книги / Функции комплексного переменного и операционное исчисление
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Задача 17. Вычислить интеграл.
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Задача 18. Вычислить интеграл. |
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1 2i |
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18.27. |
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dz . |
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z 2 |
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(z |
1 2i) |
2 |
(z 3 2i) |
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|z 2i| 2 c |
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1 |
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4 ch iz |
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2 |
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18.28. |
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z |
cos |
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2 |
dz . |
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z |
3 |
z (z 2) |
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|z 3| 2 |
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2sin |
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z |
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2 |
4i |
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18.29. |
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dz . |
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(z 1 |
2i) |
2 |
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(z 3 2i) |
c |
z 2 |
1 |
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|z 2i| 2 |
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i |
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2 sh iz |
2 |
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18.30. |
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z |
sin |
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dz . |
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z |
2 |
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(z 1) |
2 |
(z |
1) |
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|z 2| 2 |
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Задача 19. Вычислить интеграл. |
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2 |
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dt |
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2 |
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dt |
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19.1. |
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. |
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19.8. |
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2 |
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3 sin t |
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8 |
3 |
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7 sin t |
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0 |
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0 |
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2 |
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dt |
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2 |
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|
dt |
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19.2. |
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. |
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19.9. |
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4 |
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15 sin t |
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9 |
4 |
|
5 sin t |
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0 |
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0 |
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2 |
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|
dt |
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2 |
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|
dt |
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19.3. |
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. |
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19.10. |
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5 |
2 |
6 sin t |
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4 |
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|
7 sin t |
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0 |
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0 |
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||||||||||||||
2 |
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|
dt |
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|
2 |
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|
dt |
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19.4. |
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. |
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19.11. |
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6 |
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35 sin t |
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3 |
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|
5 sin t |
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0 |
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0 |
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2 |
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|
dt |
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2 |
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|
dt |
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19.5. |
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|
. |
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19.12. |
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7 |
4 |
3 sin t |
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3 |
2 |
2 sin t |
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0 |
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0 |
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2 |
|
dt |
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|
2 |
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|
dt |
|
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||||
19.6. |
|
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. |
|
|
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19.13. |
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5 |
4sin t |
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4 |
2 |
3 sin t |
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0 |
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0 |
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|||||||||||||
2 |
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dt |
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|
2 |
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|
dt |
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||||
19.7. |
|
. |
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19.14. |
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||||||||||||||
5 |
3sin t |
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5 |
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21sin t |
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0 |
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|
0 |
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|
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76
2
19.15.
0
2
19.16.
0
2
19.17.
0
2
19.18.
0
2
19.19.
0
2
19.20.
0
2
19.21.
0
2
19.22.
0
|
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
||
6 4 |
2 sin t |
|||||||
|
|
dt |
||||||
|
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. |
||
8 2 |
15 sin t |
|||||||
|
dt |
|||||||
|
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. |
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|
||||
|
3 sin t 2 |
|||||||
|
|
dt |
||||||
|
|
. |
||||||
|
15 sin t 4 |
|||||||
|
|
dt |
||||||
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|
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. |
|||||
2 |
6 sin t 5 |
|||||||
|
|
dt |
||||||
|
|
. |
||||||
|
35 sin t 6 |
|||||||
|
|
dt |
||||||
|
|
. |
||||||
4 |
3 sin t 7 |
dt . 4sin t 5
2
19.23.
0
2
19.24.
0
2
19.25.
0
2
19.26.
0
2
19.27.
0
2
19.28.
0
2
19.29.
0
2
19.30.
0
|
dt |
||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
3sin t 5 |
|||||||
|
dt |
||||||
|
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|
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. |
|||
3 |
7 sin t 8 |
||||||
|
dt |
||||||
|
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. |
|||
4 |
5 sin t 9 |
||||||
|
dt |
||||||
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|
. |
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|
7 sin t 4 |
||||||
|
dt |
||||||
|
|
. |
|
||||
|
5 sin t 3 |
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|
dt |
||||||
|
|
. |
|||||
2 |
2 sin t 3 |
||||||
|
dt |
||||||
|
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. |
|||||
2 |
3 sin t 4 |
dt
21sin t 5
Задача 20. Вычислить интеграл.
2 |
|
dt |
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|
20.1. |
|
|
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. |
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(1 |
10 11cost) |
2 |
||||
0 |
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||||
2 |
|
dt |
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|
|
20.2. |
|
|
. |
|
|
|
( 5 |
cost) |
2 |
|
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||
0 |
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|
2
20.3.
0
2
20.4.
0
2
20.5.
