книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов
..pdfКритерий 3 :
3 |
|
. |
|
|
|||
d |
|||
|
|
Уравнение размерностей
L0 M 0T 0 |
L 1MT 1 |
L3 1M 1 T 1. |
|
|
|
||
|
L LT 1 |
L 3M |
|
Уравнения для показателей степени
3 1 0, 1 0,1 0.
Показатели степени 1, 1, 1. Критерий подобия
3 d .
Критерий 4 находится аналогично критерию 2 и имеет вид
4 dk .
4.Критериальное уравнение запишется следующим образом:
1, 2 , 3 , 4 0
или
|
p |
|
l |
|
|
|
k |
|
|
|
|
, |
|
, |
|
, |
|
|
0. |
2 |
d |
d |
|
||||||
|
|
|
|
|
d |
|
Разрешим критериальное уравнение относительно 1 :
p |
l |
|
|
|
k |
||
|
f |
|
, |
|
, |
|
. |
2 |
|
d |
|
||||
|
d |
|
|
d |
91
Если предположить, что течение жидкости в трубе является равномерным (характер течения и распределение скоростей не меняется вдоль трубы), то можно принять, что перепад давления будет
пропорционален длине трубы. Тогда параметр |
l |
может быть выне- |
|
d |
|||
|
|
сен за знак функции в виде множителя:
p |
|
l |
|
|
|
k |
||
|
|
|
f |
|
, |
|
. |
|
υ |
2 |
d |
|
|
||||
|
|
dυ |
|
d |
Полученная формула может быть приведена к формуле Дар- си–Вейсбаха для потерь напора по длине трубы. Принимая во внимание, что p ghтр , получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
k l 2 |
d ρ |
|
k l 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
hтр |
2 f |
|
, |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dυρ d d 2g |
|
μ |
|
d d 2g |
|||||||||||||||
d |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
, |
|
|
|
– коэффициент Дарси, |
зависящий от числа Рей- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нольдса |
|
d |
и относительной шероховатости |
k |
|
внутренней по- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
верхности трубы.
Пример 2. Момент трения вращающегося диска (рис. П5.2).
S |
R |
Рис. П5.2 |
92
Искомая величина – момент на оси M тр , dim Mтр L2 MT 2 . Параметры, определяющие процесс:
R– радиус диска, dim R L ;
S– расстояние до стенки камеры, dim S L ;
k1 – шероховатость диска, dim k1 L;
k2 – шероховатость стенки камеры, dim k2 L ;
– угловая скорость, dimω T 1;
ρ– плотность жидкости, dimρ L 3M ;
μ – динамическая вязкость, dimμ L 1MT 1. 1. Список параметров системы:
Mтр , R, S, k1, k2 , , , .
Список основных и производных величин:
R, , , S, k1, k2 , , Mтр .
2.Количество критериев подобия: 8 3 5 .
3.Определение критериев подобия.
Критерий π1 :
|
1 |
|
S |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
R |
|||||||
|
|
|
|
||||
L0 M 0T 0 |
|
L |
|
|
L1 3 M T ; |
||
|
|
|
|
||||
L T L 3 M |
|
||||||
|
|
|
1 3 0,0,
0;1, 0, 0;
1 RS .
93
Критерии 2 , 3 . Находятся аналогично критерию 1 и имеют
вид
2 kR1 , 3 kR2 .
Критерий 4 :
|
4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
||||
|
|
|
|
|||
L0 M 0T 0 |
L 1MT |
1 |
|
L 1 3 M 1 T 1 |
; |
|
|
L T L 3 M |
|
|
|
1 3 0, 1 0,
1 0;
2, 1, 1;
4 |
|
|
. |
||
|
|
||||
R2 |
|
||||
|
|
|
Критерий 5 :
|
5 |
|
|
M тр |
|
; |
|
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|||
L0 M 0T 0 |
L2 MT |
2 |
L2 3 M 1 T 2 ; |
||||
|
L T L 3 M |
|
|
|
|||
|
2 3 0, |
||||||
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
0, ; |
|||||
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
0; |
5, 2, 1 ;
5 |
M тр |
. |
|
R5 2 |
|||
|
|
94
4. Критериальное уравнение
M тр |
|
S |
|
k |
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
f |
|
, |
1 |
, |
|
, |
|
|
. |
|
5 2 |
|
R |
R |
R |
2 |
||||||
R |
R |
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mтр C f 2 R5 , |
||
|
S |
|
k |
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
где C f |
f |
|
, |
1 |
, |
|
, |
|
|
. |
|
|
R |
R |
R |
2 |
|||||||
|
R |
|
|
|
|
|
Рассмотрим величину |
|
|
|
|
|
. Этот критерий можно заменить |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
R2 |
|
||||||||||||
критерием Рейнольдса |
R2 |
|
uR |
|
Re , |
где u R – окружная |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
скорость диска. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
k |
|
k |
2 |
|
|
|||
C f |
f |
|
, |
1 |
, |
|
, Re . |
|||||||
R |
R |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
Величина C f определяется экспериментальным путем. Пример 3. Вихревое обтекание тела (рис. П5.3).
li
l
Рис. П5.3
Необходимо определить период срыва вихрей , dim T . 1. Процесс характеризуется следующими параметрами
95
, l, li , , , .
