книги из ГПНТБ / Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики

АКАД ЕМ ИЯ Н А У К УК Р А И Н С К О Й С СР институт кибернетики

Л. А . РВАЧЕВ

математика сем антика

НОМ ИНАЛИЗМ К АК И НТЕРП РЕТАЦ И Я М А ТЕМ АТИ КИ

И здательство «Наукова думка*

Киев— 1966

51 р29

Книга посвящена пограничным вопросам математики и семантики.

Новый подход делает основные разделы единственными в литературе, поэтому изложение начато с простейших по­ нятий. Несмотря на строгость изложения книга является доступной широкому кругу читателей.

О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р доктор физ.-мат. наук Л. А. К а л у ж н и н

,/ t * *■'

'* *

КИЕВСКАЯ КНИЖНАЯ ТИПОГРАФИЯ № 3.

20 — 68

ПРЕДИСЛОВИЕ

Если в каждой теории делать отличие между средствами языка данной теории и объектами, о которых идет речь, то ^ нетрудно заметить, что чаще всего речь идет об абстрактных объектах. Даже экспериментатор обычно отождествляет \

свою аппаратуру и сотрудников в разные моменты време. Гораздо реже речь идет о действительно.единичных-п'бъек- тах. Например, явление природы, границы которого фикси­ рованы в некоторой системе отсчета времени, можно считать единичным объектом.

В настоящее время не существует теории, которая была бы в состоянии оперировать только единичными объектами. Однако естественно-научные теории предполагают у мно­ гих своих объектов (вещей) внеязыковую природу, в которой они единичны — расположены в пространстве, имеют дли­ тельность существования и могут быть реальными или воз­ можными. Возникает вопрос, можно ли в соответствии с этой единичной природой вещей избежать в языке употребления абстрактных объектов. Точнее, речь идет о номиналистиче­ ском тезисе, согласно которому всякая теория должна иметь интерпретацию в системе единичных объектов. Никакого содержания, отличного от этого тезиса, термин «номинализм»

унас не имеет.

Вданной работе уточняется представление об области вещей как области единичных объектов и строится формали­

зованный язык над этой областью. Далее рассматривается

Глава I

ОПИСАНИЕ ИНТУИТИВНОЙ МОДЕЛИ

1. Прежде всего договоримся об употреблении некоторых

терминов. Под объектами языка (объектами теории) мы по­ нимаем ту область ооъектов, на которой изменяются пере­ менные данной теории. Как указано в предисловии, мы будем строить теорию на области единичных объектов; сред­ ства языка, разумеется, остаются абстракциями.

Уточним понятие единичного объекта. Класс объектов может обозначаться одной абстракцией," которая рассмат­

ные, отнесем не к единичным, а к абстрактным объектам. Таким образом, к единичным объектам с определенностью можно отнести только объекты, в принципе доступные не­ посредственному восприятию, т. е. вещи в пространстве— вре­ мени и эмоции (но система эмоций здесь не рассматривается).

2. В этой главе дано интуитивное описание некоторой физической модели, которое следует рассматривать как предварительную мотивировку последующей формализован­ ной теории. Модель является физической только в том смыс­ ле, что все ее компоненты (названные вещами) рассмат­ риваются так, как будто им присуща физическая реальность.

5

Это не значит, что рассматриваются некоторые конкрет­ ные вещи или конкретные физические законы. Точно также, как исчисление предикатов дает законы, общие для любых систем объектов, сужение области объектов до уровня вещей дает новые законы, которые можно на­ звать логическими законами для вещещ не зависящими от конкретных вещей и конкретных физических законов.

Хотя все понятия, которые образуют упомянутую физи­ ческую модель, порознь и употребляются как нечто само со­ бой разумеющееся, сама эта модель никогда описана не была. Поэтому мы должны предостеречь читателя от сме­ шения этой физической модели с пространственно-времен­ ным континуумом. Легко проверить, например, что аксиомы гл. II не выполняются для одного бесконечного простран­ ственно— временного континуума.

3. Перейдем теперь к описанию вещей. Прежде в договоримся, что вещи и только вещи суть содержание участ-

^ков (конечных или бесконечных, связных или нет) простран-

1ства—времени в физическом мире, так что вещи имеют протяженность, длительность существования и внутреннюю при-

-роду. При этом не следует смешивать употребление абстракт­ ных объектов, от которых мы отказались, с идеализацией вещей. Идеализированные вещи иногда называют абстрак­ циями, но у нас термин «абстракция» употребляется в дру­

гом, описанном выше смысле. Идеализация же заклю­ чается, например, в том, что вещи обладают определен­ ными границами — границами упомянутых только что уча­ стков; но это не мешает единичности вещей. Далее дого-

3воримся рассматривать вещи как реальные, так и вообра­ жаемые.

