книги / Обработка и представление результатов эксперимента
..pdf4.2. Второй способ. Квадратичные суммы
Полученные выше выражения переоценивают величину погрешности. Далее покажем, что если измерения х и у выполнены независимо и если результаты замеров обеих величин подчиняются нормальному распределению, то погрешности складываются квадратично:
1) если q = х + у, то |
Aq = yjiAx)2 + (Ay)2 |
воспользовавшись извест |
|||
ным неравенством |
Vа2 +Ь2 < (а + Ь) , |
запишем следующее выражение для |
|||
ошибок: -y/(AJt)2 + (Ау)2 <(Ах +Ау) ; |
|
|
|
||
2) для произведения и частного |
+£2 < (Ех + s_y); |
|
|||
3) для произвольной функции нескольких переменных |
|
||||
Aq = |
(Ах)2 + |
т |
2 < { |
Ддг + |
Ду}. |
4.3. Обоснование квадратичного сложения
Пусть были измерены величины х и у, результаты измерений распределе ны нормально с соответствующими параметрами ширины распределений ох
и оу, которые мы рассматриваем как погрешности любого единичного измерения соответствующих величин. Другими словами, были произведены прямые измерения. Задача состоит в том, чтобы определить функцию распределения для функции q = q (х, у).
Вспомним вид функций Гаусса для результатов прямых измерений:
(у-У)2/ 2с2у>
/У,ау (У) =
где Х и У - истинные значения величин JC и у. Рассчитаем cq , при этом будем
двигаться от наиболее простого и конкретного вида функции q до произволь
ной функции двух переменных q = q(x, у).
Ре ш е н и е поставленной задачи получим в 4 этапа.
1.Сумма измеренной величины и константы. Вид функции: q = х + А.
Вспомним, что вероятность получения любого единичного значения х в
малом интервале dx определяется выражением
dP(x) = f x ,ax (х) dx =— |
dx> |
Cx yZU |
|
или короче |
|
Р(х) ~ е- ^ - Х ) гЫ \ = ехр{-(л - X )2/2 а 2}.
Сделаем замену переменных, учитывая вид функции, х ^ q - А, тогда
Р(х) ~ ехр{-[(9 - А ) - Х]2/1 с 2} = ехр{-[<7 ~(Х + А))2/ 2а2 },
то есть мы получили оценку распределения q с центром в точке (Х+А) и с
прежней шириной распределения |
а*. Погрешность aq = ох |
не изменилась. |
В важном частном случае, когда А = -X или q х |
X, функция будет |
|
распределена нормально с центром в точке X = 0. |
|
|
2. Произведение измеренной величины и константы. |
Вид функции: q |
|
=Вх. Аналогичным образом проведем преобразования: |
|
|
Р(х) ~ е х р { - (| - X )2 / 2а2} = ехр{-(9 - ВХ)2/2В2с2 }. |
||
Значения функции^/ = Вх |
распределены нормально с центром в точке |
ВХ и с шириной Всх, то есть погрешность у величины q ъ В раз больше, чем у величины х.
3. Сумма двух измеренных величин. Вид функции: q х у.
Несмотря на простой вид функции, преобразования проведем в 2 этапа: а) Сначала, для упрощения, предположим, что Х= 0 и У - 0. Тогда
Р(х)~е ~х1/ 2а1 = ехр{-*2/2о*},
Р(у) ~ е У*/2** =е х р { - / / 2ст^}.
