книги из ГПНТБ / Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Современная теория электрической связи становится наукой ма­ тематической. Синтез электрических схем, т. е. построение этих схем по наперёд заданным характеристикам, становится основой расчётов самых разнообразных устройств техники связи.

Повышение требований к точности расчёта, а также стремление получить наиболее оптимальные решения способствуют широкому введению синтеза в инженерную практику. Решение задачи синте­ за любой электрической схемы складывается из последовательного

.выполнения трёх отдельных этапов: 1) представление электрической характеристики, положенной в основу расчёта (а иногда одновремен­ но нескольких характеристик) в виде некоторой функции от неза­ висимой переменной и произвольных параметров; 2) приближённое представление этой функции посредством функции более узкого класса, либо непосредственное определение свободных параметров, исходя из условия наилучшего приближения к заданной характери­ стике; 3) видоизменение полученного выражения с целью явного выделения электрических элементов схемы и физическое' осущест­ вление схемы. Условия физической осуществимости схемы учитыва­ ются уже на первом этапе решения, где они определяют класс или вид функции, представляющий ту или иную электрическую харак­ теристику. Если первый и третий из указанных этапов основаны главным образом на использовании законов электротехники, в част­ ности теории электрических схем, то второй этап состоит из чисто математических операций, являющихся элементами современной тео­ рии приближения или теории конструирования функций.

Теория приближения функций представляет собой хорошо раз­ работанный теоретически и имеющий обширные практические при­ менения математический аппарат, включающий три раздела:

1) интерполяционные способы приближений,

2) квадратические или степенные способы приближений,

3) равномерные или наилучшие способы приближений. Ограничиваясь лишь общей характеристикой первых двух спосо­

бов, мы рассмотрим третий из них. Это объясняется тем, что рав­ номерные приближения, являясь наиболее совершенным способом приближения, наиболее часто и успешно применяются в теории син­ теза электрических схем.

4

отдельных участков рассматриваемого промежутка, мы придем к выражению (1.2). Заменяя далее сумму интегралом и полагая, что функция веса имеет производную в любой точке рассматриваемого промежутка, можно придти к выражению (1.1). Если в приведён­ ных формулах вместо квадрата принять первую степень разности JР (х) — f (х)], то задача заключается в обращении в минимум площади, заключённой между кривыми Р (х) и f (х) в рассматриваемом про­ межутке. Если этот показатель степени больше двух, то прибли­ жение называется степенным и нахождение его связано с больши­ ми практическими трудностями. Степень два получила наибольшее распространение потому, что приближение в этом случае может быть практически найдено, так как после дифференцирования вы­ ражения (1.1) получается линейная система уравнений.

Равномерные или наилучшие приближения предполагают обра­

которое называется уклонением Р (х) от f (х) . В дальнейшем мы будем пользоваться этим термином без пояснения. Как и в случае квадратичных приближений, уклонение может быть взвешенным и записывается тогда в виде

вита учениками и последователями П. Л. Чебышева—-Е. И. Золо­ тарёвым Л8], А. А. и В. А. Марковыми |Л10, 11], С. Н. Бернштей­

нее было положено в основу целых разделов теории электрической связи в книге Кауэра, изданной впервые в 1941 г. |Л20]. В со­ ветской науке применение этой теории более всего выражено в тру­ дах А. Ф. Белецкого [ЛЗ, 4], С. С. Когана [Л9] и В. А. Тафта |Л15J. Книга В. А. Тафта является наиболее полной монографией по синтезу электрических цепей, заданных частотными характе­ ристиками.

6

от нуля, а на втором из этих интервалов принимает наибольшие значения.

Свойства функции, определяющие расположение точек макси­ мального. уклонения этсй функции от заданной непрерывной функции и величину этого уклонения, принято называть экстремаль­ ными свойствами данной функции.

Две кратко сформулированные выше задачи по технике связи при­ водят к несбходимссти исследования экстремальных свойств поли­ номов и' рациональных дробей. Ниже эти задачи будут рассмотре­ ны более подробно, при этом будут показаны их решения, полученные с помощью теории равномерных приближений.