Например, стол в вашей комнате в течение мая 1965 г.— это вещь и притом реальная. Этот стол состоит, например, из таких двух своих половин: стол с 1 по 15 мая и стол с 16 по 31 мая; эти половины суть также реальные вещи. Но мгно­

6

венный стол или просто стол — это вообще не вещи, так как первый из них не имеет времени существования, а вто­ рой — абстракция; и конечно, стол в течение разных отрез­ ков времени — это разные вещи. Второй пример реальной вещи: часть Вселенной, которая расположена к востоку от плоскости гринвичского меридиана и начинается с полу­ ночи 31 декабря 1963 г.

Что же касается воображаемых вещей, то имеется в виду, что человек одинаково способен как говорить о реальности за пределами непосредственного восприятия, так и создать иллюзию реальности и говорить о ней (и само непосредствен­ ное восприятие иногда оказывается иллюзией). Например: 1) чувственное представление, связанное с автомобилем,

имеет место как при его ремонте, так и при конструирова­ нии, и оба представления в равной мере поддаются логиче­ скому исследованию, причем второй способ позволяет обду­ мывать несуществующие модели; 2) мы уверены, что Земля в прошлом веке испарилась бы, падая на Солнце, хотя этого не было. Множество подобных примеров возникает, когда речь идет о кино, книгах, законах природы, ярких снах; строго говоря, сюда же следует отнести любой разговор о бу­ дущем. Во всех этих случаях мы имеем в виду воображаемые вещи, протяженные в пространстве и времени (эту протяжен­ ность, особенно длительность, в разговорном языке для краткости будем чаще подразумевать, чем формулировать явно). Воображаемые вещи рассматриваются точно также, как если бы они были реальными.

Для более яркой характеристики вещей заметим, что так как вещи обладают длительностью, то им нельзя при­ писывать, по крайней мере непосредственно, такие свойства, как скорость, масса и т. д. Например, если вещь а есть внут­ ренность некоторого шара продолжительностью в один час,

7

индивидуальные имена вещей, употребляются довольно сложные неопределенные понятия, такие как плоскость, 1965 г. и т. д.; подобные понятия необходимы даже в том случае, если кто-либо потребует уточнить границы стола. Употребление неопределенных понятий неизбежно, если имена вещей описываются соответственно чувственным пред­

как и реальные, то мы не можем представить себе вещь вне мира (вселенной). Некоторые вещи представляем совмест­ ными в том смысле, что они взаимодействуют или просто сосуществуют как части одной большей вещи или как ча­ сти мира. Кроме того, в предыдущем пункте описаны вооб­ ражаемые вещи, т. е. представление, что мир мог бы (хотя бы в одной детали) быть другим. Но для воображаемых ве­ щей в мире нет места, так как по своему определению мир обладает пространственно-временной полнотой (охватывает собой все — малое и большое, прошлое и будущее). По­ этому представление о воображаемых вещах есть представ­ ление об исключающих друг друга мирах и о вещах, несов­ мещенных в пространстве—времени (в качестве примера можно взять любые несовместные естественно-научные гипотезы; каждая из них описывает вещи одного мира, а в силу несовместности гипотез речь идет об исключающих друг друга мирах). Назовем эти миры £итиаи,иями.

Другими словами, рассмотрим произвольную, вообще го­ воря, воображаемую вещь и, если возможно, расширим ее,

8

объединяя с ней некоторую совместную с ней вещь, располо­ женную вне ее в пространстве—времени. Некоторые вещи не поддаются подобному расширению. Эти предельно широ­ кие вещи интуитивно воспринимаются как вселенные или миры; мы назвали их ситуациями.

Весь физический мир есть одна из ситуаций; остальные ситуации являются воображаемыми и возникают в тех слу­ чаях, когда для вещей употребляются обороты речи типа

«если бы ..., то ...».

Договоримся рассматривать любую ситуацию. Под этим понймаётся следующее. Каждая естественно-научная теория указывает на те наблюдения и эксперименты, которые слу­ жат ее предпосылками; имеются также другие предпосылки этой теории, которые не упоминаются ввиду их очевидности. Часть очевидных предпосылок относится к тривиальному опыту, остальные можно назвать априорными в том смысле, что они воспринимаются как аксиомы мышления (здесь без­ различно, что в процессе истории эти предпосылки могли возникать из опыта). Что касается экспериментальных пред­ посылок, то они потому и названы экспериментальными, что исход эксперимента нельзя было предвидеть заранее; таким образом, хотя в современной науке глубоко укоренилось оп­ ределенное представление о ситуации, в которой мы живем, все же было возможным ждать других исходов эксперимен­ тов и, следовательно, рассматривать другие ситуации. Все такие ситуации и образуют класс ситуаций, который мы на­ звали «любые ситуации» и который намерены рассматривать.

Иначе говоря, речь идет о следующем понятии возмож­ ности для вещей. Только чисто умозрительное представле­ ние о вещах является общим для всех ситуаций. Это пред­ ставление пополняется любыми (вообще говоря, противоре­ чащими друг другу) опытными данными, которые кажутся возможными с чисто умозрительной точки зрения (т. е. до начала наблюдений и экспериментов). Тем самым порож­

9