Поскольку х и у измерялись независимо, то вероятность получения любых дан
ных х н у равна произведению вероятностей:
г |
х2 |
у 2 Л |
Р(х, у) = Р(X) • Р(у) ~ ехр| - 1 |
12 + ~2 |
|
|
а х |
; |
Выразим теперь показатель экспоненты через переменную (х + у). Для этого воспользуемся следующим тождеством (справедливость которого можно
проверить простыми преобразованиями правой части): |
|
|||||||||
х 2 . У1 _ (* + >)2 |
. (Ьх-ау)2 |
(х + у)2 , |
_2 |
, |
|
|||||
---- "Г ----- —-------------“Г ----------------- —------------- I |
jit |
|
|
|||||||
|
a |
|
b |
a + b |
ab(a + b) |
а + Ь |
|
|
|
|
где z |
2 |
= |
(Ьх-ау)1 |
|
|
|
|
„ . |
ч |
|
|
--------—— - слагаемое, не зависящее от переменной (х + |
у). |
||||||||
|
|
|
аЬ(а + Ь) |
|
|
|
|
|
|
|
Применим это тождество к формуле для вероятности Р(х,у): |
|
|||||||||
|
Р(х + y yz) ~ ехр |
(х + уГ |
|
|
|
(х + у)1 |
|
|||
|
- ^ г И ехР1- |
|
2 ^ |ехрГ |
Т |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2(о2 + с у2 ) |
2 |
|
2( o ; + e j ) |
|
|
Но нам нужно выражение Д х + у), не зависящее от какого-либо значения |
||||||||||
z. Чтобы избавиться от z, проинтегрируем Р(х+у, z) |
|
по всем возможным значе |
||||||||
ниям переменной z: |
|
|
|
|
|
|
||||
Р(х + у)= |
\Р(х +y,z)dz= exp\- |
(Х + у ) 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2(ст* + с ф |
|
|
|
|
С полученным интегралом мы уже ранее встречались, его значение |
|
|||||||||
+°о |
Г |
2 ] |
|
|
|
|
|
|
J e x p | - y ld ? = V 2^
равно константе и не учитывается в наших оценочных расчетах. Тогда
Вывод следующий. Значения функции q = х + у распределены нормально
с центром ъ Х= О, У= О и с шириной с д = + сту2 .
б) Теперь рассмотрим общий случай, когда X ф О, Y Ф0. Представим пе
ременную (х + у) в виде
(х+у) = (х -Х ) + (у-У ) + (Х+У) = (1) + (2) + (3),
где (1), - просто порядковые номера слагаемых в сумме.
В соответствии с п.1 данного параграфа 4.3 слагаемое (1) представляет
нормальное распределение с центром в X = 0 и шириной стх; слагаемое (2) - то же, но с центром в точке Y = 0 и шириной оу; сумма (1) + (2) - в соответствии с
п.За - то же, но с центром ъХ= О, У = 0 и шириной + а ^ ; слагаемое (3) -
это фиксированное число, и |
согласно п. 1 оно смещает центр распределения в |
точку (X + У), но не меняет |
ширину. |
Окончательно, распределение q = х + у нормально с центром в (X + Y)
и шириной распределения ст^ = \ + Gy
4. Произвольная функция двух переменных. Вид функции: q = q (х, у).
Разложим функцию q в ряд вблизи точки (X, У ) и рассмотрим х, близкие к
X, у - к У, то есть будем иметь в виду малые погрешности, которые на практике реализуются наиболее часто:
q ( x ,y ) * q ( x j) + |
( х - Х ) + Щ |
(> -У ) = (1) + (2) + (3). |
I(Х.У) |
.°УJ(X,Y) |
|
где (1), - номера слагаемых в сумме.
Слагаемое (1) - значение функции в конкретной точке - фиксированное
число, которое смещает центр нормального распределения в точку q (X, У).
Слагаемое (2) - это фиксированное число (производная, вычисленная в
конкретной точке), умноженное на разность (х - X), - |
представляет нормальное |
распределение с центром в ! = 0 и шириной Г— 1 |
а х, аналогично, слагае- |
1дх\Х,У)
мое (3) - нормальное распределение с центром в У= 0 и шириной распределе-
Сумма двух слагаемых (2) + (3) представляет нормальное распределение
с центром в Х= О, Y = 0 и шириной
Таким образом, все три слагаемых разложения функции в ряд показыва ют, что косвенные результаты, рассчитанные по функции д = д (х, у), распреде лены нормально с центром около значения д(Х, Y) и шириной распределения
Если рассматривать сх и су как погрешности единичных измерений величин х и у, то мы обосновали правило квадратичного сложения ошибок для косвенных измерений в общем виде.
5. Объединение результатов разных измерений
Часто бывает так, что одна и та же физическая величина измеряется неза висимо в разных экспериментах и даже в разных лабораториях. В связи с этим встает вопрос: как объединить эти результаты, чтобы получить единую (и единственную) наилучшую оценку ?
Пусть два человека А и В тщательно измеряют величину х и получают следующие результаты:
А: |
хА =хА ± а А; |
В: |
хв =хв ± о в . |
Как их объединить ?
Если | ха " *в\» аА>°В, то измерения противоречивы, где-то не доста
точно корректно учтены систематические ошибки или проявилась какая-то дру гая причина сильного расхождения результатов.
