книги / Математика. Дифференциальные уравнения
.pdf§2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
Определения и замечания |
||||||||
1. |
a0 y′′+a1 y′+a2 y = 0 |
(2.8) |
Линейное однородное дифференци- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
альное уравнение второго порядка с |
|||||||||||
|
|
|
|
|
постоянными коэффициентами. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
а0, а1, а2 – постоянные коэффициен- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ты уравнения (2.8), причем а0 ≠ 0. |
|||||||||||
2. |
y′′+ py′′+qy = 0 |
(2.9) |
Уравнение |
|
(2.9) |
получено из (2.8), |
||||||||||
|
|
|
|
|
где |
p = |
a1 |
|
, |
q = |
a2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|||
3. |
y = ekx |
(2.10) |
Эйлер предложил искать частные ре- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
шения уравнения (2.9) в виде (2.10). |
|||||||||||
4. |
k2 + pk +q = 0 |
(2.11) |
Характеристическое уравнение. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Для составления характеристическо- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
го уравнения достаточно в исходном |
|||||||||||
|
|
|
|
|
дифференциальном уравнении вме- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
сто |
y′′, y′, |
y |
написать соответст- |
||||||||
|
|
|
|
|
венно k2 , |
k, k0 |
=1. |
|||||||||
5. |
|
|
Замечание 1. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Решение |
квадратного уравнения |
||||||||||
|
|
|
|
|
(2.11) определяем по формуле: |
|||||||||||
|
D > 0 , k1 ≠ k2 , |
(2.12) |
k1,2 |
= −p ± |
|
D , где D = p2 −4q. |
||||||||||
k1, k2 – действительные корни. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y1 = ek1x |
(2.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y2 |
= ek2 x |
(2.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= C1ek1x +C2ek2 x |
(2.15) |
Замечание 2. |
|
|
||||||||||
|
y |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(2.15) – общее решение уравнения |
|||||||||||
|
|
|
|
|
(2.9), т.к. у1 иу2 – линейнонезависимы: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
= |
ek1x |
= e(k1 −k2 )x ≠ const. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
ek2 x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
Определения и замечания |
|||||||
6. D = 0 , k1 = k2 , |
(2.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k1, k2 – действительные корни. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y1 = ek1x |
|
(2.17) |
Замечание. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
y2 = ek1x x |
|
(2.18) |
Так |
|
как |
k1 = k2 , |
то |
решения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 = ek1x и |
y2 |
= ek2 x |
– линейно за- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
висимы |
и |
функция |
вида |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = C1 y1 +C2 y2 |
общим решением |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
не является. |
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
= C1ek1x +C2ek1x x |
(2.19) |
Следует запомнить: |
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
если k1 = k2 , то y2 определяется по |
||||||||||||
|
|
|
k x |
(C1 |
+C2 x) |
|
формуле (2.18), тогда (2.19) – об- |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
y = e 1 |
(2.19') |
щее решение уравнения (2.9). |
|||||||||||||
7. D < 0, |
корни характери- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
стического |
уравнения ком- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
плексные сопряженные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k1,2 = α±iβ, |
(2.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y1 = eαx cosβx , |
(2.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y2 = eαx sin βx , |
(2.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= C1eαx cosβx +C2eαx sin βx |
|
Замечание. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
(2.23) |
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
(2.23') – общее решение уравнения |
||||||||||||
|
|
= eαx (C1 cosβx +C2 sin βx) |
|
(2.9), т.к. y1 и |
y2 – линейно неза- |
|||||||||||
|
y |
(2.23') |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
висимы: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
= |
eαx cosβx |
|
= ctg βx ≠ const . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
eαx sin |
βx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи
Задача 1. Найти общее решение уравнения y′′+3y′−10 y = 0.
42
Решение
Характеристическое уравнение
k2 +3k −10 = 0
имеет два различных действительных корня: k1 = 2 , k2 = −5 . Следовательно, согласно (2.13) и (2.14) имеем y1 = e2 x , y2 = e−5x .
Общее решение определяем по формуле (2.15):
y =C1e2 x +C2e−5x .
Задача 2. Найти общее решение уравнения y′′−6 y′+9 y = 0 .
Решение
Характеристическое уравнение
k2 −6k +9 = 0
в данном случае имеет два совпадающих корня k1 = k2 =3 , что соответствует пункту 6. Согласно (2.17) и (2.18) имеем: y1 = e3x ,
y2 = e3x x .
Общее решение определяем по формуле (2.19): y =C1e3x +C2e3x x = e3x (C1 +C2 x) .
Задача 3. Найти решение уравнения y′′+ 2 y′+10 y = 0 ,
удовлетворяющее начальным условиям y (0) = 0 , y′(0) =1 .