Здесь: l – характерный размер, diml L ; li – размер, определяющий форму тела, dimli L ; – скорость обтекающего потока, dim LT 1 ; – плотность жидкости, dimρ L 3M ; – динами-
ческая вязкость, dim L 1MT 1 .
Список основных и производных величин
l, , , , li , .
2.Количество критериев 6 3 3 .
3.Определение критериев подобия.
Критерий π1:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
l |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
L0 M 0T 0 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
L 3 M T1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L |
LT 1 L 3M |
|
|||||||
|
|
|
3 0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0, |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
0; |
|||||||
|
|
|
1, 1, 0 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
li |
|
|
|
; |
|
|
|
|
l |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
L0 M 0T 0 |
|
L |
|
|
|
L1 3 M T ; |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
L 3 M |
T |
|
|
|
|
96
|
|
|
1 3 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
||
|
|
|
α 1, β 0, γ 0 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
li |
. |
|
|||
|
|
|
|
2i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Критерий 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
l |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L0 M 0T |
0 |
|
L 1MT |
1 |
|
|
|
L 1 3 M 1 T 1 ; |
|||||
|
|
3 |
M |
|
T |
- |
|
|
|
|
|
||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 0, 1 0, ;
1 0;1, 1, 1;
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
3 |
l |
l |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Критериальное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f |
|
i |
|
, |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f |
i |
|
, Re |
, |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
где Re – число Рейнольдса.
97
|
l |
|
|
|
Величина |
f |
i |
, Re |
может быть определена эксперименталь- |
|
||||
|
|
l |
|
|
ным путем.
Пример 4. Сопротивление сферы при обтекании потоком вязкой жидкости. Искомая величина – сила сопротивления W,
dimW LMT 2 . Параметры, определяющие процесс: R
сферы, dim R L ; |
– скорость обтекания, dimυ LT 1 ; |
|
ность жидкости, |
dim L 3M ; |
– динамическая |
dim L 1MT 1 .
1. Список параметров, характеризующих процесс:
W , R, , , .
–радиус
ρ– плот-
вязкость,
Основные и производные величины:
R, , , W , .
2.Количество критериев 5 3 2 .
3.Определение критериев.
Критерий π1:
|
1 |
W |
|
; |
|
|
|
||
|
R |
|||
|
|
|
||
L0 M 0T 0 |
LMT 2 |
|
L1 3 M 1 T 2 ; |
|
|
L LT 1 L 3M |
|
|
1 3 0, 1 0,2 0;
2, 2, 1;
1 |
|
W |
. |
||
|
|
||||
R2 |
2 |
||||
|
|
|
98
Критерий π2 :
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
L0 M 0T 0 |
|
L 1MT 1 |
|
|
|
L 1 3 M 1 T 1 ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
L |
LT 1 L 3M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 3 0, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 1, 1; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4. Критериальное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
, 2 |
0, |
|
|
|
|
, |
|
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
2 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cx Re |
2 |
|||||||||||
|
|
W R2 2 f |
|
|
|
, |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
R |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Cx Re 2 f |
|
|
|
R |
|
– коэффициент сопротивления, определяе- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мый экспериментально.
Пример 5. Задача Стокса о падении шара малых размеров в вязкой среде под действием силы тяжести. Предполагается, что падение шара не вызывает турбулентности. Список параметров, характеризующих процесс:
– скорость шара, dim LT 1 ;
1 – плотность шара, dim 1 L 3M ;
99
d– диаметр шара, dimd L ;
ρ2 – плотность среды, ρ2 L 3M ;
μ – динамическая вязкость среды, dim L 1MT 1 ; g – ускорение свободного падения, dim g LT 2 . 1. Список основных и производных величин:
, d, 2 , 1, , g .
2.Число критериев 6 3 3 .
3.Определение критериев.
Критерий π1:
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
L0 M 0T 0 |
|
L 3M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 3 3 M 1 T ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
LT 1 L L 3M |
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 3 0, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
||||||
|
|
|
0, 0, 1 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Критерий 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
L0 M 0T 0 |
|
L 1MT 1 |
|
|
|
|
|
|
|
L 1 3 M 1 T 1 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
LT 1 |
L L 3M |
|
|
|
|
|
100