Пусть | jc^ —jc^| ^ ст^,ог^ и в общем случае. Объединить ре
зультаты в виде среднеарифметического X = х = (хд+хд)12 нецелесообразно, так как это делает одинаково важными оба результата, хотя более точному от счету следует отдать большее предпочтение - приписать ему больший вес.
Для решения задачи используем принцип максимального правдоподобия (см. выше). Предполагаем, что результаты обоих измерений подчиняются рас пределению Гаусса. Вероятность получения х^
аА
аналогично вероятность получения хд
|
GB |
|
|
где X - |
истинное значение |
величины |
х, которое необходимо определить; |
а а >а в |
~ известные значения ширины соответствующих распределений Ха и хв. |
||
Вероятность того, что исследователи А и В получат свои значения неза |
|||
висимо друг от друга, |
|
|
|
W |
A J B ) = PX Q A Y W |
B ) ----- — |
е ~р2/2, |
|
|
G A G B |
|
здесь введена сумма квадратов
Согласно принципу максимального правдоподобия, наилучшей оценкой для X при известных хА,хд, ст^, ад будет такое значение X, при котором
Рх (*Ау*в ) будет максимальной или р2 - минимальной. Это означает, что
= 0, |
откуда - 2 ——т------ |
2 — -— = 0. Решив последнее уравнение отно- |
“ |
аА |
° в |
сительно X, получим
±А |
. ±В_ |
1 |
1 |
■^наилучш —X — 2 |
2 |
2 + |
2 |
°А |
сгв Л |
ЧСТЛ |
СТЯ, |
Определим величины, которые называются весами:
®/4 - \ = l / >
тогда получим так называемое взвешенное среднее
Хд(йд + ХдСОд наилучш- (0/4+COfi '
Рассмотрим частный случай: a A =GB* тогда со^ = со# и
_ |
+ *£ |
|
•^наилучш — |
2 |
’ |
то есть среднеарифметическое значение двух результатов справедливо при ра венстве погрешностей, а значит, и весов обоих результатов.
В общем случае объединения N результатов получим
N |
|
IN |
. |
|
|
■^наилучш = X = Е®г*/ / |
Е ® / > |
= V ст/ |
|
|
|
/=1 / |
/=1 |
|
|
|
|
Теперь выведем соотношение для погрешности ст^ наилучшего резуль- |
|||||
тата. Так как X = f(.x A,xB), то |
|
|
|
||
f a r f 2 |
" a y "j2 |
|
®В |
1 |
|
aimUJ |
|
°В . |
_L . |
G)A +® B J |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
_ 1 °>А + |
1 |
1 |
|
|
|
\(а>А+°>в)2 |
V“ /<+0)B |
|
|
|
Вобщем случае объединения ^'результатов:
vX
= Z®, \/=1
Пример. Тремя студентами в разное время измерялось электрическое со
противление одного и того же проводника и были получены следующие ре зультаты:
Д, = (11 ± 1) Ом; |
/?2 = (12± 1) Ом; |
Д3 = (Ю ±3)Ом. |
|
Если объединить эти результаты, то чему будут равны наилучшая оценка |
|||
и погрешность ? |
|
|
|
Погрешности и веса: CTJ = 1, |
©i = l; |
Ст2= Ь ©2= 1; ст3 = 3, со3 = 1/9. |
|
N |
f N |
(1• 11) + (1• 12) + (1/9 • 10) = 11,4 Ом. |
|
Янаилучш = Е М / / Е®/ = |
|||
/=1 |
/=1 |
1+1 + 1/9 |
|
|
|
||
, |
Уг |
|
|
наилучш - Й - |
= (1+1 + 1/ 9) '^ == 0,69 « 0,7 Ом. |
||
|
|
|
Ответ: R = (11,4 ± 0,7) Ом.
Если провести объединение только первых двух*результатов, то получит ся ответ: R = (11,5 ± 0,7) Ом.
Как видно, третье измерение - наиболее грубое - не имеет большого влияния в объединенном по всем трем измерениям результате.
6. Отбрасывание данных
Зададим себе вопрос: нужно ли отбрасывать результат измерений, кото рый кажется до такой степени неразумным, что похож на ошибку ? Закономе рен этот, на первый взгляд, подозрительный результат или же является следст вием ошибки при измерениях ?
Есть вероятность, что «аномальный» результат отражает некоторые важ ные эффекты. Многие научные открытия сначала выглядели как аномальные результаты измерений, похожие скорее на ошибки.
