книги / Моделирование химико-технологических систем

ментом продуктов. Малоосвоенные производства также на первом этапе организуются по периодическому варианту, в том числе на стадии опытнопромышленной проверки метода, так же как и процессы, требующие тонкого регулирования качества продуктов: биохимические, фармацевтические производства.

Периодический процесс целесообразен в том случае, если скорость основного превращения мала и, следовательно, время для его проведения велико. Тогда продолжительность процессов загрузки, выгрузки и подготовки к следующему циклу не очень заметно отражается на производительности системы.

Подобная ситуация наблюдается в некоторых биотехнологических процессах.

Непрерывные ХТС характеризуются непрерывной подачей реагентов, непрерывным транспортом промежуточных реагентов внутри системы и непрерывной выдачей продукта. Наиболее характерным вариантом непрерывных процессов является стационарный режим, когда величины потоков постоянны и не зависят от времени. Возможность длительного поддержания стационарного состояния во всех элементах является основным преимуществом непрерывных ХТС. Это обеспечивает максимальную производительность системы при минимальных затратах на автоматизацию.

Основными преимуществами непрерывного производства являются:

–большие количества продукта с единицы объема аппарата;

–исключение потерь теплоты на периодические процессы нагревания;

–большая однородность продукта;

–простота контроля и автоматизации.

Непрерывно-циклическими называют ХТС, в которых постоянны во времени входы и выходы потоков в системе, а также ее структура в целом. Циклически изменяются во времени лишь переменные в некоторых ее подсистемах и структура этих подсистем. Примером могут служить абсорбционные установки, в которых устанавливаются два параллельных абсорбера. В первом цикле абсорбция протекает в первом абсорбере, в то время, как второй абсорбер регенерируется; во втором цикле первый абсорбер ставится на регенерацию, а абсорбция проводится в отрегенерированном втором абсорбере.

Таким образом, каждый абсорбер работает периодически, а система в целом – непрерывно.

Гибкие ХТС. Потребность в организации гибких ХТС появилась в связи с непрерывным ростом количества новых функциональных химических продуктов (производимых, как правило, в небольших масштабах) при одновременном увеличении «времени жизни» оборудования на базе современного уровня технического прогресса. Снижать ресурсы оборудования не имело смысла, необходимо было его универсально использовать.

Наибольшее распространение гибкие системы получили в малотоннажной химии, которая в настоящее время объединяет производства громадного числа продуктов и материалов (несколько десятков тысяч). Это – химические реактивы, лакокрасочные материалы, химико-фармацевтические препараты,

21

пестициды, сорбенты, катализаторы, ингибиторы, присадки, стабилизаторы и другие.

Гибкой называется технологическая система, способная быстро перестраиваться необходимым образом в условиях внутренних и внешних возмущений. В данном случае речь идет не об устойчивости систем в связи со случайными изменениями параметров, а о целенаправленном изменении входных (сырье, энергия) и выходных (продукт) потоков при соответствующем изменении внутрисистемных параметров. Чем шире допустимый диапазон изменений, тем более гибкой считается система. Гибкие ХТС могут функционировать как в периодическом, так и в непрерывном режимах. При этом ХТС, наряду с минимальной конструкционной избыточностью (по аппаратуре, коммуникациям, арматуре) должна обеспечивать функциональную избыточность.

При разработке структуры гибких систем осуществляется блочномодульный подход: каждый модуль предназначается для осуществления соответствующего процесса. В состав модуля входят не только основные, но и вспомогательные элементы, а из модулей, представляющих собой соответствующую подсистему, формируется гибкая, периодическая ХТС.

Между модулями не существует жестких связей. Они легко трансформируются, что способствует организации гибкой системы. Она может иметь жесткую структуру, когда с помощью одних и тех же модулей получают родственные по свойствам и способам получения продукты (например, соли в технологии реактивов), или элементы модулей остаются теми же самыми, а связи между ними меняются путем переключения через коммуникации. Поскольку гибкие ХТС упрощают процесс расширения ассортимента продуктов, их разработка особенно актуальна в условиях рыночных отношений. Например, в настоящее время разработана гибкая технология производства некоторых видов удобрений, разрабатываются системы производства метанола и аммиака в единой ХТС.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХТС

Основные группы уравнений, входящих

вматематическое описание процесса

Всоставе математического описания, разработанного на основе физической природы исследуемого объекта, можно выделить следующие группы уравнений (рис. 12):

1. Уравнения материального и энергетического баланса, записанные с учетом гидродинамической структуры движения потоков. Данная группа уравнений характеризует распределение в потоках температур, составов и связанных с ними свойств: плотности, теплоемкости и так далее.

