книги / Процессы тепломассопереноса в гетерогенных системах

Напоминаем, что уравнение (80) выведено из условия стационарного режима при отсутствии внутри стенки тепловых источников или поглотителей тепла. При желании учесть эти эффекты интегрировать придётся другое уравнение, включающее с тем или иным знаком «источник тепла» в стенке.

В соответствии с уравнением Фурье можно вычислить количество теплоты, проходящей через стенку:

оставшаяся величина температурного напора от положения x до стенки 2 (текущий температурный напор) t t tст2 . Далее можно легко получить соотношение:

где Θ и Χ – безразмерный температурный напор и безразмерная координата. Влияние X на Θ представлено в графическом виде на рис. 22.

71

Введём понятия: кажущаяся (эквивалентная) усреднённая величина коэффициента теплопроводности для многослойной стенки

n

λэкв и суммарная толщина стенки i . Тогда, записав соотно-

1

шениедляэквивалентноготермическогосопротивления, получим:

7.4. Температурное поле в цилиндрической стенке

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах может быть записан в следующем виде [5]:

73

Поэтому для цилиндрического элемента бесконечной трубы (рис. 24) при полной симметрии потока, не имеющего внутренних источников тепла, эквивалентный вариант уравнения (79) будет выглядеть следующим образом:

Рис. 24. Распределение температуры по толщине цилиндрической стенки при постоянном тепловом потоке

Введём подстановку: t C1lnr C2. Здесь С1, С2 – постоянные величины.

После использования граничных условий может быть получено соотношение, справедливое для любого слоя многослойной цилиндрической стенки:

ln r

t tст1 tст1 tст2 rr1 , (90) ln 2

r1

где r – текущее значение радиуса стенки.

74

Температурное поле в цилиндрической стенке при наличии внутренних источников тепла (стационарный вариант) может быть найдено при решении уравнения

Тепловой поток от единицы длины трубы (Вт/м) определяется по формуле (вывод формулы нужно сделать самостоятельно):

Эта величина не зависит от поверхности цилиндрической стенки.

Для многослойной стенки принимается условие идеального контакта между слоями, т.е. в точке контакта ti = ti+1. Распределение температуры в такой стенке приведено на рис. 25.

Рис. 25. Распределение температуры в пределах многослойной цилиндрической стенки при постоянном тепловом потоке

Аналогично уравнению (84) можно получить:

где di = 2r(i).

75

Отсюда линейная плотность теплового потока определяется по уравнению (аналог уравнения (85)):

го слоя; Σ – полное термическое сопротивление многослойной цилиндрической стенки.

Температура на границе соприкосновения i-го и (i+1)-го слоёв стенки

Наконец, найдём эквивалентный коэффициент теплопроводности (см. (87)):

7.5.Теплообмен через цилиндрическую стенку

Всоответствии с рис. 26 рассмотрим ситуацию теплообмена между двумя жидкими или газообразными средами, одна из ко-

торых находится внутри трубы (tж1), а другая снаружи (tж2). Примем, что процесс теплообмена протекает при неизменных значе-

ниях коэффициентов теплоотдачи α1 и α2.

Необходимо найти температуры поверхностей стенки tcт1 и tcт2 и плотность теплового потока q.

Температурные напоры:

1) на внутренней поверхности стенки tж1 – tcт1; 2) по толщине стенки tcт1 – tcт2;

76

3) на внешней поверхности стенки tcт2 – tж2. Полный напор: tж1 – tж2.

Рис. 26. Теплообмен через цилиндрическую стенку

Для процесса теплоотдачи температурный напор выражается в виде уравнения:

Таким образом, можно записать уравнение для полного напора:

Отсюда линейная плотность теплового потока (на единицу площади)

Тогда k – линейный коэффициент теплопередачи. Он численно

77

равен количеству тепла, которое проходит через стенку трубы длиной 1 м в единицу времени от одной среды к другой при разности температур между ними в 1°С.

Дополнительно можно ввести величину R 1k , называемую

линейным термическим сопротивлением теплопередаче. В этом случае для каждого этапа теплопередачи (на внутренней и наружной поверхностях и по толщине стенок) можно ввести собственные значения сопротивлений:

(здесь δ = d2 – d1).

7.6. Критический диаметр цилиндрической стенки

Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра d2 на термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки в условиях теплопередачи. Примем, что параметры α1, α2, λ, d1 постоянны.

Суммарное термическое сопротивление

Зависимость R1(d2) имеет слабый минимум при величине наружного диаметра

78

Достаточно часто возникает ситуация, когда при увеличении толщины слоя теплоизоляции на горячем трубопроводе тепловые потери увеличиваются. В этом случае для достижения цели экономии энергии необходимо либо совсем убрать теплоизоляцию с трубопровода, либо увеличивать её толщину больше, чем dкр, как бы ни казалось это парадоксальным.

Основными задачами при выполнении практической работы по разделу 7 являются:

1.Ознакомление с методами решения частных вариантов уравнения теплового баланса.

2.Исследование влияния различных параметров процесса на его результаты.

3.Изучение влияния геометрии стенки на особенности процесса теплопередачи.

Задания при изучении модели:

1.Объяснить отсутствие экстремума термического сопротивления для плоской стенки.

2.Объяснить идеологию вывода расчётных формул для распределения температур по многослойной плоской стенке.

3.Выяснить наличие или отсутствие экстремума термического сопротивления для сферической стенки.

79

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ПРОЦЕССАМ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМАХ

1.Определить любым способом с точностью до 4 знаков после запятой положение максимума (времени) для отклика реактора на импульс при условиях трассировки (см. рис. 15):

– длительность импульса Т = 4 с;

– константа скорости химической реакции k = 0,01;

– скорость движения сырья вдоль реактора w = 1,2 м/с;

– коэффициент эффективной диффузии Def = 1;

– вспомогательное число ω = 1·10–4.

2.Реакция А→В с константой скорости k на пористом катализаторе. Критерий Зельдовича – Тиле χА = 10. Порядок реакции n = π/2.

Найти концентрацию компонента А в центре зерна, если на поверхности его концентрация равна 0,5.

3.Реакция А→В с константой скорости k на пористом катализаторе. Критерий Зельдовича – Тиле χА = 10. Порядок реакции уменьшается прямолинейно от 2 на поверхности до 1 в центре зерна.

Определить концентрацию компонента А в центре зерна, если его безразмернаяконцентрациянаповерхности зернаравна0,5.

4.Реакции А→В→С на пористом катализаторе. Константа

скорости k3 = (1/10)·k1.

Квадрат критерия Зельдовича – Тиле для компонента А равен 25, для компонента В 9. Начальная безразмерная концентрация А на границезернаравна0,5. ОпределитьконцентрациюВнаграницезерна.

5.Реакция А→В с константой скорости k на пористом катализаторе. Концентрация компонента А Ц(1) = 0,5. Определить концентрацию компонента А в центре зерна при k = 0.

80