Решение
Характеристическое уравнение
k2 + 2k +10 = 0
43
имеет корни k1,2 = −1±3i. Сравнивая их с (2.20), находим: α = −1, β =3 . Следовательно, линейно независимыми частными решениями данного уравнения будут y1 и y2 , определяемые по формулам (2.21)
и (2.22).
|
|
y = e−x cos3x , y |
2 |
= e−x sin 3x . |
|
1 |
|
|
|||
Тогда общее решение имеет вид (2.23): |
|
||||
|
|
=C1e−x cos3x +C2e−x sin 3x = e−x (C1 cos3x +C2 sin 3x) . |
(*) |
||
|
y |
Переходим ко второй части задачи и подберем такие C1 и C2 ,
при которых соответствующее им частное решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.
Подставив согласно первому условию x = x0 = 0 , y = y (x0 ) = 0 в (*), имеем y (x0 ) = e0 (C1 cos(3 0) +C2 sin (3 0)) = 0, откуда C1 = 0.
Внося найденное значение C1 = 0 в уравнение (*) и продифференцировав его, находим:
y′ =(C2e−x sin 3x)′ =C2 (−e−x sin 3x +3e−x cos3x) ,
а тогда из второго условия x = x0 = 0 , y′(x0 ) =1, учтя что e0 =1 ,
cos 0 =1, sin 0 = 0 , получаем 1 =3C2 , т.е. C2 = 13 .
Таким образом, частное решение имеет вид:
y = 13 e−x sin 3x .
44
§3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
|||
1. y′′+ py′′+qy = f (x) |
(2.24) |
Линейное неоднородное диф- |
|||
|
|
ференциальное уравнение вто- |
|||
|
|
рого |
порядка с |
постоянными |
|
|
|
коэффициентами p и q. |
|||
|
|
Замечание 1. |
|
|
|
|
|
Нам уже известно (см. п. 7 §1, |
|||
|
|
гл.II), что общее решение тако- |
|||
|
|
го уравнения слагается из об- |
|||
|
|
щего |
решения |
соответствую- |
|
|
|
щего однородного уравнения и |
|||
|
|
какого-нибудь частного реше- |
|||
|
|
ния неоднородного уравнения. |
|||
|
|
Поскольку общее решение од- |
|||
|
|
нородного уравнения мы нахо- |
|||
|
|
дить умеем, то остается только |
|||
|
|
найти частное решение данно- |
|||
|
|
го уравнения (2.24). |
|||
|
|
Замечание 2. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
решение уравне- |
||
|
|
ния |
(2.24) |
со |
специальной |
|
|
правой частью. |
|
45
|
Основные формулы |
|
|
Определения |
|||||
|
|
|
и замечания |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
2. f (x) = eαx Pm (x) |
(2.25) |
Pm (x) |
– многочлен степени m, |
||||||
y* = eαx |
|
(x) |
|
eαx – показательная функция. |
|||||
Pm |
(2.26) |
Следует запомнить: |
|
||||||
|
|
|
|
(2.26) – частное решение урав- |
|||||
|
|
|
|
нения (2.24), где |
|
(x) – мно- |
|||
|
|
|
Pm |
||||||
|
|
|
|
гочлен той же степени, что и |
|||||
|
|
|
|
Pm (x) , но с неопределенными |
|||||
|
|
|
|
коэффициентами, а число α |
|||||
|
|
|
|
не является корнем харак- |
|||||
|
|
|
|
теристического |
|
уравнения |
|||
|
|
(x) xλ |
|
k2 + pk +q = 0. |
|
|
|
||
y* = eαx |
|
(2.27) |
(2.27) – частное решение урав- |
||||||
Pm |
|||||||||
|
|
|
|
нения (2.24), где |
α |
– корень |
|||
|
|
|
|
характеристического |
уравне- |
||||
|
|
|
|
ния, кратности λ. |
|
|
|
||
|
|
|
|
Замечание 1. |
|
|
|
||
|
|
|
|
Правило сохраняет свою силу |
|||||
|
|
|
|
и тогда, когда α = 0 , т.е. в пра- |
|||||
|
|
|
|
вой части стоит только много- |
|||||
|
|
|
|
член; в этом случае надо про- |
|||||
|
|
|
|
верить, не является ли число 0 |
|||||
|
|
|
|
корнем |
характеристического |
||||
|
|
|
|
уравнения. |
|
|
|
||
|
|
|
|
Замечание 2. |
|
|
|
||
|
|
|
|
В частных случаях многочлен |
|||||
|
|
|
|
Pm (x) может быть |
нулевой |
||||
|
|
|
|
степени ( m = 0 ), |
т.е. |
постоян- |
|||
|
|
|
|
ной величиной. |
|
|
|
46
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
|
Определения |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и замечания |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. f (x) = eαx Pm (x)cosβx +Qn (x)sin βx , |
(2.28) |
Pm (x) , |
Qn ( x) – много- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
члены степени m и n . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y* = eαx |
|
(x)cosβx + |
|
(x)sin βx |
|
|
Следует запомнить: |
|
|||||||||||
Pk |
Qk |
, |
(2.29) |
(2.29) – |
частное решение |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
(2.24), |
где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) и |
|
(x) многочле- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pk |
Qk |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ныстепениk, k = max(m, n), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с неопределенными коэф- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
фициентами, а комплекс- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ные числа α±βi |
не яв- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ляются |
корнями |
характе- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ристического |
|
уравнения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 + pk +q = 0 . |
|
|
|||||||||
