книги / Математика. Функции нескольких переменных
.pdfОсновные формулы и рисунки |
Определения и замечания |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
Замечание |
|
|
||
|
|
Из определения (2.2) сле- |
||||
|
|
дует, что если предел существу- |
||||
|
|
ет, то он не зависит от пути, по |
||||
|
|
которому P стремится к P0 (чис- |
||||
|
|
ло таких направлений беско- |
||||
|
|
нечно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. lim f x, y f x0 , y0 |
(2.3) |
Функция z f x, y |
называется |
|||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
y y0 |
|
непрерывной |
|
в |
точке |
|
|
|
|
||||
|
|
M0 x0 , y0 , если она определена |
||||
|
|
в точке M0 x0 , y0 |
и некоторой |
|||
|
|
ее окрестности и |
выполняется |
|||
|
|
условие (2.3). |
|
|
|
|
|
|
Замечание 1 |
|
|
||
|
|
Функция, |
непрерывная в |
|||
|
|
каждой точке некоторой облас- |
||||
|
|
ти, называется непрерывной в |
||||
|
|
этой области. |
|
|
|
|
|
|
Замечание 2 |
|
|
||
|
|
Если |
в |
некоторой точке |
||
|
|
P0 x0 , y0 не выполняется усло- |
||||
|
|
вие (2.3), |
то |
точка |
P0 x0 , y0 |
|
|
|
называется |
|
точкой |
разрыва |
|
|
|
функции z f x, y . |
|
|||
|
|
Замечание 3 |
|
|
||
|
|
Точки |
разрыва |
функции |
||
|
|
z f x, y |
могут образовывать |
|||
|
|
целые линии разрыва. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
11
Задачи
Найти точки разрыва следующих функций:
а) |
z |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 y2 |
|
|
|
|
||||
б) z |
3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x y 3 |
|
|||||||
в) |
z |
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
9 x2 y2 |
|
|||||||
Решение |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||
а) Функция z |
|
определена на всей плоскости OXY , за |
||||||
x2 y2 |
исключением точки P0 0,0 , так как в этой точке функция не оп-
ределена, следовательно, P0 0,0 – точка разрыва функции.
б) |
Для функции |
z |
|
|
3 |
|
точками разрыва являются все |
|
|
|
|
||||
|
x y 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
точки, |
лежащие на прямой |
y x . Таким образом, точки разрыва |
|||||
образуют линию разрыва данной функции. |
|||||||
в) |
Функция z |
|
1 |
|
определена и непрерывна всюду, |
||
|
|
||||||
9 x2 |
y2 |
кроме тех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
9 x2 y2 0.
Это – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R 3, следовательно, x2 y2 9 – линия разрыва данной функции.
12
§3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и рисунки |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. x z f x x, y f x, y |
(3.1) |
|
Частное приращение функ- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции z f x, y по x. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переменная |
y |
в |
данном |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае остается неизменной. |
|||||||
y z f x, y y f x, y |
(3.2) |
|
Частное приращение функ- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции z f x, y по y. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переменная |
x |
в |
данном |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае остается неизменной. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
z |
, |
f |
, |
|
, |
|
(3.3) |
|
Обозначение |
частной |
про- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
x |
zx |
fx |
x, y |
изводной |
функции |
z f x, y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
, |
f |
|
, |
|
, |
|
x, y |
(3.4) |
|
Обозначение |
частной |
про- |
|||||
|
y |
y |
zy |
f y |
изводной |
функции |
z f x, y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
lim |
x z |
|
|
|
|
Частной производной по x |
|||||||||||
|
x |
x |
|
|
от функции |
z f x, y |
называ- |
||||||||||||
3. |
|
x 0 |
|
|
(3.5) |
||||||||||||||
lim |
|
f |
x x, y f x, y |
ется предел отношения частного |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
приращения |
xz к приращению |
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
при |
стремлении |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частной производной по y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от функции z = f(x, y) называется |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предел |
отношения |
|
частного |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||||||
|
|
|
и рисунки |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
lim |
y z |
|
|
приращения |
yz к приращению |
|||||
y |
y |
|
y при стремлении |
y к нулю. |
|||||||
y 0 |
|
(3.6) |
|||||||||
|
|
f x, y y f x, y |
Следует запомнить: |
||||||||
lim |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