2. Уравнения кинетики процессов. Сюда относятся описания элементарных процессов протекания химической реакции, теплопереноса, массопереноса. Для записи уравнений используются гипотезы дополнительных связей между основными переменными процесса.

22

3.Теоретические, эмпирические или полуэмпирические соотношения между различными параметрами процесса – уравнения для физических или гидродинамических параметров: теплоемкости, вязкости, коэффициентов теплоотдачи и так далее.

4.Ограничения на параметры процесса, например, температура в зоне катализатора не может быть выше некоторой заданной, иначе катализатор потеряет свои свойства и так далее.

Рис. 12. Состав математической модели

Данные группы уравнений входят в состав математической модели любого химико-технологического процесса. Они представляют аналитическую теорию исследования физико-химических процессов.

Кроме того, модель строится так, чтобы она наиболее полно отражала характер поведения потоков вещества и энергии при одновременно достаточно простом математическом описании. Простота математического описания определяется возможностью решения модели на ЭВМ.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Рис. 13. Алгоритм расчета ХТС

Алгоритм моделирования систем может быть представлен следующей схемой (рис. 13), где каждая из задач представлена отдельным модулем.

23

Первый модуль – модуль формирования исходных данных моделирования. На основе литературных данных отбирается необходимая информация о процессе в виде уравнений математического описания.

Второй модуль – модуль поиска дополнительной информации. На этом этапе осуществляется поиск дополнительной информации с использованием экспериментальных методов.

Третий модуль – модуль формирования математической модели ХТС. На этой стадии разрабатывается совокупная модель системы, учитывающая совместную работу каждого из элементов (аппаратов).

Четвертый модуль – модуль корректного упрощения математической модели. Вводятся допущения, позволяющие упростить описание процесса, так, например, допущение изотермичности работы аппарата позволяет пренебречь теплопотерями и термическими эффектами реакций, протекающих в нем.

Пятый модуль – модуль выбора алгоритма решения математической модели. Использование численных методов расчета позволяет решить одну и ту же задачу различными методами. Поэтому на данном этапе следует выбрать наиболее подходящий алгоритм расчета (методы сканирования, секущих, касательных и так далее.)

Шестой модуль – модуль разработки программы расчета на одном из алгоритмических языков программирования, ее отладки и получения пробных решений.

Седьмой модуль – модуль оценки адекватности разработанной математической модели. На данном этапе выполняется сопоставление результатов расчета по модели с практическими данными, полученными в ходе контрольных экспериментов на реальном объекте.

В том случае, когда разработанная модель оказывается неадекватной реальному объекту, необходимо вернуться к задаче формирования более точной математической модели в модулях I – IV, например, использовать более совершенные уравнения математического описания в первом модуле или более строго подойти к задаче корректного упрощения модели в четвертом модуле.

Восьмой модуль – модуль разработки принципов оптимизации ХТС. В этом модуле формируются и обосновываются критерий оптимальности функционирования ХТС (целевая функция). При необходимости оценки экономических критериев, математическая модель системы дополняется частной техникоэкономической моделью.

Девятый модуль – модуль выбора алгоритма решения целевой функции и разработки программы компьютерной оптимизации ХТС. Выбирается метод оптимизации, в зависимости от особенностей оптимизируемой задачи (при решении задач нелинейного программирования используются такие методы как метод сканирования, золотого сечения, крутого восхождения и другие).

Десятый модуль – модуль получения оптимального решения для разрабатываемой ХТС.

24

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ХТС

Задача расчёта ХТС заключается в нахождении параметров состояния потоков, при заданных параметрах функционирования технологических элементов. Выделяют две группы методов: интегральный (композиционный) и де-

композиционный (табл. 1).

Суть интегральных методов расчёта ХТС заключается в объединении систем уравнений, описывающих работу отдельных аппаратов, в одну большую систему уравнений с дальнейшим решением этой системы. При декомпозиционном методе расчёта ХТС представляется в виде отдельных блоков, соответствующих элементам ХТС, и расчёт ХТС сводится к последовательному расчёту отдельных блоков.

25

Наибольшее распространение на практике, получил декомпозиционный способ расчёта, вследствие своей универсальности и возможности использования для расчета сложных систем.

Метод итерации

Рис. 14. Итерационный способ расчета ХТС

Рассмотрим итерационный способ расчёта замкнутых ХТС на примере простейшей схемы, представленной на рис. 14.

Как видно на рис.14 а, простейшая замкнутая ХТС состоит из двух модулей (A и B), связанных четырьмя технологическими связями, из которых связь 4 является рециркуляционной. Исходя из исходной задачи расчёта ХТС, исходными данными для расчёта указанной ХТС будут параметры функционирования элементов A и B, а также параметры входящего в ХТС потока 1. Однако провести расчёт модуля A с целью получения параметров потока 2 невозможно, так как неизвестны параметры потока 4. Расчёт модуля B произвести также невозможно, так как неизвестен поток 2, входящий в этот модуль. Таким образом, непосредственное применение декомпозиционного способа расчёта этой замкнутой ХТС невозможно.

Для того чтобы декомпозиционный способ можно было применить, необходимо привести ХТС из замкнутого вида к разомкнутому. Для этого, в случае указанной ХТС, можно «разорвать» любой поток, входящий в рецикл, то есть поток 2 или 4. В случае разрыва потока 4 (рис. 14 б), выходящего из модуля В и входящего в модуль А, образуется новый входящий в ХТС и в модуль А поток 4'. В связи с тем, что деление потока на 4 и 4' является условным (применяемым только для цели перевода структуры ХТС из замкнутого к разомкнутому виду), то при применении итерационного способа расчёта в место разрыва помещается дополнительный модуль – итерационный блок (ИБ) (рис. 14 в). В этом случае, исходя из исходной задачи расчёта ХТС, исходными данными для расчёта указанной ХТС будут являться параметры функционирования элементов А и В, а также параметры входящих потоков 1 и 4'. Первоначальные параметры потока 4' могут определяться с применением какого-либо алгоритма расчёта и на основании заданных исходных данных.

С указанным набором исходных данных появляется возможность выполнить первый расчёт ХТС, то есть определить параметры потока 2, зная которые, рассчитать параметры потоков 3 и 4. В данном случае, параметры потока 4 бу-

26

дут отличаться от параметров потока 4', поэтому итерационный блок, проанализировав оба набора данных (потоков 4 и 4'), рассчитает суммарную погрешность и присвоит новые значения параметров потока 4'. Так как новые значения потока 4' будут формироваться итерационным блоком с учётом расчётных параметров потока 4, то при выполнении второго расчёта ХТС, суммарная погрешность будет меньше, чем при первом расчёте. Далее, циклические расчёты (итерации) проводятся до тех пор, пока значения суммарной погрешности не будут ниже требуемой точности расчёта.

Итерационный метод расчёта ХТС обычно применяется для расчёта относительно простых ХТС, так как применение данного метода для сложных ХТС является не достаточно эффективным, так как предусматривает последовательные приближения искомых параметров потоков. В связи с тем, что элементы ХТС, исходя из их физико-химической природы, могут функционировать лишь в заданных интервалах изменения параметров, применение итерационного метода иногда может быть невозможно, так как в процессе сходимости этого математического метода, значения технологических параметров могут выйти за пределы функционирования элементов ХТС. При расчёте ХТС, имеющей несколько разрываемых потоков (наличие нескольких рециклов), применение итерационного метода вообще может быть достаточно проблематично, так как вследствие наличия технологических связей итерационные процессы будут взаимосвязаны, что негативно повлияет на достижение решения для всей системы.

При расчёте сложных ХТС, имеющих несколько разрываемых потоков, обычно применяются методы многомерной минимизации суммарной погрешности. Суть этих методов заключается в том, что в отличие от итерационного метода, искомые значения параметров потоков рассчитываются при проведении расчёта с помощью специальных математических методов с ограничениями, наличие которых не позволяет выйти за пределы функционирования технологических операторов (в процессе нахождения решения), что позволяет достичь сходимости намного быстрее и надёжнее.

Как было указано выше, рецикл можно привести из замкнутого вида к разомкнутому путём разрыва одной из технологических связей, входящих в рецикл. На рис. 14г представлен вариант разрыва потока 2. В этом случае, имея начальные приближения параметров потока 2', сначала будет рассчитываться модуль В с определением параметров потоков 3 и 4, а затем модуль А с определением параметров потока 2. В отличие от предыдущего варианта, итерации будут проводиться по параметрам потока 2, а не потока 4. Вопросы выбора оптимальных вариантов перевода ХТС из замкнутого к разомкнутому виду будут рассмотрены далее.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Статистические модели широко используют для описания эксперимента на работающем объекте исследования. Описывается связь значений входящих в систему и выходящих из системы переменных без использования физико-

27

химической информации о происходящих в объекте процессах (модель черного ящика). Математическим описанием поведения системы обычно являются уравнения в форме полиномов. Для обеспечения статистической независимости параметров модели используют планирование эксперимента (например, ортогональные планы эксперимента).

Описание поверхности отклика полиномами первого порядка, в большинстве задач химической технологии, часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка.

В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов равное 3k. Так, при k = 3 их 27, а число коэффициентов b – 10, при k=5 число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление ПФЭ для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно.

Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика y = f(x1,x2) второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и так далее, описываемую в общем виде уравнением

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b11x12 + b22x22 + b12x1x2.

Для определения такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е. факторы x1 и x2 должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов x1 и x2 на рис. 15, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4 ПФЭ 22, располагающихся в вершинах квадрата, как это было для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях x1 и x2 с координатами (±α;0), (0;±α) и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) (и так далее) располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.

а б

Рис. 15. Планы второго порядка при k=2: а – ортогональный; б – ротатабельный

28

Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при k<5 ПФЭ 2k, а при k≥5 – дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:

1)добавить 2·k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства (±α,0, 0, ..., 0), (0, ±α, 0, ...,0), ..., (0, 0, ..., ±α), где α –

звездное плечо, или расстояние до звездной точки;

2)провести n0 опытов при значениях факторов в центре плана. При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит

n = 2k + 2·k + n0 при k < 5,

n = 2k – 1 + 2·k +n0 при k ≥ 5.

При этом величина звездного плеча α и число опытов в центре плана n0 зависит от выбранного вида композиционного плана.

Композиционный план для k = 2 и n0 = 1 представлен в табл. 2.

Аналогичным образом составляются планы и для большего числа факторов. Ротатабельным называют планирование, для которого дисперсия отклика (выходного параметра –y), предсказанного уравнением регрессии, постоянна для всех точек, находящихся на равном расстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее не известно, где находится та часть поверхности отклика, которая представляет для него особый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количество информации, содержащееся в уравнении регрессии, было одинаково для всех равноотстоящих от центра эксперимента точек. Действительно, удаление от центра точек 5,6,7,8 в 2 = 1,414 раза меньше, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 (см. рис. 15, а) и, следовательно, коэффициенты уравнения регрессии определяются с различной дисперсией. Бокс и Хантер предложили ротатабельные планы 2-го порядка. Для того чтобы композиционный план был

ротатабельным, величину звездного плеча α выбирают из условия

29

или в общем случае

k −p

α = 2 4 ,

где k – число факторов; p – дробность реплики (для ПФЭ p = 0, для полуреплики p = 1, для четвертьреплики p = 2 и так далее).

Число точек в центре плана n0 увеличивают. В табл. 3 приведены значения α и n0 для различного числа независимых факторов.

Таблица 3

Значения звездных плеч и числа точек в центре ротатабельных планов

Поясним идею выбора значения звездного плеча α на примере матрицы ротатабельного планирования второго порядка для k = 2, представленной в табл. 4.

Размещение точек этого плана показано на рис. 15,б. Для обеспечения ротатабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на расстояние α в 2 =1,414 раз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осей х2 и х1. В результате этого все точки плана (табл. 4) оказываются лежащими на окруж-

30