y* = eαx |
|
(x)cosβx + |
|
(x)sin βx |
xλ |
(2.30) |
(2.30) – |
частное решение |
|||||||||||
Pk |
Qk |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
(2.24), |
где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α±βi – корень характе- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ристического |
|
уравнения, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
кратности λ. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
При решении задач ком- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
плексно сопряженный ко- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рень принято считать |
за |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
один. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая решения (2.26), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.27), (2.29) и (2.30) в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
указанной форме, мы на- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ходим |
неизвестные |
ко- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
эффициенты |
|
многочле- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нов |
|
(x) и |
|
(x) по ме- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
Q |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тоду |
неопределенных |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициентов. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 3. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в правую часть вхо- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дит только |
одна триго- |
47
Основные формулы |
|
|
Определения |
|||||
|
|
|
и замечания |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
нометрическая |
|
функция, |
||
|
|
|
|
в решение войдут обе с |
||||
|
|
|
|
различными |
|
многочле- |
||
|
|
|
|
нами одной степени. |
||||
4. y′′+ py′′+qy = |
f1 (x) |
|
Следует запомнить: |
|||||
(2.31) |
если |
y1* – частное реше- |
||||||
|
|
|
|
ние |
уравнения |
(2.31), а |
||
y′′+ py′′+qy = |
f2 (x) |
|
y2* |
– |
частное |
решение |
||
(2.32) |
уравнения (2.32) с одной |
|||||||
y′′+ py′′+qy = |
f1 (x) + f2 (x) |
(2.33) |
и той же левой частью, то |
|||||
|
|
|
|
сумма |
y1* + y2* |
|
является |
|
|
|
|
|
частным решением урав- |
||||
|
|
|
|
нения (2.33). |
|
|
||
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y′′+6 y′+5y = 25x2 −2 . |
|
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
соответствующее |
однородное |
уравнение |
|||||
y′′+6 y′+5y = 0 . Характеристическое уравнение |
|
|
|
|
||||
|
|
k2 +6k +5 = 0 |
|
|
|
|
|
имеет корни k1 = −5 , k2 = −1. Значит, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
y =C1e−5x +C2e−x .
Правая часть имеет форму (2.25):
f (x) = e0 x (25x2 −2),
причем α = 0 не является корнем характеристического уравнения, а (25x2 −2) – многочлен второй степени.
48
Частное решение ищем в виде (2.26):
y* = Ax2 + Bx +C ,
где A, B, C – постоянные, подлежащие отысканию. Тогда
y*′ = 2Ax + B , y*′′ = 2A.
Подставляя y* , y*′, y*′′ в уравнение, получим
2A +6(2Ax + B) +5(Ax2 + Bx +C ) = 25x2 −2 ,
или
5Ax2 +(12A +5B) x +(2A +6B +5C) = 25x2 −2 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождест-
венным, получим систему: |
|
|
|
||||
|
|
x2 : 5A = 25, |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
x :12A +5B = 0, |
|
||||
|
|
x |
0 |
: 2A +6B |
|
|
|
|
|
|
+5C = −2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
из которой находим A =5, B = −12, C =12. Следовательно, |
|||||||
|
|
|
|
y* =5x2 −12x +12 , |
|
||
а общее решение данного неоднородного уравнения: |
|||||||
y = |
|
+ y* =C e−5x +C |
e−x +5x2 |
−12x +12 . |
|||
y |
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Задача 2. Найти решение уравнения (коэффициенты не опреде- |
|||||||
лять) |
y′′−6 y′+9 y =(5x −1)e3x . |
||||||
|
|
|
Решение
Вначале находим общее решение однородного уравнения
49
y′′−6 y′+9 y = 0 .
Его характеристическое уравнение
k2 −6k +9 = 0
имеет корни k1,2 =3 .
Поэтому (согласно формуле (2.19))
y =C1e3x +C2e3x x = e3x (C1 +C2 x) .
Далее находим частное решение y* |
неоднородного уравнения. |
Для правой части данного уравнения |
f (x) =(5x −1)e3x , согласно |
указанному правилу (2.27), число α =3 является корнем характеристического уравнения, кратности λ = 2, а (5x −1) – многочлен первой степени: y* = e3x ( Ax + B) x2 .
Общее решение данного уравнения:
y = y + y* = e3x (C1 +C2 x) +e3x (Ax3 + Bx2 ).
Задача 3. Решить уравнение
y′′+ 4 y′+13y =5sin 2x .
Решение
Характеристическое уравнение
k2 + 4k +13 = 0
имеет корни k1,2 = −2 ±3i . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения запишется так:
y = e−2 x (C1 cos3x +C2 sin 3x) .
Правую часть уравнения запишем в виде f (x) =5e0x sin 2x ,
50