0
|
dt |
|
. |
|
|
(1 |
6 7 cost)2 |
|
|
||
|
dt |
||||
|
|
|
. |
||
(2 |
3 |
11cost)2 |
|||
|
dt |
||||
|
|
|
. |
||
(3 |
2 2 |
3 cost)2 |
2 |
|
|
|
dt |
|
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|
|
|
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|
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|
20.6. |
|
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|
|
. |
|
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|
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(4 |
cost) |
2 |
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|
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|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.7. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
(4 |
3cost) |
2 |
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
20.8. |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
. |
|
( |
|
5 |
3 cost) |
2 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.9. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
( |
|
7 |
2cost) |
2 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
(4 |
7 cost) |
2 |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
77
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
(3 |
5 cost) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
(3 2 |
2 cost) |
2 |
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
(2 |
2 |
7 cost) |
2 |
||||||||||||||
0 |
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.14. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
6 cost) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
( |
6 |
5 cost) |
2 |
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
( |
7 |
5 cost) |
2 |
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.17. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
2 cost) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
( |
5 |
2cost) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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20.19. |
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. |
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(3 cost) |
2 |
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||||||
0 |
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2 |
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dt |
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20.20. |
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. |
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( |
7 |
2 cost) |
2 |
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0 |
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Задача 21. Вычислить интеграл.
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x2 x 2 |
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21.1. |
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dx . |
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x |
4 |
10x |
2 |
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9 |
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|||||||||
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x 1 |
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21.2. |
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dx . |
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(x |
2 |
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4) |
2 |
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dx |
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21.3. |
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. |
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(x |
4 |
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1) |
2 |
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2 |
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dt |
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20.21. |
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. |
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||||||||
( |
|
3 cost) |
2 |
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||||||||||||||||
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0 |
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|
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|||||||||||
|
2 |
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|
dt |
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20.22. |
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. |
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||||||||
(2 |
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|
3 cost) |
2 |
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||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
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|
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|
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||||||||||||||
|
2 |
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|
|
|
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|
dt |
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20.23. |
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. |
||||||||
( |
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13 |
2 |
|
3 cost) |
2 |
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0 |
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||||||||||||||||||
|
2 |
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|
|
|
dt |
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20.24. |
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|
. |
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||||||||
(2 |
cost) |
2 |
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||||||||||||||
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|
0 |
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|||||||||
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2 |
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|
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|
dt |
|
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||||
20.25. |
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. |
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||||||||
(3 |
2cost) |
2 |
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|||||||||||||||||
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|
0 |
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|
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|
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|||||||||||
|
2 |
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|
dt |
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||||
20.26. |
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. |
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||||||||
(2 |
cost) |
2 |
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||||||||||||||
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|
0 |
|
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|||||||||
|
2 |
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|
dt |
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||||
20.27. |
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. |
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( |
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10 |
3cost) |
2 |
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0 |
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||||||||||||||||
|
2 |
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|
|
dt |
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20.28. |
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||||||
( |
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3 |
|
2 cost) |
2 |
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|||||||||||||||||
|
|
0 |
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|
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||||||||||||||||
|
2 |
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|
dt |
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20.29. |
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. |
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|||||||
( |
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7 |
|
3 cost) |
2 |
|
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|
|
0 |
|
|
|
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||||||||||||||||
|
2 |
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|
|
|
dt |
|
|
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|
|
|
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||||
20.30. |
|
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|
. |
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|||||||
( |
|
7 cost) |
2 |
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0 |
|
|
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|||||||||||
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x2 |
5 |
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21.4. |
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dx . |
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x |
4 |
5x |
2 |
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6 |
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dx |
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21.5. |
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|
. |
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(x |
2 |
x 1) |
2 |
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|
x2 1 |
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21.6. |
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dx . |
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(x |
2 |
4x |
13) |
2 |
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78
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dx |
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21.7. |
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. |
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x |
4 |
10x |
2 |
9 |
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dx |
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21.8. |
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. |
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|||||||
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(x |
2 |
9) (x |
2 |
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4) |
2 |
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||||||||||||||||||||||
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x2dx |
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||||||
21.10. |
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|
|
|
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|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||
|
(x |
2 |
|
3) |
2 |
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
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dx |
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|||||||
21.11. |
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|
|
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. |
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||||||||||
(x |
2 |
|
2) |
(x |
2 |
|
|
|
3) |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
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|
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dx |
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|
|
|
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|
|||||||
21.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
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|||||||||||
(x |
2 |
|
9) |
(x |
2 |
|
|
1) |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
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|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
21.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
dx . |
|
|
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(x |
2 |
x |
1) |
2 |
|
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|
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|||||||||||||||||||||
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|
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||||||||||||||
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|
dx |
|
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|||||||
21.14. |
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|
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|
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|
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|
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. |
|
|||||||||
(x |
2 |
|
4) |
(x |
2 |
|
|
|
9) |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
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|
x2 |
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||||
21.15. |
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|
dx . |
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|
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(x |
2 |
|
5) |
2 |
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|||||||||||||||||
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|
dx |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
21.16. |
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|
|
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|
|
|
|
. |
|
|||||||||
(x |
2 |
|
1) |
2 |
(x |
2 |
|
4) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
dx |
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|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||
21.17. |
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|
. |
||||||||
(x |
2 |
|
4) |
2 |
|
(x |
2 |
|
|
16) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
21.9. |
|
|
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dx . |
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(x |
2 |
10x 29) |
2 |
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dx |
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21.18. |
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||||||||
(1 |
x |
2 |
) |
3 |
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21.19.
