книги / Неопределенный интеграл
..pdf5. Рекуррентные соотношения
Предположим, что подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением параметра, например, n − 1. Такое соотношение называется рекуррентным. Некоторые рекуррентные соотношения могут быть получены с помощью формулы интегрирования по частям.
Пример 5.4. С помощью интегрирования по частям выведем рекуррентные формулы для вычисления интегралов.
а) Получим рекуррентную формулу для интеграла
I (n)= (x2dx+ 1)n .
I (n)= (x2 1+ 1)n dx = x(2x+2 1+−1)xn2 dx = (x2 dx+ 1)n−1 − (xx22+dx1)n =
= I (n −1)− (x2 + 1)n .
Интеграл I = (xx22+dx1)n вычислим с помощью формулы
интегрирования по частям. |
Пусть u = x , |
|
|
dv = |
|
|
|
xdx |
|
|
|
. |
Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
1d |
( |
x2 |
+ 1 |
|
|
1 |
|
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
du = dx . |
Так как |
dv = |
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
= |
|
|
= |
t− ndt = |
|||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
) |
n |
|
|
|
|
|
) |
n |
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
( |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
1 t− n+1 |
+ c = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ C |
= − |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ C , |
|
то |
|||||||||||||||
2 |
|
−n + 1 |
2(n − 1) |
|
tn−1 |
|
|
2(n − 1) |
|
( |
x |
2 |
|
|
|
) |
n−1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
положим |
v = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. Таким образом, |
|
I = |
|
|
|
x2dx |
= |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
(n −1) |
( |
|
|
|
|
|
|
) |
n−1 |
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
41
= − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||||
|
2(n − 1) |
( |
x |
2 |
+ |
|
) |
n−1 |
|
|
2 |
(n − 1) |
( |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
n−1 |
|
2(n − 1) |
|
|
( |
x |
2 |
|
|
) |
n−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
I |
(n − 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
(n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Итак, |
I (n)= I (n − 1)+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (n − 1). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2(n − 1) |
|
( |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
) |
n−1 |
|
|
2(n − 1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
I (n)= 3− 2n I (n − 1) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2(n − 1) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
n−1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Мы получили рекуррентную формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
3− 2n |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2n − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
x |
2 |
|
|
) |
n |
|
|
( |
x |
2 |
|
|
|
) |
n−1 |
2(n − 1) |
( |
x |
2 |
|
|
|
|
|
) |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
При n = 1 мы имеем табличный интеграл |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= arctg x + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
При |
|
n = 2 |
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
x |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x |
2 |
|
+ |
|
|
) |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
x2 + 1 |
|
|
2 |
|
x2 + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
1 |
arctg x + |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
При n = 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
) |
3 |
|
|
4 |
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
4 |
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= − 4 |
|
− 2arctg x + 2(x2 + 1) |
|
+ |
4 |
|
( |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
3 |
arctg x − |
|
|
|
|
3x |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x |
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
4 x |
2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
Получим |
|
|
|
рекуррентную |
|
|
|
|
|
|
формулу |
|
|
|
для |
|
|
|
|
|
|
интеграла |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I (n)= cosn x dx . |
|
Пусть |
|
|
n ≥ 3. |
|
|
Представим |
|
|
|
|
подынтегральную |
42
функцию |
|
|
|
в |
виде |
cosn x = cosn− 2 x cos2 x = cosn− 2 |
|
|
( |
− sin2 x |
) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= cosn− 2 x − cosn− 2 x sin2 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Тогда |
|
|
I (n)= cosn x dx = cosn− 2x dx − cosn− 2 xsin2 x dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= I (n − 2)− sinx cosn−2 xsinxdx. Интеграл |
|
|
|
I = sinx cosn−2 xsinx dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
возьмем по частям: |
dv = cosn−2 xsinxdx = − cosn−2 x d (cosx) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u = sinx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
du = cosxdx |
v = − cos |
n−1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
I = sin x cosn− 2 xsin x dx = − |
1 |
|
|
cosn−1 xsin x + |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
n − 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
|
cosn x dx = − |
|
|
cosn−1 |
xsin x + |
|
|
|
I (n). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n − 1 |
n − |
1 |
n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Таким образом, I (n)= I (n − 2)+ |
1 |
|
|
|
cosn−1 xsinx − |
|
1 |
|
|
I (n). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n − |
1 |
|
n − |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
I |
(n) |
= I (n − 2) |
+ |
|
cosn−1 xsinx . |
|
Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n −1 |
n −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I (n) |
= |
n −1 |
|
I (n − 2)+ 1cosn−1 xsinx . Мы доказали формулу: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosn x dx = 1cosn−1 xsinx + n −1 cosn−2x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
|
n =1 |
мы имеем табличный интеграл |
I (1)= cosx dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= sinx + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx = 1+ cos2x dx = |
x |
+ sin2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
При n = 2 : |
I (2)= cos2 |
+ C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
При n ≥3 применим рекуррентную формулу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пусть n =3. Тогда I (3) |
= |
2 I (1)+ |
1cos2 xsinx |
и cos3 x dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
sinx + |
cos2 xsinx + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
|
|
|
Пусть n = 4 |
. Тогда |
I (4)= |
3 |
I |
(2)+ |
1 |
cos3 |
xsinx |
и cos4 x dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
3 |
+ |
+ |
1 |
cos |
3 |
xsinx + C = |
3 |
x + |
3 |
sin2x + |
1 |
cos |
3 |
xsinx + C. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
2 |
|
4 |
|
8 |
|
16 |
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5.4. С помощью интегрирования по частям получите рекуррентные формулы для вычисления следующих интегралов:
1) (x2 +1a2 )n dx . При n =1 интеграл является табличным.