Вопросы апроксимации функций комплексного переменного, в частности аналитических функций, пока очень редко применяются в теории связи и в данной лекции они не рассмотрены. Многие по­ ложения даны, в лекции без доказательств, что объясняется огра­ ниченностью объёма лекции, однако это относится лишь к тем случаям, когда использование формулы или теоремы не затрудня­ ется отсутствием доказательства. Наибольшую практическую труд­ ность вызывают задачи, использующие теорию и преобразование эллиптических функций.

Между тем, эти задачи положены в основу расчётов современ­ ных электрических фильтров. В связи с этим решение третьей задачи Золотарёва дано со всеми подробностями, включая основные моменты теории эллиптических функций.2

2. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА.

Теория равномерных приближений даёт ответы на следующие вопросы:

1) можно ли любую функцию / (х), заданную в некотором проме­ жутке, представить полиномом с любой заданной степенью точности; 2) если ответ на первый вопрос положителен, то какова конст­

рукция приближающих полиномов;

3)какая может быть получена точность приближения, если заранее ограничить степень полинома;

4)каковы возможности приближения функции с помощью раци­ ональных дробей;

ция действительного переменного f (х), непрерывная на конечном замкнутом промежутке [а, Ь], может быть представлена полиномом с любой наперёд заданной степенью точности. Иначе говоря, сущест­ вует такой полином Р (х), что как бы ни было мало положитель-

8

ное число г, для всех значений х из указанного промежутка выполняется неравенство

Вторая теорема, Вейерштрасса устанавливает возможность при­ ближённого представления непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В соответствии с этой теоремой, существует такой тригонометрический пслинсм Т (х), что для лю­ бых малых положительных значений г, при всех вещественных значениях х выполняется неравенстве!

Первая теорема Вейерштрасса является следствием второй и устанавливает возможность неограниченного приближения полинома к непрерывной функции, но не определяет конструкции такого поли­ нома. Кроме того, степень приближающего полинома может оказаться очень высокой. Конструкция приближающего полинома рассмотрена в теореме С. Н. Бернштейна, а вопрос об ограничении степени при­ ближающего полинома был впервые решён П. Л. Чебышевым в задаче, которая будет ниже рассмотрена.

3. УСЛОВИЯ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ, УСТАНОВЛЕННЫЕ ЧЕБЫШЕВЫМ

Постановка задачи

Как известно, приближённее представление непрерывной функции f (х) посредством полинома степени п можно получить с помощью ряда Тейлора

разложение даёт хорошее приближение только в очень тесных пределах изменения х, в окрестности его значения х — а.

В мемуаре „Теория механизмов, известных под названием параллелограммов“ [Л16] Чебышев поставил задачу найти изменения, которые следует внести в приближённое выражение f(x), данное разложением по восходящим степеням (х — а), когда требуется сде-

9

лать наименьшим предел отклонения приближённого выражения от f (х) в заданном промежутке [а — h, а -4- h\ при h доеольно малом.

Позднее Чебышев решил более общую задачу: для функций данного вида с произвольными параметрами рх,- р2, . . . рп выбором этих параметров сделать наименьшим предел её отклонения от нуля в промежутке -[— /г, - f /г].

Отыскание такой функции в виде полинома или рациональной, дроби базируется на условии наилучшего приближения, установлен­ ного Чебышевым.

Рассмотрим несколько теорем Чебышева, . связанных с этим условием.

Исходная теорема Чебышева относительно функций, наименее уклоняющихся от нуля

Величина L, представляющая собой уклонение функций F (х) от нуля в промежутке [— h, Д й ]1), не является минимально возмож­ ной, если система уравнений:

достигает своих предельных значений + L, а ръ рг, . . . р п— произвольные параметры функции F (х). Доказательство теоремы складывается из доказательств двух отдельных положений.2)

1. Если уравнения (3.2) возможны только при условии (3.3),

*) Не ограничивая общности, можно вместо любого промежутка ]а, b] взять промежуток [— А, + А ], понимая под Л некоторое число (например, 1). Если

b — а а 4- b

вместо х ввести переменное г по формуле х — —^ — г .+ — -— , то при измене­

нии х от а до Ь, г будет изменяться от — А до -|-А.

2) Мы приводим краткое доказательство этой теоремы по П.Л. Чебышеву [Л17]. Подробное доказательство дано у А. А. Маркова [ЛЮ].

10