21.20.
21.21.
21.22.
21.23.
21.24.
21.25.
21.26.
21.27.
21.28.
21.29.
21.30.
dx |
|
|
. |
|
|
|||
(x2 1)2 (x2 5)2 |
|
|
||||||
x2 4 |
|
|
dx . |
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|
(x2 9)2 |
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|
dx |
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. |
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|
x4 7x2 12 |
|
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|||||
x2 1 |
|
dx . |
||||||
(x2 8x 17)2 |
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
. |
||
(x2 2)2 |
|
|
(x2 |
10)2 |
||||
x2 10 |
|
|
dx . |
|
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|
(x2 4)2 |
|
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|
dx |
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. |
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||
(x2 1)4 |
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
. |
|||
(x2 3)2 |
|
|
(x2 |
15)2 |
||||
x2 2 |
dx . |
|||||||
x4 7x2 |
|
12 |
|
dx |
|||
|
|
|
. |
|
(x2 |
10x 29)2 |
|||
|
x2 |
|||
|
|
dx . |
||
(x2 |
11)2 |
|||
|
dx |
|||
|
|
. |
||
(x2 |
1)2 (x2 16) |
79
3.2. Операционное исчисление
Задача 1. Найти изображение по данному оригиналу.
1.1. |
a) f (t) t2 sin 2t ; б) f (t) t e 3t ; |
|
|
|
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||||||||
|
в) |
f (t) |
cos7t cos 2t |
; г) f (t) t sin t ; д) f (t) cost . |
|||||||||
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|
||||||||||||
|
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1.2. |
a) f (t) sin2 4t ; б) |
f (t) t cos 2t ; в) |
f (t) cos(t 2) ; |
||||||||||
|
г) |
f (t) t2 e3t ; д) |
f (t) |
sin t |
. |
|
|
|
|
||||
|
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|
|
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|
|||||||
|
|
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|
|
t2 |
|
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|
||
1.3. |
a) f (t) (t 7)5 ; б) f (t) e2t sin 2t ; в) |
f |
(t) |
e5t e3t |
; |
||||||||
|
|||||||||||||
|
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|
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|
|
|
et |
|
|
г) |
f (t) t3 sin 2t ; д) f (t) e2t . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
||
1.4. |
a) f (t) sh(2t 5) ; б) f (t) t2 cos 4t ; в) |
f (t) t3 e 3t ; |
|||||||||||
|
г) |
f (t) t cost ; д) |
f (t) |
sin t |
. |
|
|
|
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||||
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||||||||
|
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|
|
t |
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|
1.5.a) f (t) sh2t cos3t ; б) f (t) e3t t ;
|
в) |
f (t) (2t 2)7 ; г) f (t) sin2 5t ; д) |
f (t) e3t . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
1.6. |
a) f (t) et |
t3 ; б) f (t) cos2 t ; в) f (t) e 2t sin(t 1) ; |
||||||||
|
г) |
f (t) t5 |
cos 4t ; д) f (t) |
sin t |
. |
|
|
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||
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|
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|
|||||
|
|
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|
t2 |
|
f (t) sh2t |
|
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1.7. |
a) f (t) t ch4t ; б) f (t) et sin 3t ; в) |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3t |
|
|
г) |
f (t) t2 |
cost ; д) f (t) (t 2)8 . |
|
|
|
||||
1.8. |
a) f (t) e3t t2 ; б) f (t) t3 cost ; в) |
f (t) t sin 6t ; |
||||||||
|
г) |
f (t) t e2t ; д) f (t) |
cost |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||
1.9. |
a) f (t) t sin(t 3) ; б) f (t) e2t cos3t ; |
|
||||||||
|
в) |
f (t) cos2 7t ; г) f (t) t2 1 ; д) |
f |
(t) e2t . |
|
|||||
|
|
|
|
et |
|
t3 |
|
80