Вычислите интеграл при n = 2 и n =3.
2) (a2 − x2 )n dx . При n = − 12 интеграл является табличным.
Вычислите интеграл при n = 12 и n = 32 .
3) (ln x)n dx . При n = 0 интеграл является табличным. Вычислите интеграл при n =1, n = 2 и n =3.
4) xnexdx . При n = 0 интеграл является табличным. Вычислите интеграл при n =1, n = 2 и n =3.
44
Глава 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
§1. Интегрирование дробно-рациональной функции
1. Интегрирование элементарных дробей
Элементарными (простыми) дробями называются дроби вида, приведен в табл. 3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|||
|
|
|
|
Элементарные (простые) дроби |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
Номер |
|
|
|
|
|
Пример |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
Ax + B |
|
||||
|
|
|
|
|
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
Ax + B |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + px +q)k |
|
||||||
|
|
|
(x − a)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интегралы от дробей типов I и II – табличные: |
||||||||||||||||||||||||
I. |
|
A |
dx = Aln |
|
x − a |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − a)− k+1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
II. |
|
A |
|
|
|
dx =A |
|
+ C = − |
|
A |
|
+ C . |
||||||||||||
(x − a)k |
|
−k + 1 |
k −1 |
|
(x − a)k−1 |
Интегралы от дробей типа III рассматривались в главе 2 §2.2 (интегралы вида С).
Интегралы от дробей типа IV находятся с помощью рекуррентной формулы, которая была получена в главе 1, §3.5.
45
2.Представление дробно-рациональной функции
ввиде суммы элементарных дробей
Дробно-рациональной функцией называется функция, пред-
ставляющая |
собой |
|
отношение |
|
двух |
многочленов: |
|
Pn (x) |
|||||
|
|
|
|
, где |
|||||||||
|
|
|
Qm (x) |
||||||||||
P (x) = a xn |
+ a xn−1 + ...+ a |
x + a |
|
|
– |
многочлен |
степени n, |
||||||
n |
0 |
1 |
|
n−1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Q (x) = b xm + b xm−1 |
+ ...+ b |
|
x + b |
|
– многочлен степени m. |
||||||||
m |
0 |
1 |
|
m−1 |
|
m |
|
|
|
|
|
||
|
Если |
степень |
числителя |
|
|
меньше степени |
знаменателя |
(n <m ), то дробь называется правильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя (n ≥ m ), то дробь неправильная.
Пусть дробь Pn ((x)) правильная (n <m ). Знаменатель Qm (x)
Qm x
нужно разложить на множители. Для этого находим корни уравнения Qm (x) = 0.
1. Если знаменатель имеет m действительных различных корней a1,a2,...,am , то Qm (x) = b(x − a1)(x − a2 ) ... (x − am ) и дроб-
но-рациональная функция |
|
Pn (x) |
|
представима в виде суммы |
m |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Qm (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
элементарных |
дробей |
|
|
Pn (x) |
A1 |
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
Am |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
. |
Здесь |
||||||||||||||||
|
|
Qm (x) |
x − a1 |
x − a2 |
x − am |
|||||||||||||||||||||||||||
|
A1,A2,...,Am |
– |
неопределенные |
|
коэффициенты. |
|
Например, |
|||||||||||||||||||||||||
|
2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
2x + 3 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
x3 − 6x2 + 11x − 6 |
(x − 1)(x − 2)(x − 3) |
x − 1 |
x − 2 |
x − 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2. Если знаменатель имеет только действительные корни |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a1, a2,..., al , |
причем |
|
некоторые |
|
из |
|
них |
– |
|
кратные, |
то |
|||||||||||||||||||||
Q (x) = b(x − a )k1 |
(x − a |
2 |
)k2 |
... (x − a )kl , |
k + k |
2 |
|
+...+ k |
l |
= m, |
и дроб- |
|||||||||||||||||||||
|
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
Pn (x) |
|
l |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
но-рациональная функция |
|
представима в виде суммы |
m |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Qm (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
A1,k |
|
|
||
элементарных дробей |
|
n |
= |
|
1,1 |
+ |
|
|
1,2 |
+ ...+ |
|
1 |
+ |
|||||||||
|
Qm (x) |
x − a1 |
|
(x − a1 )2 |
(x − a1 )k1 |
|||||||||||||||||
|
A |
|
A |
|
|
A2,k |
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
Al,k |
|
|
||
+ |
2,1 |
+ |
2,2 |
+ ...+ |
|
2 |
|
+...+ |
l,1 |
|
+ |
|
l,2 |
|
+ ...+ |
l |
. |
|||||
|
x − a2 |
|
(x − a2 )2 |
|
(x − a2 )k2 |
|
|
x − al |
|
(x |
− al )2 |
|
|
(x − al )kl |
|
|
При этом корень кратности 1 порождает одно слагаемое, корень кратности 2 – два слагаемых, корень кратности 3 – три слагаемых и т.д.
