книги из ГПНТБ / Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие

.МИНСКОЕ ВЫСШЕЕ ИНЖЕНЕРНОЕ ЗЕНИТНО-РАКЕТНОЕ • УЧИЛИЩЕ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ о б о р о н ы

л. М. БЕРЕЗКИН, Н. М. ТАБАТАДЗЕ

ЗАДАЧИ ПО СТРЕЛЬБЕ И ИХ РЕШЕНИЯ

Учебное пособие

1 969

ПРЕДИСЛОВИЕ

Обычно при решении задач слушатели испытывают опре­ деленные затруднения из-за слабых навыков в умении само­ стоятельно приложить общие принципы теории вероятностей к другим дисциплинам. Особые трудности вызывают такие вопросы, как нахождение единственно возможного события, составление ряда распределения, правильное применение сим­ волики для перехода от общих смысловых формул к конкрет­ ным рабочим формулам, вычисление числовых характеристик случайной величины, определение невозможных и достовер­ ных событий в стрельбовых задачах, вычисление числа ком­ бинации событий и т. д.

Из-за недостатка времени невозможно уделить этим воп­ росам должного внимания при чтении лекций и на практиче­ ских занятиях. При этом особенно в затруднительном поло­ жении оказываются слушатели заочного факультета.

Целью настоящего учебного пособия является оказание помощи слушателям в приобретении навыков правильно и с полным пониманием решать чисто стрельбовые задачи.

Исходя из этого в пособии даны очень кратко теоретиче­ ские положения, необходимые для решения данного круга задач. Решение наиболее характерных задач дается подроб­ но, а для остальных задач даны только ответы.

Материал сгруппирован по видам наиболее часто встреча­ ющихся в практических -приложениях законов распределений случайных величин, а также по соответствующим разделам курса стрельбы, например, законы поражения цели, стрельба по наземным целям и др.

Книга' может быть использована как для самостоятель­ ной работы, так и во время практических занятий со слуша­ телями.

3

ВВЕДЕНИЕ

Вероятность — мера возможности появления случайного события или число, дающее количественную оценку возмож­ ности появления случайного события.

Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений, но не всяких, а только таких, которые возникают в некоторых определенных условиях, могущих повторяться не­ ограниченное число раз.

Поэтому математической вероятностью называют число­ вую характеристику степени объективной возможности появ­ ления какого-либо определенного случайного события в неко­ торых фиксированных условиях при неограниченном их по­ вторении.

Вероятность — это объективная характеристика случай­ ного явления. Она выражает связь между закономерностью (необходимостью) и случайностью, между условиями и собы­ тием.

В основе определения вероятности событий лежит стати­ стическая вероятность. Статистической вероятностью называ­ ется число, вокруг которого колеблется частость появления случайного события при фиксированной совокупности усло­ вий и при большом числе независимых испытаний в серии, когда этих серий достаточно много. Существует классическое определение вероятности, как отношение числа благоприят­

ных событию случаев к числу всех возможных случаев. Од­ нако в последнем случае необходимо обеспечить условия симметричности (равной возможности) и взаимной исклю­ чаемости (попарной несовместимости) случаев.

5

Математически это можно записать следующим образом:

рде Р (А ) — вероятность события А;

~ N — -полная группа равновозможных попарно несов­ местимых событий;

М— число случаев появления события А (число бла­ гоприятствующих событию А случаев).

Следует подчеркнуть, что понятие вероятности является исходным, основным понятием, и в общем случае его нельзя определить через более простые понятия.

Таким образом, для классического определения вероятно­ сти существенным является допущение о равной возможности исходов испытания. Все задачи, к которым применимо клас­ сическое определение (0.1), укладываются в следующую схе­ му случайной выборки: из совокупности N элементов (пред­ метов, явлений и т. п.) выбирается наудачу один элемент, причем каждому элементу обеспечивается одинаковая с ос­ тальными возможность быть выбранным; событие .4 заклю­ чается ;в выборе элемента, обладающего определенным при­

6

но), то вероятность события С равна сумме вероятностей со­ бытий А и В:

Это свойство называют правилом сложения вероятностей, или свойством аддитивности вероятностей.

Первые два свойства вытекают из формулы (0.1), так как М > 0, N > 0 и для достоверного события М = N.

Третье свойство доказывается для схемы выборки элемен­ тарно.

■ Пусть в урне находится N шаров, из них К красных,

Z синих, остальные белые. Испытание состоит в вынимании из урны одного шара. События состоят в вынимании:

К

А — белого шара с вероятностью Р(А) = ^ ;

■ Следствия, вытекающие из основных свойств вероятностей (приводим без доказательств):

1. Если события А ь Л2,..., Лп попарно несовместны, то

2. Если события Аъ Аъ ..., Ап попарно несовместны и об­ разуют полную группу событий N. то

7

Событие А называют зависимым от события В, если ве­ роятность события А зависит от того, произошло событие В или -нет.

Правило умножения вероятностей зависимых событий вы­ разится формулами:

5.Если событие С заключается в появлении событий А

P(AjB) —Р(А) и из (0.11) получаем (0.10), а из (0.13) -по­ лучаем (0.12).

Вероятности Р(А/В) и Р{В/А) называют условными ве­ роятностями событий А и В соответственно. Условная вероят­ ность события А (В) при условии В (А) равна частному от деления вероятности совместного наступления этих двух со­ бытий на вероятность условия:

Можно сформулировать -общие правила сложения и ум­ ножения дтя случайных событий, безразлично, имеем ли мы

9

дело с совместными или несовместными, зависимыми или независимыми событиями.

Общее правило сложения вероятностей случайных собы­ тий: вероятность случайного события С = А + В ра:вна сумме

вероятностей случайных событий А я В минус произведение вероятности одного события на условную вероятность второ­ го события (см. формулу 0.13).

Общее правило умножения вероятностей случайных со­ бытий: вероятность случайного события С = АВ равна произ­ ведению вероятности одного из событий на условную вероят­ ность второго события (см. формулу 0.11).

Полезно помнить, что произведение вероятностей несовме­ стных событий равно .нулю.

Формула полной вероятности. Если случайные события

В [, В 2,...,Вп попарно несовместны и образуют полную группу

Эта формула носит название формулы полной вероятно­ сти события А. Она дает возможность вычислить вероятность осуществления события А независимо от того, с каким из со­ бытий Б; оно осуществилось. Эта формула является след­ ствием одновременного приложения правил сложения и ум­ ножения вероятностей случайных событий.

События В, называют гипотезами относительно А, а их вероятности Р(В;)— вероятностями .гипотез.

Вероятности P(A/B t) называют вероятностями события А при данной гипотезе.

10