёжности. При k = 1 гамма-распределение по первому уравнению в системе (25) становится экспоненциальным. На практике к гамма-распреде- лению близок характер изменения во времени отказов сложных резервированных систем. На рис. 9 представлены зависимости, входящие в систему (25).
?a(t)
k =1
k >1
t
0
P(t) 
Q(t)
k >1
P(t)
k =1
Q(t)
t
0
Рис. 9. Количественные характеристики надёжности по закону гамма-распределения
Пример 3.4.
Во время контрольных испытаний на надёжность системы на заводе-изготовителе обнаружились отказы в её работе, по характеру приближённо подчиняющиеся гамма-распределению
70
с параметрами асимметрии k > 1. Определить P(t) системы и λ(t)
для двух промежутков времени t, равных 200 и 1000 ч, а также вычислить Тср до первого отказа, если λ 0 = 10–3 1/ч и k = 2.
Решение.
P(200) = e−10−3 200 (1+10−3 200) =1, 2e−0,2 = 0,910,
P(1000) = e−10−3 1000 (1+10−3 1000) = 2e−1 = 0,738,
λ(200) = |
|
10−3 (10−3 200)2−1 |
|
= 0, 2 10−3 |
= 0,167 10−3 1/ч, |
||||
(2 −1)![1+10−3 200] |
|||||||||
|
|
|
1,2 |
|
|||||
λ(1000) |
= |
10−3 (10−3 1000)2−1 |
|
= 10−3 |
= 0,510−3 1/ч, |
||||
(2 −1)![1+10−3 1000] |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||
Тср = 102−3 = 2000 ч.
Результаты расчёта показывают, что уровень надёжности системы с увеличением промежутка времени работы заметно падает, а интенсивность отказов возрастает.
3.5. Распределение Вейбулла
Частота отказов а(t) или плотность их вероятности f(t) представляется уравнением
a(t) = f (t) = λ0ktk −1e−λ0tk . |
(26) |
Здесь λ0 – параметр, определяющий масштаб; k – коэффициент, характеризующий параметр асимметрии распределения.
На основании уравнений (4), (6), (9) и (17), с учётом (26), имеем: