книги / Математический анализ в задачах и упражнениях
..pdfи lim n a 1. Следовательно, применение радикального при- |
|
n |
n |
|
знака Коши также бесполезно. Интегральный признак Коши здесь применить затруднительно, так как общий член ряда содержит факториалы.
Попытаемся использовать признак сравнения. Оценим общий член данного ряда:
an (2n 1)!! |
|
1 3 5 (2n 1) |
1 |
1 |
3 |
5 |
|
2n 1. |
||||||||||||||||||||||||
|
n(2n)!! |
|
|
n 2 4 6 (2n) |
n |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||||||||||||||||
Увеличивая в каждом множителе, начиная со второго, чис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
лители и знаменатели на единицу и учитывая, что 2n 1 |
|
|
2n |
|
||||||||||||||||||||||||||||
2n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
||||||||
(поскольку 4n2 1 4n2 ), получаем неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a |
1 |
2 |
|
4 |
6 |
|
2n |
|
|
|
|
n 2 4 6 (2n) |
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
7 |
2n 1 |
|
n2 |
1 3 5 (2n 1)(2n 1) |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 a (2n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку |
2n 1 n , то |
a |
1 |
|
, откуда |
a2 |
|
|
1 |
|
|
, следо- |
||||||||||||||||||||
n3an |
|
|
n3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
вательно, |
a |
|
|
|
1 |
|
|
. Но ряд с общим членом |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
сходит- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся как обобщенный гармонический с показателем p 32 1.
Следовательно, по признаку сравнения сходится и исследуемый ряд с общим членом an .
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 |
n |
|
|
|
Пример 10. Исследовать на сходимость ряд |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. |
|
|
|
n 1 |
4 3n5 1 |
|
||||
|
Нетрудно |
убедиться в |
том, |
что |
данный |
ряд |
|||||
(в смысле сходимости) |
ведет себя |
так |
же, |
как |
|
и |
ряд |
||||
|
ln2 n |
a |
конечен и отличен от нуля). |
|
|
|
|
|
|
||
|
4 n5 |
(lim n |
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
n bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131 |
elib.pstu.ru
Исследуем на сходимость второй ряд. Представим его общий член в виде произведения общего члена сходящегося
обобщенного гармонического ряда и частного от деления ln2 n на некоторую положительную степень n ; например, так:
|
|
|
ln2 n |
|
ln2 n 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 n5 |
8 n |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim ln2 n |
lim ln2 n |
lim |
|
2ln x x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
n 8 n |
n |
8 n |
|
|
|
x |
1 |
x |
7 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
16 lim |
|
16 lim |
|
x |
|
|
128lim |
|
|
0 |
|||||||||
1 |
1 |
|
7 |
|
|
1 |
|
||||||||||||
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
x8 |
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
x8 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(здесь дважды применено правило Лопиталя), то начиная с не-
которого |
номера |
ln2 n |
1 и, следовательно, |
для достаточно |
|||||||||||
8 |
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
больших |
n |
|
справедливо неравенство |
ln2 n |
|
|
1 |
. Ряд с общим |
|||||||
|
4 n5 |
|
9 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n8 |
|
|||
членом |
|
1 |
|
сходится как обобщенный гармонический с показа- |
|||||||||||
9 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
телем p |
9 |
1 . Следовательно, по признаку сравнения, сходит- |
|||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
n , а его сходимость по признаку сравнения, в свою |
||||||||||
ся ряд ln |
|
||||||||||||||
|
n 1 |
4 n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
очередь, влечет за собой сходимость исходного ряда. Рассмотрим теперь пример, когда предельная форма признака
Даламбера ответа о сходимости ряда не дает, в то время как первоначальнаяформапризнакаДаламберавполнеэффективна.
132
elib.pstu.ru
|
|
|
|
|
|
e |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 11. Исследовать на сходимость ряд (n!) |
|
. |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
||
Решение. Наличие факториала в общем члене данного ряда |
|||||||||
наталкивает на мысль использовать признак Даламбера: |
|
|
|
||||||
l lim an 1 |
|
n 1 |
n |
n |
|
|
|
|
|
lim |
(n 1)! e n |
|
|
|
|
|
|
||
|
n 1 |
|
|
|
|
||||
n an |
n |
n! e |
(n 1) |
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
1 n |
|
1 |
|
e lim |
|
|
e lim 1 |
|
|
e |
|
1. |
(n 1) |
n |
e |
||||||
n |
|
n |
|
n |
|
|
Таким образом, предельная форма признака Даламбера ответа о сходимости ряда не дает. Замечаем, однако, что при всяком n справедливо неравенство an 1 an . Действительно,
|
|
e |
n 1 |
n!en 1 |
|
|
enn |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||||
an 1 (n 1)! |
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
an , |
||||
|
(n 1) |
n |
|
(n |
1) |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
Следовательно, |
при всяком |
|
n |
|
для данного |
|||||||||||||||||
так как 1 |
n |
e. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ряда an 1 |
1. Попризнаку Даламбераданныйрядрасходится. |
|||||||||||||||||||||||||
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||
Пример 12. Исследовать на сходимость ряд |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|||
Решение. |
Предел |
отношения |
a |
n 1 |
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
в |
|
данном |
||||||||||
|
|
(n 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
n 1 1 |
|
|
|
|
|
|
случае вычислить затруднительно. Поэтому применение признака Даламбера отпадает. Используем признак Коши. При вычислении предела воспользуемся формулой Стирлинга и заме-
ним n! на 2 nn 12 e n :
|
|
|
|
|
2 nn |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
n! |
|
2 e n |
|
2n 2 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim n a |
n |
lim n |
|
lim n |
|
|
lim |
|
n |
n |
|
2n . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
n |
n n |
n |
n n |
|
n e |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ряд расходится.
133
elib.pstu.ru
|
Пример |
|
13. |
Исследовать |
на |
сходимость |
ряд |
|||||||
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n2 |
|
2 ( 1)n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Первая мысль, возникающая при рассмотрении |
|||||||||||||
данного ряда, |
применить признаки Даламбера или Коши. Но |
|||||||||||||
оба предела: lim an 1 |
и lim n a – здесь не существуют. Однако |
|||||||||||||
|
|
|
|
n a |
n |
n |
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
верхний предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
a |
lim n |
n2 3n |
3 при n 2k |
|
|||
|
|
|
|
|
lim |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
4n |
4 |
|
|
существует и меньше единицы. По радикальному признаку Коши данный ряд сходится.
6.2. Знакопеременные ряды
Пример 14. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
5 |
2 |
|
6 |
|
|
7 |
8 |
2 |
9 |
2 |
10 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(плюс, два минуса, |
три плюса, |
|
четыре минуса, |
|
пять плюсов |
|||||||||||||||||||||||||||||||
и т.д.; |
|
a |
n |
|
|
1 |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда
12 . Он сходится как обобщенный гармонический ряд с пока-
n 1 n
зателем p 2 1 . Следовательно, сходится и данный ряд, при-
том абсолютно.
Пример 15. С помощью признака Лейбница исследовать на
сходимость знакочередующийся ряд ( 1)n 1 , выяснить ха-
n 1 n
рактер сходимости.
134
elib.pstu.ru
Решение. Поскольку 1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
(члены ряда |
||
2 |
n |
n 1 |
||||||
|
3 |
|
|
|
||||
монотонно убывают) и lim u |
n |
lim 1 |
0 , то по признаку Лейб- |
|||||
n |
n n |
|
|
|
|
|
ница данный ряд сходится. Однако он сходится лишь условно, так как ряд, составленный из модулей его членов, расходится (он является гармоническим).
Пример 16. Показать, что если изменить порядок следова-
ния членов условно сходящегося ряда Лейбница ( 1)n 1 так,
n 1 n
чтобы за каждым его положительным членом следовало два отрицательных, то получится ряд
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
, |
(А) |
|
2 |
4 |
3 |
6 |
8 |
5 |
10 |
12 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма которого будет в два раза меньше, чем у исходного ряда. Решение. Условная сходимость данного ряда доказана
в примере 15. Обозначим его сумму через s , т. е. положим
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
s. |
(Б) |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
|
Преобразуем теперь ряд (А) следующим образом:
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
3 |
6 |
8 |
5 |
10 |
12 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 14 16 18 101 121
1 1 1 1 1 1 1 ... 1 s. 2 2 3 4 5 6 2
Как видно, сумма ряда (А), полученного простой перестановкой членов ряда, в два раза меньше суммы исходного ряда Лейбница.
135
elib.pstu.ru
Заметим, что s 0 , так как |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
||
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
2n 1 |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
2n |
|
ввиду положительности разностей чисел, стоящих внутри каждой пары скобок.
Пример 17. Исследовать на сходимость ряд n n .
n 1 2n !
Решение. Исследуем данный знакочередующийся ряд сразу на абсолютную сходимость. С этой целью составим ряд из мо-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дулей членов данного ряда: |
|
|
|
n |
|
|
|
|
. Применим к этому ряду |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 2n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
признак Даламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim an 1 |
|
|
n 1 |
n 1 |
2n ! |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
n |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
lim |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n |
an |
n |
2n 2 |
!n |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 2n 1 |
|
|||||||||||||||
Ряд из модулей сходится. Следовательно, исходный ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 18. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
7 |
8 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
6n 5 2 |
|
6n 4 2 |
6n 2 2 |
|
|
6n 1 2 |
|
(два плюса, два минуса и т.д.)
Решение. Из модулей членов данного ряда составим ряд
1 212 412 512 712 812 1012 1112 .
Он сходится, так как его частичная сумма sn монотонно возрастает с возрастанием n и является ограниченной, например, чис-
|
1 |
|
|
лом sn |
. Следовательно, данныйряд сходитсяабсолютно. |
||
2 |
|||
n 1 |
n |
||
136 |
|
|
elib.pstu.ru
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Пример 19. Исследовать на сходимость ряд 1 |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
Решение. Данный ряд |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является знакопеременным, и если сходится, то лишь условно, так как ряд, составленный из модулей его членов, расходится
как обобщенный гармонический с показателем p 12 1. Из данного ряда попарной группировкой его членов образуем ряд
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
k |
1 |
|
1 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
2 |
3 |
4 |
5 |
2k |
2k 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Он сходится по признаку Лейбница.
