книги из ГПНТБ / Эйнштейн и развитие физико-математической мысли Сб.ст

А. ЭЙНШТЕЙН

НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА

азмышление об отношениях неэвклидовой геометрии к физике

Р

необходимо приводит к вопросу о соотношении между гео­

метрией и физикой вообще. Этот последний вопрос я и буду иметь прежде всего в виду и при этом постараюсь по возможности не касаться спорных вопросов философии.

В древнейшие времена геометрия была, без сомнения, полуэмпи­ рической наукой, чем-то вроде примитивной физики. Точкой

было тело, размерами которого можно пренебречь. Прямая оп­

ределялась или с помощью точек, которые можно оптически

совместить в направлении взгляда, или же с помощью натянутой нити.

Мы имеем, таким образом, дело с понятиями, которые — как

это вообще имеет место с понятиями — не взяты непосредствен­ но из опыта, или, другими словами, не обусловлены логически

опытом, но все-таки находятся в прямом отношении к объектам

наших переживаний.

Предложения относительно точек, прямыхі равенства отрез­

ков и углов были при таком состоянии знания в то же время и предложениями относительно известных переживаний, связан­

ных с предметами природы.

Такая геометрия превратилась в математическую науку, как только было понято, что большая часть ее предложений может быть чисто логическим путем выведена из небольшого числа пред­

Вывод отношений занимал тогда главное место в кругу научных интересов, поскольку самостоятельное построение логической

системы, не зависимое от ненадежных, зависящих от Случая внеш­

них опытов, всегда было для человеческого духа неотразимо при­

влекательно.

Свидетельствами эмпирического происхождения геометрии ос­ тались в ее системе только основные понятия (точка, прямая,

отрезок и т. п.) и так называемые аксиомы. Число этих логичев-

6

ки неприводимых основных понятий и аксиом стремились свести к минимуму. Стремление извлечь всю геометрию из смутной сферы эмпирического привело незаметным образом к ошибочному заклю­

чению, которое можно уподобить превращению героев древности в богов. Со временем привыкли к взгляду на основные понятия и аксиомы как на «очевидные», т. е. как на предметы и качества пред­ ставления, присущие человеческому духу; согласно этому взгля­

ду, основным понятиям геометрии соответствуютпредметы интуиции и отрицание той или другой аксиомы геометрии никоим образом

-не может быть осуществлено непротиворечивым образом. Но

тогда самая возможность приложения этих основных понятий

и аксиом к объектам действительности становится задачей, при­ бавим, той самой задачей, из которой возникло кантовское пони­

мание пространства.

Второй мотив для отказа геометрии от ее эмпирической основы дала физика. Согласно ставшему гораздо более тонким взгляду

физики на природу твердых тел и света, в природе не существует таких объектов, которые бы по своим свойствам точно соответство­

вали основным понятиям эвклидовой геометрии. Твердое тело не

может считаться абсолютно неизменяемым, а луч света точно не

воспроизводит ни прямую линию, ни даже вообще какой-либо образ одного измерения. По воззрению современной науки, гео­ метрия, взятая в отдельности, не соответствует, строго говоря,

івообще никаким опытам, она должна быть приложена к объяс­

нению их совместно с механикой, оптикой и т. д. Так как, сверх

того, геометрия должна предшествовать физике, так как законы

последней не могут быть выражены без помощи геометрии, то гео­ метрия и должна казаться наукой, логически предшествующей всякому опыту и всякой опытной науке. Таковы причины, по которым не только математикам и философам, но и физикам на­

чала XIX столетия основы эвклидовой геометрии казались абсо­

лютно незыблемыми.

Кэтому можно прибавить, что в течение всего XIX столетия

физику, если он не интересовался специально теорией познания, вопрос о соотношении геометрии и физики представлялся еще

проще, схематичнее и категоричнее.

Точка зрения, которой он бессознательно придерживался,

соответствовала двум положениям. Понятия и основные поло­ жения эвклидовой геометрии очевидны. Твердые тела со сделан­ ными на них отметками при соблюдении некоторых предосторож­

ностей реализуют геометрическое понятие отрезка, лучи света реализуют прямую линию.

Нужна была громадная работа, продолжавшаяся почти сто­

летие, для того, чтобы это положение существенным образом из­ менилось. Замечательно, что эта работа началась с чисто мате­ матических исследований еще задолго до того, как рамки эвкли­ довой геометрии стали узкими для физики. В задачу математики

входит обоснование геометрии при наименьшем числе аксиом.

е

Среди аксиом Эвклида была одна, которая казалась математикам непосредственно менее очевидной, чем прочие; в течение долгого времени они стремились свести ее к другим, т. е. доказать ее с их помощью. Это была так называемая аксиома о параллель­

ных.

Так как все старания дать ее доказательства ни к чему не при­ вели, должно было мало-помалу выработаться предположение,

что это доказательство невозможно, т. е., что эта аксиома не сво­

дится к другим.

Это предположение могло бы считаться доказанным, если бы удалось построить логически непротиворечивое научное по­

строение, отличающееся от эвклидовой геометрии тем и только тем,

что аксиома о параллельных заменена другой. Лобачевский, с

одной стороны, Больаи (отец и сын) — с другой, самостоятельно

пришли к этой мысли и убедительно провели ее; в этом состоит их незабвенная заслуга.

После этого у математиков не могло не возникнуть убежде­

ния, что, наряду с эвклидовой геометрией, существуют и дру­ гие, логически с нею вполне равноправные; естественно воз­

никал также вопрос, должна ли в основание физики быть поло­

жена именно эвклидова геометрия, а не какая-нибудь другая. Вопрос был поставлен в еще более определенной форме: ка­

кова геометрия физического мира: эвклидова или какая-нибудь

другая?

Много спорили о том, имеет ли этот вопрос смысл или нет.

Для уяснения этого спора необходимопоследовательнопровестиодну

из следующих двух точек зрения. G одной стороны, можно принять,

что геометрическое «тело» действительно реализуется физическими твердыми телами, если только, конечно, соблюдены известные предписания относительно температуры, механических напряже­

ний и т. п. Такова точка зрения практического физика-экспери­

ментатора. Тогда геометрический «отрезок» соответствует опре­

деленному объекту природы, и тем самым все предложения геометрии приобретают характер утверждений относительно

реальных тел. Эта точка зрения была особенно ясно высказана

Гельмгольцем, и можно прибавить, что без нее невозможно было бы практически подойти к теории относительности.

Но, с другой стороны, возможно и принципиальное отри­ цание существования предметов, соответствующих основным по­ нятиям геометрии. Тогда одна геометрия сама по себе не может

высказать никаких положений относительно реальных предме­ тов ; такие положения могут быть даны только вместе геометрией и

физикой.

Эта точка зрения, которая могла быть более соответству­

ющей систематическому изложению уже готовой физики, была в особенности ясно высказана Пуанкаре. G этой точки зрения все

содержание геометрии условно; решение вопроса о том, какая геометрия предпочтительнее, зависит от того, насколько «проста»

7