Единственно честная реакция при встрече с подобными данными - по вторить измерения много раз. Если провести измерения 100 раз, то не будет существенной разницы для конечного результата - включать аномалию или нет
в обработку данных. Но непрактично, а часто и слишком дорого проводить сотню измерений. Существует ряд критериев, с помощью которых можно от вергнуть подозрительный результат. Рассмотрим простой критерий Шовепе
для результатов, которые подчиняются распределению Гаусса, сначала на про стом примере, а затем сформулируем общую методику оценки подозрительного результата с использованием этого критерия.
Пусть мы измерили период колебаний маятника Г,с и получили N = 6
следующих результатов:
3,8; 3,5; 3,9; 3,9; 3,4; L 8.
Видно, что последнее значение Те = 1,8 отличается от остальных. Если его от бросить, то среднее значение периода будет Т = 3,7; если оставить, то Т = 3,4. Результаты существенно отличаются при малом числе измерений.
Оставим среднее значение |
Т = 3,4, тогда стандартное отклонение |
с-р= |
= 0,8. Отклонение последнего результата от среднего <4 = 3,4 - 1,8 = 1,6, |
что |
|
составляет d ^/а р = 1,6 / 0,8 = 2 |
- два стандартных отклонения. |
|
Вычислим вероятность получения результатов, которые так же сильно отличаются от среднего значения:
Р (вне 2GT) = 1 - Р (в пределах 2стг) = 1 - 0,95 = 0,05. З а м е ч а н и е : значение 0,95 взято из параграфа 3.4.
Таким образом, только один результат из двадцати (0,05 • 20 = 1) может отличаться на de = 1,6.
Но мы проделали не 20, а 6 измерений, тогда допустимое число таких аномальных результатов, как наше Т = 1,8, среди 6 измерений будет равно 0,05 • 6 = 0,3 (ясно, что число должно получиться не целое). Это число 0,3 - ме ра разумности подозрительного результата.
Согласно критерию Шовене, если число ожидаемых подозрительных из мерений меньше чем 0,5 , то полученный аномальный результат следует ис ключить из дальнейшей обработки. Результат 1,8 отбрасываем.
Методика оценки подозрительного результата:
1. Проводим N измерений величины х и получаем значения: Х\у , х м.
2. Вычисляем х |
и а х . |
|
3. Рассчитываем |
для |
подозрительного результата Хк отклонение |
dk = \хк -Ц и число стандартных отклонений /*, на которое х* отличается от х : tk =dk /a x .
4. Находим по графику или таблице вероятность Р (вне tk ax )~ вероят-
ность того, что единичное измерение будет отличаться от среднего значения на tk или более стандартных отклонений.
5. Вычисляем число ожидаемых измерений п из общего числа Nyкоторые дают столь же плохие результаты, как и Xk'.n =N • Р (вне • сгх).
6. Если п < 0,5 то подозрительный результат Хк не удовлетворяет критерию Шовене и отвергается.
7.С меньшим (на один) набором результатов проделываем следующее: вычисляем новые х и ах .
8.Важно ! Вторично с уменьшенным набором результатов методика Шовене не применяется. Но с первоначальным полным набором данных (до от брасывания) критерий Шовене может быть использован к нескольким подозри тельным результатам.
Пример. Провести оценку подозрительных результатов со следующим
набором данных: 46; 48; 44; |
38; |
45; |
47; |
58; |
44; |
45; 43 (N = 10). Здесь |
||
требуется проверить дваподозрительных результата, которые подчеркнуты: |
||||||||
а) проверяем число 58: |
|
|
|
|
|
|
||
х =45,8; |
ах = 5,1; |
^ |
= 58 |
-4 5 ,8 = 12,2; |
Г7 = 12,2 / 5,1 = 2,4; |
|||
Р (вне tj -стх) = 0,016; |
п = 10 • 0,016 = 0,16 < 0,5; |
число 58 можно удалить; |
||||||
б) проверяем число 38: |
|
|
|
|
|
|
||
х =45,8; |
с х = 5,1; |
^ |
= 45,8-38 |
= 7,8; |
h = 7,8/ 5,1 = 1,5; |
|||
Р (вне /4 |
а х) = 0,13; |
п = 10 • 0,13 = 1,3 |
> 0,5; |
число |
38 вполне приемлемо; |