Таким образом, если в знаменателе есть сомножитель вида
(x−a) |
k |
, то он порождает k слагаемых: |
A1 |
|
+ |
A2 |
|
+ ...+ |
Ak |
. |
|
|||||||||||||
|
x − a |
(x − a)2 |
(x − a)k |
|
||||||||||||||||||||
|
|
Например, дробно-рациональная |
функция |
|
3x2 + 2 |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
x3 + 2x2 + x |
|||||||||||||||||||||
|
3x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
может быть представлена в виде суммы трех элементар- |
|||||||||||||||||||||||
x(x + 1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||
ных дробей |
|
3x2 + 2 |
A |
|
B |
C |
|
|
|
|
x5 + x4 − x2 + 1 |
|||||||||||||
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
, а дробь |
|
|
||||||||||||||
|
x(x + 1)2 |
x |
x + 1 |
(x + 1)2 |
(x −1)3 x2 (x + 2) |
будет представлять собой сумму 3+2+1=6 элементарных дробей:
x5 + x4 − x2 + 1 |
A |
+ |
A |
+ |
A |
+ |
A A |
A |
|||
(x −1)3 x2 (x + 2) |
= x −1 |
(x −1)2 |
(x −1)3 |
x |
+ x2 |
+ x + 2 . |
|||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
3. Если знаменатель содержит комплексные корни, то каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует слагае-
мое вида |
|
Ax + B |
, где |
D = p2 − 4q < 0. Например, дробно- |
||||||
x2 |
+ px + q |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рациональная функция |
|
|
1 |
|
|
содержит в знаменате- |
||||
( |
x2 |
+ 2x + 2 |
)( |
) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|||
ле, во-первых, квадратный трехчлен |
x2 + 2x + 2 с отрицательным |
|||||||||
дискриминантом D = −4 < 0 |
и, во-вторых, множитель вида x – a. |
Поэтому эта функция представима в виде суммы элементарных
дробей вида I и III: |
|
|
1 |
|
|
|
= |
Ax + B |
+ |
C |
. |
( |
|
|
|
)( |
) |
|
|
||||
|
x2 |
+ 2x + |
2 |
|
x2 + 2x + 2 x −1 |
||||||
|
|
|
x −1 |
|
47
Дробь |
|
x |
= |
|
|
x |
|
|
представима в виде сум- |
|
|
x4 + 5x2 + 4 |
(x2 + 1)(x2 + 4) |
||||||||
мы дробей |
|
x |
|
|
= |
Ax + B |
+ |
Cx + D |
, так как квадратные |
|
(x2 + 1)(x2 + 4) |
x2 + 1 |
x2 + 4 |
трехчлены x2 + 1 и x2 + 4 имеют отрицательный дискриминант. Отметим, что отрицательный дискриминант квадратного
трехчлена означает, что соответствующие квадратные уравнения x2 + 1= 0 и x2 + 4 = 0 не имеют действительных корней; выражения x2 + 1 и x2 + 4 не могут быть представлены в виде произведения b(x − a1)(x − a2 ), где a1, a2 – действительные числа.
4. Если знаменатель содержит комплексные корни, причем некоторые из них – кратные, то каждая пара комплексно-сопря-
женных корней кратности k |
порождает k |
слагаемых: |
|
A1x + B1 |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + px + q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ |
A2x + B2 |
|
|
|
+...+ |
|
|
Ak x + Bk |
|
|
|
|
. Например, |
дробно-рациональ- |
||||||||||||||||||||||||||
(x2 + px + q)2 |
|
(x2 + px + q)k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ная функция |
|
|
2x7 + x4 − 3 |
|
|
будет представлять собой сумму 3+1=4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
) |
3 |
( |
x + 5 |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
элементарных дробей: |
|
A1x + B1 |
+ |
|
A2x + B2 |
|
+ |
A3x + B3 |
+ |
|
C |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
( |
x |
) |
|
( |
|
) |
|
x +5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
2 |
|
|
|
x2 +1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Общая теорема о разложении дробно-рациональной функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции в сумму элементарных дробей имеет следующий вид. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема. |
|
Правильная дробь |
|
|
|
|
|
|
|
Pn |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏(x − ai )li ∏(x2 + pj x + qj )rj |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где нули |
квадратных трехчленов |
x2 + p j x + q j |
комплексные, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
Ai,l |
|
|
|
|
||||
допускает |
|
разложение |
|
|
|
|
|
i,1 |
+ |
|
|
i,2 |
|
+ ...+ |
|
|
i |
|
|
+ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
l |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ai |
|
|
(x − ai ) |
|
|
|
|
|
(x − ai ) |
i |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
s |
B |
x + C |
j,1 |
|
|
B |
j,2 |
x + C |
j,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bj,r x |
+ C j,r |
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ |
|
j,1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
. Резуль- |
||||||||
|
2 |
|
|
(x |
|
+ pj x + qj ) |
2 |
(x |
|
|
|
|
|
) |
r |
|
|||||||||||||||||||
|
+ pj x + qj |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
+ pj x + qj |
|
|
j |
|||||||||||||||||||||||
j=1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
тат запишем в виде табл. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Множитель |
|
Количество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид слагаемых |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
знаменателя |
|
слагаемых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
A2 |
+ ...+ |
|
|
|
|
|
Ak |
||||||
(x − a)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
x − a |
(x − a)2 |
(x − a)k |
|||||||||||||||||||||
(x2 + px + q)k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1x + B1 |
|
|
|
+ |
|
A2x + B2 |
|
|
+ ...+ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
|
(x2 + px + q)2 |
||||||||||||||||||||||||
p2 − 4q < 0 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
Ak x + Bk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + px + q)k |
|
|
|
|
|
|
3. Нахождение неопределенных коэффициентов
Способ 1. Для того чтобы найти неопределенные коэффициенты, сумму элементарных дробей приводят к общему знаменателю Qm (x). Затем приравнивают многочлен, получившийся в чис-
лителе, многочлену Pn (x). Полученное равенство является тожде-
ственным. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях тождества, получают систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Решив систему, находят неопределенные коэффициенты.
Пример 6.1. Представим дробно-рациональные функции в виде суммы элементарных дробей.
а) Представим функцию |
5x + 1 |
в виде суммы элементар- |
|
x2 + x − 2 |
|||
ных дробей. |
|
||
|
|
49
1. Найдем корни знаменателя, для этого решим уравнение x2 + x − 2 = 0. Разложим знаменатель на множители: x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2).
|
|
|
|
|
2. Представим функцию |
|
|
|
|
|
5x + 1 |
|
в виде суммы элемен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x − 1)(x + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
тарных дробей с неопределенными коэффициентами |
|
|
|
|
5x + 1 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 + x − 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
− 1 |
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3. Найдем неопределенные коэффициенты. Для этого приве- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дем |
|
|
|
|
дроби |
|
|
A |
+ |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
общему |
|
|
|
знаменателю: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −1 |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A + B)x + (2A − B) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
A |
|
+ |
|
|
B |
|
|
= |
|
Ax + 2A + Bx − B |
|
|
= |
|
. Из равенства |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − 1 |
x + 2 |
|
|
|
|
|
(x − 1)(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
(x − 1)(x + 2) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5x + 1 |
|
|
= |
|
(A + B)x + (2A − B) |
|
|
запишем систему для определения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + x − 2 |
|
|
|
|
(x − 1)(x + 2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A,B . Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенях x : |
|
x1 |
|
A + B = 5 |
. Решая полученную систему A + B = 5 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
2A − B = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A − B = 1 |
||||||||||||
находим A = 2, B = 3. Таким образом, |
|
|
|
5x + 1 |
= |
|
2 |
|
|
+ |
|
|
|
3 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + x − 2 |
x |
|
−1 |
|
x + 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
Представим функцию |
|
|
|
|
в виде суммы элементар- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 − 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ных дробей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1. Разложим |
( |
|
знаменатель |
|
) |
|
на |
|
|
|
|
|
множители: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x4 − 1= |
( |
|
|
|
|
|
|
)( |
) |
|
)( |
x |
) |
( |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 − 1 |
x2 + 1 = |
|
x − 1 |
|
|
+ 1 |
|
|
+ 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2. Представим функцию |
|
|
|
4x3 |
|
в виде суммы элементарных дро- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x4 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
бейснеопределеннымикоэффициентами |
|
= |
|
A |
|
+ |
|
|
B |
|
|
+ Cx + D . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x4 −1 |
|
x −1 |
|
x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
50