при нахождении частной произ- |
|||||||||
y 0 |
|
y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
водной |
z |
, |
переменная y счита- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ется постоянной величиной, а |
|||||
|
|
|
|
|
|
при нахождении частной произ- |
|||||
|
|
|
|
|
|
водной |
z |
, |
переменная x счита- |
||
|
|
|
|
|
|
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
ется постоянной величиной. |
|||||
|
|
|
|
|
|
Замечание 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
В отличие от обозначения |
|||||
|
|
|
|
|
|
обыкновенной |
производной, |
||||
|
|
|
|
|
|
здесь употребляется не «пря- |
|||||
|
|
|
|
|
|
мое» d, а «круглое» . |
|||||
|
|
|
|
|
|
Замечание 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Частные производные от |
|||||
|
|
|
|
|
|
функции z f x, y находят по |
|||||
|
|
|
|
|
|
формулам и правилам вычисле- |
|||||
|
|
|
|
|
|
ния производных функций од- |
|||||
|
|
|
|
|
|
ной переменной. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Основные формулы |
Определения и замечания |
|
||||
и рисунки |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Геометрический |
смысл |
||||
|
частной |
производной |
z |
от |
||
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции двух переменных: |
|
||||
|
1. Графиком |
|
функции |
|||
|
z f x, y |
является некоторая |
||||
|
поверхность σ. |
|
|
|
||
|
2. Рассмотрим |
|
точку |
|||
|
M0(x0, y0) в плоскости OXY и со- |
|||||
|
ответствующую |
|
точку |
|||
Рис. 3.1 |
P0 x0 , y0 , z0 |
на |
поверхности |
|||
|
(рис. 3.1). |
|
|
|
|
|
|
3. Проведем |
плоскость |
||||
|
y = y0. |
|
|
|
|
|
|
4. Плоская кривая |
AP0 B – |
||||
|
это результат пересечения по- |
|||||
|
верхности z = f(x, y) с плоско- |
|||||
|
стью y = y0. |
|
|
|
|
|
|
5. Полученную |
кривую |
||||
|
AP0 B можно рассматривать как |
|||||
|
график функции одной пере- |
|||||
|
менной z f x, y0 . |
|
|
|||
|
6. Согласно |
геометриче- |
||||
|
скому |
смыслу |
производной |
|||
|
функции |
одной |
переменной |
|||
|
fx x, y0 tg , где α – угол на- |
|||||
|
клона касательной, |
проведенной |
||||
|
к кривой AP0 B в точке P0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
15
|
Основные формулы |
|
|
Определения и замечания |
||||||||
|
|
|
и рисунки |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
tg |
(3.7) |
|
|
Следовательно, |
|
||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
x M |
|
|
|
tg (3.7). |
|
|
|||||
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом заключается гео- |
|||||
|
|
|
|
|
метрический |
смысл |
частной |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
производной |
x . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
выясняется |
||||
|
|
|
|
|
геометрический смысл частной |
|||||||
|
|
|
|
|
производной |
z . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
tg |
(3.8) |
|
|
Следует запомнить: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y M |
0 |
|
|
|
|
значение |
частной произ- |
||||
|
|
|
|
|
водной |
|
z |
tg |
(3.8), где |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
угол наклона касательной, |
||||||
|
|
|
|
|
проведенной |
|
в |
точке |
||||
|
|
|
|
|
P0 x0 , y0 , z0 к линии пересече- |
|||||||
|
|
|
|
|
ния |
поверхности |
z f x, y с |
|||||
|
|
|
|
|
плоскостью x = x0. |
|
|
|||||
5. xu f x x, y, z f x, y, z (3.9) |
|
|
Частное приращение функ- |
|||||||||
|
|
|
|
|
ции u = f (x, y, z) по x. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Переменные y, z в данном |
|||||
|
|
|
|
|
случае остаются неизменными. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и рисунки |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
yu f x, y y, z f x, y, z |
(3.10) |
Частное приращение функ- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции u f x, y, z |
по y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переменные x, z в данном |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае остаются неизменными. |
|||
z u f x, y, z z f x, y, z |
(3.11) |
Частное приращение функ- |
||||||||||||||||||
ции u f x, y, z |
по z. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переменные x, y в данном |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае остаются неизменными. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
|
u |
, |
|
f |
|
|
|
|
|
(3.12) |
Обозначение |
частной |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
, ux |
, fx x, y, z |
производной |
от |
функции |
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u f x, y, z по x. |
|
||
|
u |
, |
|
f |
|
|
|
|
, |
|
(3.13) |
Обозначение |
частной про- |
|||||||
|
y |
|
y |
|
, uy |
