книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

В интервале времени t1 t напряжение на индуктивно-

сти так же, как и напряжение на конденсаторе, положительно, поскольку они совместно преодолевают сопротивление цепи. Теперь мгновенная мощность индуктивности отрицательна, и катушка так же, как и конденсатор, отдает запасенную в ней энергию. Вся эта энергия превращается в тепло.

1.7.3. Предельный апериодический разряд

Если корни характеристического уравнения вещественны и равны друг другу, переходный процесс имеет предельный апе-

выражения для тока и напряжения становятся неопределенными из-за равенства нулю и числителя, и знаменателя. Раскроем эти неопределенности по правилу Лопиталя, считая, что p1 – пере-

менная и стремится к p2 2RL . Получим следующее выражение для тока:

Для напряжений:

41

Характер процессов в этом случае не отличается от рассмотренных выше при апериодическом разряде конденсатора. Процесс также апериодический. Момент достижения током максимального абсолютного значения определяется как t1 1 .

Это предельный случай апериодического разряда, так как при дальнейшем уменьшении R ниже значения Rкр разряд становится колебательным.

1.7.4.Колебательный разряд конденсатора

Вслучае, если корни характеристического уравнения p1,2 комплексные сопряженные, переходный процесс имеет колеба-

выражение отрицательно. Корни характеристического уравнения в общем случае записываются в виде

p1,2 j св ,

где δ – коэффициент затухания, 2RL ; ωсв – частота свободных

Между и св существует следующая связь:

42

Подставив в данную формулу выражения для p1 и p2 , получим:

CU0 e t ( )sin свt e t cos свt св

св

LC

43

U0 e t sin свt св cos свt

св

U0 e t sin свt arctg св .

44

При построении графиков следует принимать во внимание

1. exp Тсв . В данном случае возможно только аналитиче-

ское определение свободной составляющей (рис. 1.18). Для этого необходимо оценить время переходного процесса: tпп 4 5 exp ,

где exp 1 . Далее в зависимости от необходимой точности по-

строения графика этот промежуток времени следует разбить на n интервалов t и далее рассчитать значение искомой функции в каждый момент: ti ti 1 t .

i

i(t)

–I0e- t

–I0

Рис. 1.18

2. Наибольший интерес представляет случай exp Tсв . В данном случае возможно графическое перемножение экспонен-

ты exp EL e t I0 e t и синусоиды sin свt . На рис. 1.19 изо-

св

45

46

здесь 0 – резонансная частота.

Период затухающих колебаний определяется по формуле

Быстроту затухания тока характеризуют декрементом колебаний , который определяется как отношение двух последующих амплитуд одного знака:

а также логарифмическим декрементом колебаний, определяе-

мым как

Рассмотрим подробнее энергетические процессы, происходящие при затухающем колебательном разряде конденсатора.

В интервале 0 t t1 , пока ток нарастает от нуля до макси-

мального по модулю значения, характер процесса такой же, как и при апериодическом разряде в аналогичном интервале (см. рис. 1.17). В интервале t1 t t2 характер колебательного разряда аналоги-

чен характеру апериодического разряда в интервале t1 t .

При апериодическом разряде напряжение на конденсаторе, напряжение на резисторе и ток уменьшаются до нуля в установившемся режиме. Но при колебательном разряде к моменту t2, когда конденсатор полностью разрядился, ток в катушке сохраняет еще конечное значение, что является результатом сравнительно небольших потерь энергии в предыдущем интервале времени.

47

Сохранившаяся к моменту t2 энергия в магнитном поле катушки является причиной того, что процесс продолжается в последующее время. В интервале t2 t t3 , где t3 Tсв 2 , ток, поддерживае-

мый ЭДС самоиндукции, продолжает протекать в том же направлении и заряжает конденсатор, причем напряжение на конденсаторе уже будет другого знака uC (t) 0. В этом промежутке времени

энергия из магнитного поля катушки частично переходит в энергию электрического поля конденсатора и частично превращается в тепло в сопротивлении. К моменту t3 конденсатор заряжается до максимального по модулю значения своего напряжения. В этот момент ток равен нулю, а uL uC . В следующую половину периода энер-

гетический процесс в точности повторяется, но знаки напряжений и тока будут противоположными их знакам в рассмотренном интервале t2 t t3 . Напряжение на конденсаторе в момент t Tсв будет

в раз меньше начального напряжения U0.

В предельном случае, когда R 0 , имеем 0, св 0 и

Tсв T0 2 LC. В этом случае колебания будут незатухаю-

щими, поскольку энергия электрического и магнитного полей не рассеивается. Величину T0 называют периодом незатухающих колебаний. Угловая частота незатухающих колебаний равна резонансной частоте контура. Принимая во внимание,

что при δ = 0 arctg , получаем:

св 2

Кривые тока и напряжений для этого случая полностью соответствуют характеру этих кривых при установившемся процессе в случае резонанса.

48

При R 0 имеем св 0 и Tсв T0 .

св 0 и Tсв . При этом колебательный разряд переходит в апе-

риодический. Этотпредельный случайужебылрассмотренвыше. Получим общий вид системы уравнений для определения

постоянных интегрирования для случая комплексных корней характеристического уравнения. Как уже было показано, полное решение запишется в виде

i(t) iпр e t M cos свt N sin свt .

Для определения M и N составим систему уравнений:

i(0 ) iпр e0 M cos0 N sin 0 iпр M , i (t) e t ( )M cos свt e t N sin свt св

Me t ( )sin свt Ne t св cos свt.

Запишем i t для t = 0+:

i 0 1 M cos0 1 свN sin 0 1 M sin 0

1 свN cos0 M свN.

Таким образом, искомая система уравнений имеет вид:

i(0 ) iпр M ?i/ (0 ) M свN ?

1.7.5. Подключение RLC-контура к источнику постоянного напряжения

Переходный процесс в схеме (рис. 1.20) с нулевыми начальными условиями:

uC (0 ) uC (0 ) 0; iL (0 ) iL (0 ) 0

49

Поскольку левая часть полученного уравнения совпадает с уравнением, описывающим разряд конденсатора в RLC-контуре,

его общее решение (свободная составляющая) будет иметь два экспоненциальных члена с теми же корнями, что и для рассмотренных выше случаев разряда конденсатора.

Получим закон изменения тока:

i(t) iпр A1e p1t A2e p2t .

Ток в установившемся режиме iпр будет равен нулю. На-

чальное условие для производной тока найдем из следующего уравнения:

Ri(0 ) Li (0 ) uC (0 ) E, i (0 ) EL .

Система уравнений для определения постоянных интегрирования принимает вид:

i(0 ) A1 A2 0,

i (0 ) A1 p1 A2 p2 EL .

Решение системы:

A1 A2 L p1E p2 .

50