книги / Решение геометрических и физических задач с помощью определенного интеграла
..pdf8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y2 = x3; y = 0; x =1.
9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды, заданной уравнениями:
х =t −sin t и y =1−cost.
10.Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а, b относительно его сторон.
11.Цистерна представляет собой параболический цилиндр, заданный уравнением z = y2; 0 ≤ z ≤ b; 0 ≤ z ≤ a. Найти работу, которую надо затратить, чтобы выкачать всю воду через верх.
Вариант 17
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 8 − x2 ; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2 2.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x = 4cost; y = 4sin t; y = 2 3 ( y ≥ 2 3 ).
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
ρ = |
5 sin ϕ; ρ = |
3 sin ϕ. |
|
2 |
2 |
|
31 |
|
4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = 2 −e−x ; ln 3 ≤ ϕ≤ ln 8.
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x = 2(t −sin t); y = 2(1−cost); |
0 ≤t ≤ |
π. |
|
|
2 |
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ =sec2 ϕ |
; |
0 ≤ϕ≤ |
π. |
2 |
|
|
2 |
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
z= 4x2 +9 y2 ; z = 6.
8.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = ex ; y = 0; x = 0.
9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу одной арки циклоиды, заданной уравнениями:
х= 2(t – sint) и у = 2(1 – cost).
10.Найти центр тяжести полуокружности x2 + y2 = 22, расположенной над осью Оx.
32
11. Тело движется прямолинейно по закону х = сt3, где x – длина пути, проходимого за время t = const. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости. Найти работу, производимую сопротивлением, при передвижении тела от x = 0 до x = a.
Вариант 18
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 −2x; y = x −2.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =10(t −sin t); y =10(1−cost); y =15; 0 ≤ x ≤ 20π ( у ≥15).
3. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, задан- |
||||||||
ными уравнениями в полярных координатах: |
|
|
|||||||
|
ρ = 3 cos ϕ; ρ = |
5 sin ϕ. |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4. |
Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных |
||||||||
координатах уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
− x |
2 ) |
; |
0 |
≤ x ≤ |
1 |
. |
|
|
y = ln 1 |
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: |
||||||||
|
x =8cos3 t; |
y =8sin3 t; 0 ≤t ≤ |
π. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ= 2e2ϕ; 0 ≤ϕ≤ π2 .
7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ |
y2 |
=1; |
z = 3 y; |
z = 0. |
3 |
|
||||
16 |
|
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y2 = 4x, x =1.
9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох параболы у2 = 4х при 0 ≤ х ≤ 6.
2 |
2 |
2 |
10.Найти центр тяжести дуги гипоциклоиды х3 + у3 = 23 , расположенной над осью Ох.
11.Определить массу стержня длиной l, если его линейная плотность меняется по закону ρ(х) = а + bx2, где x – расстояние от одного из концов стержня.
Вариант 19
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
7 y = x2 ; y2 = 7x.
34
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x = 2 2 cos3 x; y = 2 sin3 x; x =1 (x ≥1).
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ= 4cos 4ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
|
y = 1+ x2 +arcsin x; 0 ≤ x ≤ |
7 . |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
5. |
Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: |
||||
|
x = et (cost +sin t); y = et (cost −sin t); |
0 ≤t ≤ |
3π |
. |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
6. |
Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных коор- |
||||
динатах уравнением |
|
|
|
|
|
|
ρ =3sec2 ϕ; |
0 ≤ϕ≤ π. |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ |
y2 |
+ |
|
z2 |
=1; z =0; |
z = 2. |
16 |
|
196 |
|||||
9 |
|
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
35
x =3 − y2 ; x = y2 +1.
9.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох кардиоиды, заданной уравнениями:
х= 2cost – cos2t и y = 2sin t – sin 2t.
10.Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной половиной кубической параболы y2 = x2 и прямой x = 6.
11.Найти массу круглой пластинки радиусом R, если плотность вещества в каждой ее точке пропорциональна расстоянию от точки до центра и равна a на краю пластинки.
Вариант 20
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 −2x; y = −x +2.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x = 2 cost; y = 4 2 sin t.
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ= 2sin 4ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = 2 +arcsin x + x − x2 ; |
1 |
≤ x ≤ |
1 . |
|
4 |
|
2 |
36 |
|
|
|
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x =8(cost +sin t); y =8(sin t −t cost); 0 ≤t ≤ |
π. |
|
4 |
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ϕ= |
1 |
r + |
1 |
|
; 1 ≤ r ≤3. |
|
2 |
|
r |
|
|
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ |
y2 |
− |
|
z2 |
= −1; z =12. |
4 |
|
100 |
||||
9 |
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
x2 + y2 =1; |
x2 = |
3y |
. |
|
2 |
||||
|
|
|
9.Определить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты ρ = сos2ϕ вокруг полярной оси.
10.Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси Оx от x = 0 до x = π.
11.Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями радиусами 1 и 3. Зная, что плотность материалов обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность материала на внутренней окружности равна 1.
37
Вариант 21
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y= x2 , y =32 − x2.
2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =1−sin t; y =1−cost; y =1; 0 ≤t ≤ 2π ( y ≥1).
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
ρ =3sin ϕ; ρ =5sin ϕ.
4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = ln |
( |
x |
2 |
) |
≤ x ≤3. |
|
|
−1 ; 2 |
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x =(t2 −2)sin t +2t cos t; y =(2 −t2 )cos t +2t sin t; 0 ≤t ≤ π.
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ϕ= 2 r + |
1 |
|
; 1 ≤ r ≤ 2. |
|
r |
|
|
38
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ |
y2 |
+ |
|
z2 |
=1; z = 0; z =5. |
16 |
|
100 |
||||
9 |
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = x2 ; y = 2 − x2.
9.Определить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды ρ = 4(1 + cosϕ) вокруг полярной оси.
10.Найти центр тяжести тела, образованного вращением во-
круг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой х2 + у2 =1 и пря- 22 32
мыми у = 0, у = 3.
11. Определить время, в течение которого вода выльется из призматического сосуда объемом F через отверстие площадью f.
Скорость течения определяется по формуле v =µ 2gh, где µ – ко-
эффициент вязкости, h – расстояние от отверстия до уровня жидкости, g – ускорение свободного падения.
Вариант 22
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 −3x; y =3 − x.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
39
x =8cos3 t; y =8cos3 t; x =1 (x ≥1).
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ= 2cos 6ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = ln sin x; |
π |
≤ x ≤ |
π. |
|
3 |
|
2 |
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x = |
1 cost − |
1 cos 2t; |
y = |
1 sin t − |
1 sin 2t; |
π |
≤t ≤ |
2π. |
|
2 |
4 |
|
2 |
4 |
2 |
|
3 |
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ϕ=5sec2 ϕ |
; |
0 ≤ϕ≤ |
π. |
2 |
|
|
2 |
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 + |
y2 |
− z2 =1; |
z = 0; z =3. |
|
|||
4 |
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиком заданной функции:
y = |
3 |
4 − x2 . |
|
2 |
|
|
|
40 |