Пусть сумма этого ряда равна , т.е. частичные суммы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
n 1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
2k 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
имеют предел, равный |
|
|
|
lim |
m 1 |
|
|
|
. Тогда и частичные сум- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
m m 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
мы исходного ряда sn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеют предел, равный |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||||||||||||||||||
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
, следовательно, исходный ряд сходится условно. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
s2m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||
1 |
m 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m 1 |
|
|||||||||||||||
1 m |
|
|
1 |
m 1 m |
1 |
, |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2m |
2m |
|
|||||||||||||||||||||||||
а s2m 1 m 1 . Отсюда следует, что lim s2m |
lim sn . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137 |
elib.pstu.ru
Рассмотрим теперь примеры на применение признаков Абеля и Дирихле.
|
Пример |
20. |
|
|
Исследовать |
|
на |
сходимость |
ряд |
|||||||||||
|
|
|
n n 1 |
1 |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Ряд, составленный из модулей членов данного ря- |
|||||||||||||||||||
да, |
расходится, так |
как |
1 |
|
|
1 |
n |
|
e |
при n , |
а ряд |
|||||||||
|
1 |
n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится как обобщенный гармонический с показате- |
||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лем p 12 1. Следовательно, речь может идти только об ус-
ловной сходимости данного ряда. Признак Лейбница здесь неприменим, так как ряд не является знакочередующимся. Применим признак Абеля. Пусть
bn 1 |
n n 1 |
1 |
|
|
|
1 n |
|
2 |
|
|
, |
an 1 |
|
. |
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
Ряд bn сходится (см. пример 19), а последовательность
n 1
an монотонна и ограничена an e , поэтому данный ряд по признаку Абеля сходится (и притом лишь условно).
Пример 21. Исследовать сходимость ряда cos n .
n 1 n
Решение. Простейшая оценка cosnn 1n не дает инфор-
|
|
. Покажем, что данный ряд |
мации о поведении ряда cos n |
||
n 1 |
n |
|
138
elib.pstu.ru
сходится. Положим bn cos n и an 1n . Последовательность
|
1 |
монотонно стремится к нулю при |
n . |
Докажем, что |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частичные суммы n |
ряда bn cos n ограничены: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
cos k |
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
cos k |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
2sin |
1 k 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
sin |
|
|
sin |
|
sin |
|
|
|
(А) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2n |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
sin |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу признака Дирихле данный ряд сходится. Для исследования абсолютной сходимости этого ряда удобно вос-
пользоваться оценкой |
|
cos n |
|
cos2 n . Имеем |
|
cos n |
|
cos2 n |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
cos 2n . Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
расходится, а ряд |
cos 2n так |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
2 n |
n 1 2 n |
|
|
|
|
n 1 |
|
2 n |
|
же, как и исходный ряд, сходится в силу признака Дирихле
|
n |
|
1 |
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(оценка |
cos 2k |
|
2sin1cos 2k |
|
|
проводится |
|||||||||
|
sin1 |
||||||||||||||
|
k 1 |
|
2sin1 k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
, а в |
аналогично (А)). Следовательно, расходится ряд cos |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n |
|
. Итак, |
ряд |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
силу теоремы сравнения и ряд |
|
|
cos n |
||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
сходится условно.
139
elib.pstu.ru
6.3. Функциональные ряды
Пример 22. Найти область сходимости ряда 1x .
n 1 n
Решение. Данный ряд представляет собой обобщенный гар-
монический ряд 1p , который сходится, и притом абсолютно,
n 1 n
при p x 1 и расходится при x 1 . Область сходимости ряда определяется двойным неравенством 1 x .
Пример 23. Найти область сходимости ряда nn .
n 1 x
Решение. Поскольку x 0 не входит в область определения функций – членов ряда, то можно считать x 0. Применим признак Даламбера. И так как этот признак применим лишь к рядам с положительными членами, то исследуем
ряд сразу |
на |
|
|
абсолютную |
сходимость. |
Поскольку |
|||||||||||||||||||||
f |
|
x |
n |
, |
f |
|
|
|
x |
|
(n 1) |
, то |
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l lim |
|
fn 1 x |
|
|
|
lim |
|
xn n |
|
|
1 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn x |
|
|
|
n 1 xn 1 |
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Отсюда вытекает, что ряд сходится, и притом абсолютно, |
||||||||||||||||||||||||
при |
|
x |
|
1. При |
|
|
x |
|
1 ряд расходится, как не удовлетворяющий |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
необходимому признаку сходимости. Если l 1, то признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает и, следовательно, при
x 1 ряд нужно исследовать особо. При |
x 1 получается гар- |
||
|
|
|
x 1 – сходящийся |
монический ряд 1 , он расходится; при |
|||
n 1 |
n |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
. Таким образом, |
область сходимости |
|
ряд Лейбница 1 |
|||
n 1 |
n |
|
|
данного ряда характеризуется неравенством 1 x 1 .
140
elib.pstu.ru