книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей
.pdf
И. К. Андронов и А. К. Окунев
ОСНОВНОЙ КУРС
ТРИГОНОМЕТРИИ,
РАЗВИВАЕМЫЙ НА ЦЕЛЕСООБРАЗНЫХ
ЗАДАЧАХ
(Пособие для учителей)
ГОСУ ДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА 1960
ГОС. ПУБЛИЧНАЯ НАУЧЬТ-ТЕХНИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА СССР
ОТ АВТОРОВ
Известно, что на русском языке имеется много различ ных курсов по тригонометрии.
Покажем особенности предлагаемого авторами пособия, чтобы читатель получил ответ, что заставило писать еще один курс по тригонометрии.
I.К настоящему времени выявились два направления
впреподавании тригонометрии:
1) абстрактно-дедуктивное, где c самого начала тригоно метрия излагается на основе понятий тригонометрических функций общего аргумента в интервале (—оо;оо), и только в конце рассматриваются приложения (в частности, к реше нию прямоугольного треугольника), в которых требуются знания только тригонометрии острого угла; эта система, как показал педагогический опыт, не является вполне эффективной, так как не соответствует.психологии разви вающегося мышления учащегося и полностью не соответ ствует историческому ходу развития тригонометрии;
2) конкретно-индуктивное, переходящее в дедуктивное, где в начале на основе практических задач развивается небольшая теория тригонометрии острого угла, показы вается далее недостаточность этой ограниченности для ре шения более сложных практических задач, после чего переходят к тригонометрии обобщенного аргумента.
Отметим, что в дореволюционной нашей средней школе оба направления существовали. Так в мужской гимназии (по программе 1890 г.) сохранялась первая система, к кото рой и были приспособлены учебники тригонометрии, по явившиеся в конце XIX в., как-то: Рыбкина Н. А., Шапош никова Н. А., Злотчанского П. И. и др.
В более прогрессивной средней школе—реальных учи лищах (по программе 1907г.)—была принята вторая система.
3
llo этой системе в XX в. быстро появлялись учебники но вого направления: проф. Глазенапа С. П., Билибина Н. И., Кильдюшевского Н. П., Слетова Н. П., Мрочека В. Р. и многих других.
Советская школа с самого ее возникновения приняла естественно вторую систему. Но старый учебник по триго нометрии Рыбкина Н. А. редакторами изменялся весьма неудачно в направлении второй системы. Ныне обстоит дело так, что первый индуктивный этап тригонометрии проходят в слишком урезанном виде в геометрии—в главе подобия треугольников, а второй этап—дедуктивный— развивается без опоры на этот первый этап.
Авторы предлагают такую систему:
1)начальную тригонометрию острого угла; (И. К. Андронов, А.К - Окунев, Тригонометрия острого угла Учпедгиз, 1959);
2)основной курс тригонометрии действительного числа
(данное пособие).
Только вместе взятые эти две книги дают полный ответ на систему прохождения тригонометрии в школе.
II. Известно, что тригонометрия исторически развива лась в наиболее тесной связи с приложениями и с решением задач (астрономических, геодезических, в строительной практике, прикладной механике, электротехнике и т. п.), а в преподавании тригонометрии и до сих пор остается раз рыв теории с практикой, в лучшем случае в конце курса после неубедительного для учащегося развития общей теории показывается, где можно применить эти зцания. Тем самым нарушается естественный процесс познания, который так прекрасно раскрывает В. И. Ленин: «От живо го созерцания к абстрактному мышлению и от него к прак тике—таков диалектический путь познания истины, по знания объективной реальности»1.
Авторы стремились оба курса (начальный и основной) построить на переходе от наблюдений жизненных явлений к доступной теории, а от нее к приложениям, что авторы и показывают в данном курсе, развиваемом на целесообраз ных задачах по преимуществу практического харак тера.
III. В нашей школе необходимо строить преподавание на основе идеи развития как в логическом, так и историческом
1 В. И. Ленин, Философские тетради, Госполитиздат, 1947, стр. 146—147.
4
ее понимании. Авторы всюду стремятся к тому, чтобы при учать учащихся к обобщению новых полученных знаний.
Так в самом начале основного курса обобщается изу ченная в алгебре числовая прямая в виде числовой окруж ности, что приводит естественно, а не искусственно к аргу менту действительного числа, изменяющегося в интервале (—оо; оо),и выявляет периодичность в соответствии точек окружности с множеством действительных чисел.
Отсюда авторы считают возникновение естественного названия «круговых функций» вместо тригонометриче ских, тем более, что в высшей школе учащиеся будут встре чаться с дальнейшими обобщениями: «гиперболические», «эллиптические» и другие функции.
Также авторы поступают и с основной теоремой синуса суммы двух аргументов, поднимаясь от простейших сла гаемых по четырем этапам до любых действительных зна чений аргумента. И несмотря на то, что это изложение как будто сложнее ныне принятой «системы проекций», оно дает для развития учащегося и полного понимания зна чительно больше, чем «система проекций».
Также авторы в обоих курсах давали достаточное число исторических данных по мере их необходимости в логиче ском развитии, предполагая, что это вкрапливание истории будет оживлять преподавание тригонометрии. Так же ста вится и решается вопрос о том, как можно составить таб лицу круговых функций близко к тому, как она составля лась в историческом развитии.
IV. Учащиеся бессознательно переносят на неалгебраи ческие уравнения удобную классификацию целых алгеб раических уравнений по их степеням и тем самым по их трудности. Авторы показывают, что тригонометрические уравнения не могут иметь такую классификацию, так как она не характеризует простоту и сложность этих урав нений.
Авторы предлагают новую систему классификации три гонометрических уравнений. Думается, что она внесет большую ясность в процесс решения тригонометрических уравнений.
V. В каждом предмете основ наук имеются тенденции укрепления созревших новых элементов, которые вытес няют пережитки прошлого. Вот почему авторы в некоторых
случаях отступили |
от принятой терминологии, а иногда |
и от обозначений. |
Так, например, в данном курсе имеем; |
1)вместо понятия «тригонометрических функций лю бого угла 'или любой круговой дуги» понятие «круговых функций действительного числа»,
2)вместо термина «приведения тригонометрических функций» говорится о «сведении круговых функций от
любого аргумента к аргументу ограниченному», 3) вместо «тригонометрические равенства» говорится о
«тригонометрических тождествах», которые записываются через «три черточки» (=),
В заключение авторы надеются, что наши коллеги — учи теля математики, прочтя это пособие, дадут ряд своих кри тических замечаний, которые помогут авторам улучшить это пособие.
Авторы
ГЛАВА I
Обобщение понятия угла и круговой дуги. Числовая окружность
§ 1. Необходимость обобщения понятия угла и круговой дуги при изучении вращательных движений
Понятия угла и круговой дуги, данные в геометрии, оказываются недостаточными при изучении вращательных и круговых движений. В самом деле, рассмотрим следую щую практическую задачу.
Маховик дизеля де лает 40 оборотов в ми нуту. Какой угол опи шет его спица ОА (рис. 1) в течение t сек.? Какую дугу опишет конец спи цы А за это время? Какое положение займет спи ца ОА через t =^- сек.?
Решение. Искомый
, , 360°-40-Z
угол (дуга) ©=—эд—=
= 240°Л
Величина угла (ду ги) выразилась функци ей времени t:
<р=240°Л
с возрастанием t увеличивается угол (дуга) <?, что пока зано в таблице:
7
t |
0 |
I |
1 |
2 |
5 |
10 |
60 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0° |
120° |
240° |
480° |
1200° |
2400° |
14 400° |
В геометрии углом называют фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало', круговой дугой называют часть окружности, ограниченной двумя точками. При таких определениях величины углов и дуг могут изменяться только в пределах от 0 до 360°. Следовательно, встает необ ходимость обобщить определение угла и круговой дуги так, чтобы их величины не были ограничены.
Чтобы ответить на второй вопрос задачи о положении
спицы ОА через t= -усек., надо знать направление вращения
маховика.
Если направление вращения маховика совпадает с направлением вращения часовой стрелки, то спица ОА опи шет угол в 120° и займет положение OMh при противопо ложном вращении маховика спица ОА опишет также угол в 120°, но займет положение О/И2.
Таким образом, полный ответ на второй вопрос задачи требует указания не только абсолютной величины угла, описанного спицей, но и относительной величины, связан ной с указанием направления движения спицы. То же са мое можно сказать и о круговой дуге, описываемой концом спицы ОА.
§2. Обобщенный угол и обобщенная круговая дуга
Всоответствии с выводами предыдущего параграфа обнаруживается целесообразность в следующем опреде лении:
Обобщенным углом называют плоскую фигуру, образо ванную двумя лучами, выходящими из одной точки, назы ваемой вершиной угла, причем указано, какой из этих лучей считается первым и как его вращать до совпадения со вторым лучом.
Отметим, что первый и второй лучи данного угла назы вают соответственно первой и второй (или начальной и конечной) сторонами угла.
я