fy x, y, z |
изводной |
от |
|
функции |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u f x, y, z по y. |
|
||
|
u |
, |
|
f |
|
|
|
|
, |
|
(3.14) |
Обозначение |
частной про- |
|||||||
|
z |
|
z |
|
, uz |
fz x, y, z |
изводной |
от |
|
функции |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u f x, y, z по z. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частной производной по x |
|||
u |
lim |
xu |
|
|
|
|
от функции u f x, y, z назы- |
|||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
(3.15) |
вается предел отношения част- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
f x x, y, z f x, y, z |
|
||||||||||||||
lim |
|
ного приращения xu |
к прира- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щению x при стремлении x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
|||||
|
|
|
|
и рисунки |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
lim |
y u |
|
|
Частной производной по y |
|||||
|
|
|
от функции u f x, y, z назы- |
|||||||
y |
y |
|
||||||||
y 0 |
|
|
(3.16) |
|||||||
lim |
f x, y y, z f x, y, z |
вается предел отношения част- |
||||||||
|
|
|
|
|
ного приращения yu к прира- |
|||||
|
|
y |
|
|||||||
y 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
щению |
y при стремлении |
y к |
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частной производной по z |
||
u |
lim |
z u |
|
|
от функции u f x, y, z назы- |
|||||
z |
z |
|
вается предел отношения част- |
|||||||
z 0 |
|
|
(3.17) |
|||||||
lim |
|
f x, y, z z f x, y, z |
|
ного приращения zu к прира- |
||||||
|
|
|
z |
|
щению z при стремлении |
z |
||||
z 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при нахождении частной произ- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водной |
x , переменные y, z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
считаются постоянными; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при нахождении частной произ- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
водной |
u , переменные |
x, z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
считаются постоянными; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при нахождении частной произ- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водной |
z , переменные x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
считаются постоянными. |
|
18
Задачи
Задача 1
Найти частные производные первого порядка:
а) z 2x5 3x2 y4 8y ;
б) z y2 ; x3
в) z yx .
Решение
а)
б)
в)
zx
zy
zx
zy
zx
zy
y const |
2x5 3x2 y4 8y x |
10x4 3y4 2x 0 10x4 6 y4 x; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2x |
|
|
|
3x |
|
y |
|
8y y |
0 3x |
|
4 y |
|
8 12x |
|
y |
|
8. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
x const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y2 x 3 3y2 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
y const |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
3 |
|
x |
3 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x const |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx x yx ln y ;
y const
yx y xyx 1 .
x const
Задача 2
Найти частные производные первого порядка:
а) z 4xy x2 y3 5 ;
x
б) z 3 e y ;
в) z arctg2 x y .
19
Решение
а) |
z |
|
|
|
|
5 4xy x2 y3 4 4 y 2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10 4xy x2 y3 4 2y x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 4xy x2 y3 |
4 |
|
4x 3y2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 y |
|
e3 y |
|
|
e3 y ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y |
|
|
|
|
|
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y const |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 y |
|
e3 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 y . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y |
|
|
3y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x const |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в) |
z |
|
|
2arctg x y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
y const |
1 x y 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z |
|
|
2arctg x y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
x const |
1 x y 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3
Вычислить значение частных производных первого порядка от функции z 3x3 y3 в точке A 2;1 .
Решение
1 z 3x3 y3 x3 y3 3 ;
z |
|
|
|
|
1 |
x3 y3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
A |
3 8 1 2 |
|
3 49 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
y |
3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x const |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x3 |
|
y3 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20